勾股定理的九种证明方法(附图)

勾股定理的证明方法

一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）

左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。

二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为

的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。 三、相似三角形的证法：

4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角

形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三

角形相似。

如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°。作CD ⊥AB ，垂足为D 。则

△BCD ∽△BAC ，△CAD ∽△BAC 。

由△BCD ∽△BAC 可得BC 2=BD × BA ， ①

由△CAD ∽△BAC 可得AC 2=AD × AB 。 ②

我们发现，把①、②两式相加可得 BC 2+AC 2=AB （AD+BD ），

而AD+BD=AB ，

因此有 BC 2+AC 2=AB 2，这就是

a 2+

b 2=

c 2。

这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。

四、古人的证法：

如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除

C A B D

之，即弦也”。赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。

五、项明达证法：

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵∠BCA = 90°，QP∥BC，

∴∠MPC = 90°，

∵ BM⊥PQ，

∴∠BMP = 90°，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.

∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =90 °，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，

∴∠QBM = ∠ABC，

又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2

六、欧几里德射影定理证法：

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：

1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（BC）^2;=CD·AC 。

由公式（2）+（3）得：

（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，

即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2

七、杨作玫证法：

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，

∴∠DAH = ∠BAC.

又∵∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，

AD = AB = c，Array

∴RtΔDHA ≌RtΔBCA.

∴ DH = BC = a ，AH = AC = b .

由作法可知， PBCA 是一个矩形，

所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB =

CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .

∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,

Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .

∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .

∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA .

又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，

∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.

∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .

∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为

543212S S S S S c ++++= ①

∵ ()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =

ab b 212-， 985S S S +=，

∴ 824321S ab b S S --=+=

812S S b -- . ② 把②代入①，得

=

922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.

八、陈杰证法：

设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，

则 AD = c . ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，

∴ ∠ADC = 90º.

∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形.

∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，

∴ ∠BAF=∠DAE .

连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，