第二节定积分基本定理
第二节定积分基本定理
f [ ( x )] ( x ) f [ ( x )] ( x )
d x3 3 2 例1 求 1 t dt dx 1 d x3 3 23 6 2 3 6 3 解 1 t dt 3 x 1 x 1 x (x ) 1 dx
d cos x 2 例2 求 cos( t )dt dx sin x
(2) u ( x ), ( u)
a u
a
u
u
f (t )dt
( u) f ( t )dt f ( t )dt
a
d d du f (u) ( x ) f [ ( x )] ( x ). dx du dx
( x) d ( x) d a f ( t )dt (3) ( x ) f ( t )dt ( x ) f ( t )dt a dx dx
f ( ) x
y f ( x)
lim f ( ) lim f ( ) f ( x ).
x 0
x
x
x l i m lim f ( ) f ( x ). x x 0 x
o a
x x x b x
注 定理说明了：若 f ( x) Ca, b
( x ) f ( t )dt 就是 f x 在 a , b 上的一个原函数.
x a
由此
f x dx
x
a
f (t )dt C
肯定了连续函数的原函数是存在的 揭示了定积分与原函数之间的关系
3. 定理1` 若f t C x , x
s(t 2 ) s(t1 )
所以
高等数学 定积分
第五章 定积分第一节 定积分的概念第二节 定积分的性质和中值定理第三节 微积分基本公式第四节 定积分的换元法第五节 定积分的分部积分法第六节 定积分的近似计算第七节 广义积分问题的提出定积分的定义 几何意义定积分存在定理第一节 定积分的概念abxyo?=A 曲边梯形由连续曲线实例1 （求曲边梯形的面积）)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成.一、问题的提出)(x f y =ab xyoab x yo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形如图所示，,],[1210b x x x x x a b a n n =<<<<<=- 个分点，内插入若干在区间a bxyoi ξi x 1x 1-i x 1-n x ;],[],[11---=∆i i i i i x x x x x n b a 长度为，个小区间分成把区间形面积，曲边梯形面积用小矩上任取一点在每个小区间i i i x x ξ-],[1ii i x f A ∆ξ≈)(:))(],[(1近似为高为底，以i i i f x x ξ-（1）分割（2）近似ini i x f A ∆≈∑=)(1ξ曲边梯形面积的近似值为ini i x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21→∆∆∆=λλn x x x 曲边梯形面积为（3）求和（4）取极限实例2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上t 的一个连续函数，且0)(≥t v ，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=∆i i i t t t ii i t v s ∆≈∆)(τ部分路程值某时刻的速度（3）求和ii ni t v s ∆≈∑=)(1τ（4）取极限},,,max{21n t t t ∆∆∆= λini i t v s ∆=∑=→)(lim 10τλ路程的精确值（2）近似设函数)(x f 在],[b a 上有界，记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ，如果不论对],[b a 在],[b a 中任意插入若干个分点bx xx x x a nn =<<<<<=-121把区间],[b a 分成n 个小区间，各小区间的长度依次为1--=∆i i i x x x ，),2,1( =i ，在各小区间上任取一点i ξ（i i x ∆∈ξ），作乘积i i x f ∆)(ξ ),2,1( =i 并作和i i ni x f S∆=∑=)(1ξ，二、定积分的定义定义怎样的分法，⎰==ba I dx x f )(ii ni x f ∆∑=→)(lim 10ξλ被积函数被积表达式积分变量积分区间],[b a 也不论在小区间],[1i i x x -上点i ξ怎样的取法，只要当0→λ时，和S 总趋于确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为积分上限积分下限积分和几点说明：（1） 定积分是一个数值，它仅与被积函数及积分区间有关，⎰b a dx x f )(⎰=b a dt t f )(⎰=ba duu f )(而与积分变量的字母无关.)( ,)()( 2⎰⎰⎰=-=aaabbadx x f dx x f dx x f 规定：）（.],[)(],[)( 3的取法无关的分法及的和式的极限与所表示上可积，则在区间若）（i bab a dx x f b a x f ξ⎰,0)(≥x f ⎰=ba Adx x f )(曲边梯形的面积,0)(≤x f ⎰-=ba Adx x f )(曲边梯形的面积的负值a b xyo)(x f y =AxyoabA -)(x f y =三、定积分的几何意义1A 2A 3A 4A 4321)(A A A A dx x f ba ⎰=-+-,],[)(变号时在区间b a x f 三、定积分的几何意义.)(是面积的代数和⎰badx x f几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于x x b x a x x f x ==,)(++--当函数)(x f 在区间],[b a 上连续时，定理1定理2 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在四、定积分的存在定理区间],[b a 上可积.例1 利用定义计算定积分.12dx x ⎰解将]1,0[n 等分，分点为nix i =，(n i ,,2,1 =)小区间],[1i i x x -的长度nx i 1=∆，(n i ,,2,1 =)取i i x =ξ，(n i ,,2,1 =)i i n i x f ∆∑=)(1ξi i ni x ∆=∑=21ξ,12i ni ix x ∆=∑=.,102的选取无关及法故和式极限与区间的分可积因为i dx x ξ⎰n n i ni 121⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=∑==n i i n 12316)12)(1(13++⋅=n n n n ,121161⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n ∞→⇒→n 0λdx x ⎰102i i ni x ∆=∑=→210lim ξλ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim .31= 几何上是曲线y=x 2,直线x=1及x 轴围成的曲边三角形面积.例2 利用定义计算定积分.121dx x⎰解在]2,1[中插入分点 12,,,-n q q q ,典型小区间为],[1ii q q -，（n i ,,2,1 =）小区间的长度)1(11-=-=∆--q qq q x i i i i ,取1-=i i qξ，（n i ,,2,1 =）i i ni x f ∆∑=)(1ξi ni ix ∆=∑=11ξ)1(1111-=-=-∑q q q i ni i ∑=-=ni q 1)1()1(-=q n 取2=nq即nq 12=),12(1-=n n )12(lim 1-+∞→xx x x xx 112lim1-=+∞→,2ln =)12(lim 1-∴∞→nn n ,2ln =dx x ⎰211i ni ix ∆=∑=→101lim ξλ)12(lim 1-=∞→n n n .2ln =i i ni x f ∆∑=)(1ξ原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+π-++π+π=∞→n n n n n n n nsin )1(sin 2sin sin 1lim π=∑=∞→n i n n i n 1sin 1lim n n i ni n π⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ=∑=∞→1sin lim 1.sin 10⎰ππ=xdx ix ∆i ξ例3：将下列和式极限表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++∞→n n n n n n πππ)(sin sin sin lim121 ：五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限Z .思考n n n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dxx f e 2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n 证明n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛∞→ 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21lim ln n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dx x f e 利用对数的性质得⎪⎭⎫⎝⎛∑==∞→n i f n ni n e1ln 1lim n n i f ni n e1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==∞→ 指数上可理解为：)(ln x f 在]1,0[区间上的一个积分和．分割是将]1,0[n 等分分点为nix i =，（n i ,,2,1 =）⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21ln lim 极限运算与对数运算换序得nn i f n i n 1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→⎰=10)(ln dx x f 故nn n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim.10)(ln ⎰=dxx f e 因为)(x f 在区间]1,0[上连续，且0)(>x f 所以)(ln x f 在]1,0[上有意义且可积 ,2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n ⎰∑-=-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=∞→∞→∞→1021222222222411)(41lim )(41)2(41)1(411lim 41241141lim dxx n ni n n n n n n n n n n i n n n 解第二节 定积分的性质、中值定理1.定积分性质2.中值定理对定积分的补充规定:（1）当b a =时，0)(=⎰ba dx x f ；（2）当b a >时，⎰⎰-=abb adx x f dx x f )()(.说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、定积分性质和中值定理证⎰±ba dxx g x f )]()([i i i ni x g f ∆±=∑=→)]()([lim 10ξξλi i ni x f ∆=∑=→)(lim 10ξλii ni x g ∆±∑=→)(lim 10ξλ⎰=ba dx x f )(.)(⎰±ba dx x g ⎰±b a dx x g x f )]()([⎰=b a dx x f )(⎰±ba dx x g )(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()( (k 为常数).证⎰ba dx x kf )(ii ni x kf ∆=∑=→)(lim 10ξλi i n i x f k ∆=∑=→)(lim 1ξλii ni x f k ∆=∑=→)(lim 10ξλ.)(⎰=ba dx x f k 性质2⎰ba dx x f )(⎰⎰+=bcca dx x f dx x f )()(.补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例 若,c b a <<⎰c a dx x f )(⎰⎰+=cb b a dx x f dx x f )()(⎰b a dx x f )(⎰⎰-=cb c a dxx f dx x f )()(.)()(⎰⎰+=bc ca dx x f dx x f （定积分对于积分区间具有可加性）假设bc a <<性质3dx b a ⋅⎰1dx ba⎰=a b -=.则0)(≥⎰dx x f ba. )(b a <证,0)(≥x f ,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i =,0≥∆i x ,0)(1≥∆ξ∴∑=i i ni x f },,,max{21n x x x ∆∆∆= λi i ni x f ∆∴∑=→)(lim 1ξλ.0)(⎰≥=ba dx x f 性质4性质5如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，例1 比较积分值dx e x⎰-20和dx x ⎰-20的大小.解令,)(x e x f x -=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x exdx ex⎰-∴2,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-2.20dx x ⎰-<性质5的推论：证),()(x g x f ≤ ,0)()(≥-∴x f x g ,0)]()([≥-∴⎰dx x f x g ba ,0)()(≥-⎰⎰ba ba dx x f dx x g 于是 dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(.则dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(. )(b a <如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，（1）dx x f b a ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.)(b a <证,)()()(x f x f x f ≤≤- ,)()()(dx x f dx x f dx x f ba ba ba ⎰⎰⎰≤≤-∴即dx x f ba ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.说明： 可积性是显然的.|)(x f |在区间],[b a 上的性质5的推论：（2）设M 及m 分别是函数证,)(M x f m ≤≤ ,)(⎰⎰⎰≤≤∴ba ba b a Mdx dx x f dx m ).()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰（此性质可用于估计积分值的大致范围）则 )()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰.)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，性质6例2 估计积分dx x⎰π+03sin 31值的范围.解,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx x dx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x例3 估计积分dx xx⎰ππ24sin 值的范围.解,sin )(xx x f =2sin cos )(x x x x x f -='2)tan (cos x x x x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx ,0<)(x f 在]2,4[ππ上单调下降,,22)4(π=π=f M ,2)2(π=π=f m ,442π=π-π=-a b ,422sin 4224π⋅π≤≤π⋅π∴⎰ππdx x x .22sin 2124≤≤∴⎰ππdx x x 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，上的平均值在],[)()(1b a x f dxx f a b ba⎰-则在积分区间],[b a 上至少存在一个点 ξ，使dx x f b a ⎰)())((a b f -=ξ. )(b a ≤≤ξ性质7（定积分中值定理）积分中值公式证Mdx x f a b m ba≤-≤∴⎰)(1)()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰ 由闭区间上连续函数的介值定理知在区间],[b a 上至少存在一个点 ξ,)(1)(⎰-=ξbadx x f a b f dx x f ba ⎰)())((ab f -=ξ.)(b a ≤≤ξ即在区间],[b a 上至少存在一个点ξ，1. 积分中值公式的几何解释：xyoa b ξ)(ξf 使得以区间],[b a 为以曲线)(x f y =底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积。
《高等数学》第二节 定积分基本公式
例 1 设f (x) sin 2t d t, 求f (x) 0 x 2 2 解:f (x) sin 2t d t sin 2x 0
2
x
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则 I (x) f (t )dt
a x
是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
或记作
证明
b f ( x ) d x F ( x ) a F (b) F ( a ). b a
b a
F (x)是f (x)的一个原函数， 而I (x) f (t )dt也是f (x)的一个原函数，
a x
F (x) I (x) C.
令x a有 F (a) I (a) C.
1 1 1 x2 1 lim . 2 x 0 1 2
I I' ( x) lim lim f ( ) f (x)， x 0 x x
即
d x I ' (x ) f (t )dt f (x ). dx a
a
结论：变上限积分所确定的函数 x f (t )dt 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限 x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间 变化的，因此常记为
x a
x
f (t )dt.
定理1
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则变上限 I (x) f (t )dt
1 1 dx arctan x 1 2 1 x
1 1
arctan 1 arctan( 1) π π ( ) 4 4 π . 2
定积分基本计算定律-定积分的计算定律
2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
证
令
F(x)
2x
x
0
f
(t )dt
1,
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1)
1
1
0
f
(t )dt
1
0 [1
f
(t )]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
例7 求 1 1dx.
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 2
ln1
ln 2
ln 2.
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 2
ln
sin
t
cos
t
定积分基本定理
定积分基本定理定积分基本定理是微积分中的一条重要定理，它建立了定积分与不定积分之间的关系，为我们求解定积分提供了重要的方法和技巧。
本文将围绕定积分基本定理展开，介绍其基本概念、定理表述及应用。
一、定积分基本概念定积分是微积分中的一个概念，它可以用来计算曲线下面的面积。
给定一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上，我们可以将其曲线下方的面积进行划分，然后通过无限分割与极限的方法求得最终的结果。
这个最终结果就是定积分。
二、定积分基本定理的表述定积分基本定理是指：如果函数f(x)在[a, b]上连续，那么它的一个原函数F(x)在[a, b]上就是一个定积分。
即∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
这个定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么它的一个原函数F(x)在[a, b]上的定积分等于F(x)在区间端点处的值之差。
三、定积分基本定理的应用定积分基本定理在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何意义：定积分可以用来计算曲线下方的面积。
例如，我们可以利用定积分来计算一个曲线所围成的封闭区域的面积。
2. 物理应用：定积分可以用来计算物理问题中的质量、体积、功等。
例如，我们可以利用定积分来计算一个物体的质量，或者计算一个力的作用所做的功。
3. 统计学应用：定积分可以用来计算统计学中的概率密度函数下的概率。
例如，我们可以利用定积分来计算某个随机变量在一定范围内取值的概率。
4. 经济学应用：定积分可以用来计算经济学中的总收益、总成本等。
例如，我们可以利用定积分来计算某个企业在一定时间内的总收益。
5. 工程应用：定积分可以用来计算工程问题中的功率、能量等。
例如，我们可以利用定积分来计算电路中的功率，或者计算流体中的能量损失。
定积分基本定理为我们求解定积分问题提供了一种简便的方法。
通过找到原函数，我们可以将定积分转化为不定积分，从而利用不定积分的方法求解。
定积分的概念与基本定理
微积分基本定理表明： 微积分基本定理表明：
一个连续函数在区间[a , b]上的定积分等于 上的增量. 它的任意一个原函数在区间[a , b]上的增量 求 定积分问题转化为求原函数的问题. 定积分问题转化为求原函数的问题
牛顿－ 牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系
例1 解
求 ∫ ( 2 cos x + sin x − 1)dx .
1 2
二、牛顿—莱布尼茨公式 牛顿—
微积分基本定理） 定理 （微积分基本定理）
上的连续函数 连续函数, 如果 f (x) 是在区间[a , b]上的连续函数,并且
F′(x) = f (x), ，则
∫a f ( x )dx = F (b) − F (a ) .
b
记: 则:
F(b) − F(a) = F(x)|b a
0
例 4 计算曲线 y = sin x 在[0, π]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积. 成的平面图形的面积
解
面积 A = ∫ sin xdx
0
π
y
= [− cos x ] = 2.
π 0
o
π
x
练习: 练习: 1. 求 解
max{ x , x 2 }dx . ∫−2
y = x2
2
2
y
由图形可知
f ( x ) = max{ x , x }
y= x
o
x
x − 2 ≤ x ≤ 0 = x 0 ≤ x ≤ 1 , x2 1 ≤ x ≤ 2
2
0 2 1
−2
1
2
∴ 原式 = ∫ x dx + ∫ xdx + ∫ x 2dx = 0 1 −2
定积分的基本性质
例 2 计算定积分 ∫ (1 + x cos x) 1 − x 2 dx ．
−1
1
解因为 ∫ (1 + x cos x) 1 − x 2 dx =
−1
1
∫−1
1
1 − x 2 dx + ∫ x cos x 1 − x 2 dx ，且
−1
1
∫−1
所以
1
1 π 1 − x 2 dx = ， ∫ x cos x 1 − x 2 dx = 0， −1 2
a
−a
f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx ．
0
证明取区间 [−a, a] 关于原点对称的划分
−a =x− n < x− n +1 < < x0 =0 < x1 < < xn =a ，其中 x− k = − xk ．
并取 ξ k ∈ [ xk −1 , xk ] (k = 1, 2, , n) ， ξ − k = −ξ k ∈ [ x− k , x− k +1 ] ．
α f ( x) + β g ( x) 也在区间 [a, b] 上也可积，且
∫a [α f ( x) + β g ( x)]dx= α ∫a
证明对于 [ a, b] 的任意划分
b
b
f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx ．
a
b
a = x0 < x1 < x 2 < < x n −1 < x n = b ，
T
f ( x)dx = 0，
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ．
0 1 −1
T
定积分与原函数的关系 微积分基本定理【高等数学PPT课件】
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
o
x
0
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1
定积分的直接积分法
2
x
|dx
解
3 |
1
2
x
|dx
2 (2
1
x)dx
3
2
(
x
2)dx
(2x
x2 2
)
|2
1
x2 (
2
2x) |32
2 5 ( 3) 2 5 22
同学练习2
1．
已知
f
(x)
2x , 3x2
1,
x0
，
x0
2
求 f (x)dx ． 1
例8(*)
dx 1
因此
lim
1et2 dt
cos x
lim
ecos2
x
sin
x
1
x x0
2
x0
2x
2e
同学练习2
1.
lim
x
0
1
1 t
t
dt
x
x
2.
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
定积分的直接积分法
三、微积分基本公式
1.定理3 若函数 F x是连续函数 f x在区 间 a,b上的一个原函数，则
知识回顾 Knowledge Review
y
p( x)
oa x
bx
定理6.1 若 f x 在a,b上连续，则积分
上限函数
px
x
a
f
t dt
在 a, b 可导，
且 p'x f x a x b
定积分中的定理
定积分是积分学中的一个重要概念，它涉及到曲线、面积、速度等多个领域。
在定积分中，有几个重要的定理，它们对于理解和应用定积分具有关键的作用。
1.微积分基本定理（也称为牛顿-莱布尼兹公式）：这是定积分中的核心定理。
它建立了定积分与不定积分（原函数）之间的联系，即一个函数在区间上的定积分等于其原函数在该区间的端点值的差。
这个定理使得定积分的计算变得更为简单，因为它允许我们通过找到被积函数的原函数来求解定积分。
2.中值定理：定积分的中值定理表明，在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]
上的定积分等于f(x)在[a,b]上的某一个值c乘以区间[a,b]的长度，即∫abf(x)dx=f(c)(b−a)。
这个定理在理论上很重要，因为它揭示了定积分与函数值之间的关系。
3.可积性定理：如果一个函数在闭区间[a,b]上只有有限个第一类间断点，那么
这个函数在[a,b]上是可积的。
这个定理给出了函数可积的充分条件，是定积分存在性的基础。
以上三个定理在定积分中占据重要地位。
它们不仅提供了定积分的计算方法，还揭示了定积分与被积函数之间的关系，以及定积分存在的条件。
在理解和应用定积分时，这些定理都是不可或缺的。
定积分积分的定理
定积分积分的定理定积分积分的定理一、引言定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一定区间上的面积或体积进行求解的方法。
而积分的定理则是对于特定类型的函数，可以通过一些规律和公式来简化计算过程，提高计算效率。
本文将介绍几个常见的积分定理。
二、基本积分公式基本积分公式是指对于一些常见函数，其不定积分可以通过一些固定规律来求解。
以下是几个常见函数的不定积分：1. $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ （$n\neq -1$）2. $\int e^x dx = e^x + C$3. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$ （$x\neq 0$）4. $\int \sin x dx = -\cos x + C$5. $\int \cos x dx = \sin x + C$6. $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C$其中C为常数项。
三、换元法换元法是指通过变量代换来简化复杂函数的不定积分。
设u=u(x)为可导函数，则有：$\int f(u(x))u'(x)dx = \int f(u)du$其中右侧的不定积分可以通过基本积分公式来求解。
以下是一个例子：$\int \frac{1}{x^2+1}dx$令$x=\tan t$，则有$dx=\sec^2 t dt$，代入原式得：$\int \frac{1}{\tan^2 t + 1}\sec^2 t dt = \int \frac{1}{\sin^2 t}dt= -\cot t + C$由于$x=\tan t$，所以$t=\arctan x$，因此有：$\int \frac{1}{x^2+1}dx = -\cot (\arctan x) + C = -\frac{1}{x} + C$四、分部积分法分部积分法是指将一个函数的乘积进行拆分，从而简化不定积分的计算。
定积分基本定理
1 x 3 2 x 1 x6 .
例2 求 lim 0
x 0
x
sin t 2 dt x3
0 解 当 x 0 时,原式为 型不定式,可用洛必达法则求 0
得
lim
x 0
x
0
sin t dt x3
2
lim
x 0
( sin t dt )
2 0
x
'
( x3 )'
a
b
性质 1 (1) 可推广到有限多个函数代数和的 情况，即
f ( x) f ( x) f
b a 1 2
n
( x )dx
b
f1 ( x )dx f 2 ( x )dx f n ( x )dx.
a a a
b
b
性质 3 (积分对区间可加性) 如果积分区间 [a, b] 被点 c 分成两个区间 [a, c] 和 [c, b]，那么
a
O
a
x
b
x
是上限变量 x 的函数. 记作 F (x)，即 x F ( x) f (t )dt (a ≤ x ≤ b).
a
通常称积分式
x
a
f ( t )dt 为变上限的积分
注意到教材中的积分式 ,积分上限中的积分变量 x ， 与被积函数中自变量用的是同一个字母符号，其实两者的 含义是不同的,为避免混淆,这里改用 t 为积分变量. 由于 定积分的值与积分变量的记号无关 , 把积分变量改用别的 字母表示,不影响积分结果.
b
a
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx.
a c
定积分的性质和基本定理
第二节 定积分的性质和基本定理用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。
因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效§2.1一、定积分的基本性质性质 1b a1dx=∫b adx=b-a证 0lim →λ∑=n1i f(ξi ）Δx i ＝lim →λ∑=n1i １·Δx i ＝0lim →λ(b-a)=b-aba 1dx=∫badx=b-a性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b ］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b ］ba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫ba f(x)dx+β∫b ag(x)dx证：设F(x)=αf(x)+βg(x),lim →λ∑=n1i F(ξi ）Δx i ＝0lim →λ［αf(ξi )+βg(ξi ）］Δxi＝0lim →λ［α∑=n1i f(ξi ）Δx i ＋β∑=n1i g(ξi ）Δx i ］＝αb af(x)dx+β∫bag(x)dxαf(x)+βg(x)在［a,bba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b ag(x)dx特别当α=1,β=±1ba ［f(x)±g(x)］dx=∫b a f(x)dx ±∫b ag(x)dx当β=0ba αf(x)dx=α∫b af(x)dx性质 2性质3 对于任意三个实数a,b,c ，若f(x)在任意两点构成的区间上可b af(x)dx=∫c a f(x)dx+∫bcf(x)dx证a,b,c(i)当a<c<b ，按定义，定积分的值与区间分法无关，在划分区间［a,b ］时，可以让点C是一个固定的b af(x)dx= 0lim →λ∑],[b a f(ξi ）Δx i∑],[c a＝0lim →λ［∑],[c a f(ξi ）Δx i ＋∑],[b c f(ξi )Δxi＝0lim →λ∑],[c a f(ξi )Δx i ＋0lim →λ∑],[b c f(ξi ）Δxica f(x)dx+∫bcf(x)dx（ii)当c<b<a由(i)a cf(x)dx=∫bc f(x)dx+∫abf(x)dx-∫c a f(x)dx=∫b c f(x)dx-∫b af(x)dx, ∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b cf(x)dx 对于其它4种位置与(ii)性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。
定积分中的定理
定积分中的定理定积分是微积分中的重要概念，它在数学中具有广泛的应用。
定积分的计算可以通过定积分的定义或者定积分的定理来完成。
本文将以定积分中的定理为题，向读者介绍定积分的相关内容。
一、定积分的定义定积分是对一个函数在一定区间内的面积进行求解的一种方法。
具体来说，定积分可以看作是将函数图像下的面积分为无限多个无穷小的矩形，并将这些矩形的面积相加得到的结果。
定积分的定义包括上限、下限、积分区间和被积函数等要素，通过对这些要素的处理，可以求得定积分的值。
二、定积分的定理在定积分的计算过程中，有一些定理可以帮助我们简化计算，提高效率。
常见的定积分定理包括：中值定理、换元法、分部积分法等。
1. 中值定理中值定理是定积分中的一个重要定理，它表明在某个区间内，函数的平均值等于函数在该区间内某个点的值。
中值定理可以用来简化定积分的计算，特别是对于对称函数或者具有特殊性质的函数，可以通过中值定理将定积分转化为更简单的计算。
2. 换元法换元法是定积分中常用的一种计算方法，通过引入一个新的变量，将原定积分转化为新变量的积分，从而简化计算。
换元法的关键是选取合适的换元变量，使得被积函数在新变量下的形式更简单。
3. 分部积分法分部积分法是定积分中的另一种常用计算方法，它可以将一个复杂的积分转化为两个简单的积分的差。
分部积分法的核心思想是将被积函数分解为两个函数的乘积，并利用乘积的求导和积分的关系，将原积分转化为简单的计算。
三、定积分的应用定积分在数学中有着广泛的应用，特别是在求解面积、体积、质量、物理力学问题以及求解微分方程等方面具有重要作用。
通过定积分的计算，可以得到物理量的数值解，从而解决实际问题。
定积分的应用不仅局限于数学领域，还涉及到物理、工程、经济等多个领域。
总结：定积分是微积分中的重要概念，通过定积分的定义或者定积分的定理，我们可以对函数在一定区间内的面积进行求解。
在定积分的计算过程中，中值定理、换元法、分部积分法等定理可以帮助我们简化计算。
高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式
b
1 b ∴ m≤ ∫a f ( x )dx ≤ M ba
由闭区间上连续函数的介值定理知
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在区间[a , b]上至少存在一个点ξ ,
使 即
1 b f (ξ ) = ∫a f ( x )dx , ba
f (ξ )(b a ) . (a ≤ ξ ≤ b ) 积分中值公式的几何解释:
b
∫a g ( x )dx .
b
(a < b)
证
∵ f ( x ) ≤ g ( x ),
∴ g ( x ) f ( x ) ≥ 0,
∴
∫a [ g( x ) f ( x )]dx ≥ 0, b b ∫a g( x )dx ∫a f ( x )dx ≥ 0,
b
于是
∫a f ( x )dx ≤ ∫a g( x )dx .
b
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
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性质2 证
b
∫a kf ( x )dx = k ∫a f ( x )dx
∫a kf ( x )dx = lim ∑ kf (ξ i )xi λ → 0 i =1
n
b
b
( k 为常数).
= lim k ∑ f (ξ i )xi = k lim ∑ f (ξ i )xi
b
∑ f ( ξ i ) x i ≥ 0, i =1
n
∴ lim ∑ f (ξ i )xi = ∫ f ( x )dx ≥ 0. a λ →0
i =1
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例 1 比较积分值 ∫0 e dx 和 ∫0 xdx 的大小.
x
2
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间[t1,t2 ]上的增量
s(t2 ) s(t1 )
所以
t2 t1
v(t)dt
s(t2
)
s(t1 )
注意到s'(t) v(t)，即位置函数s(t)是速度
函数v(t)的原函数。
猜想：设F(x)是f (x)在区间[a,b]上的原函 数,则
b
a f (x)dx F (b) F (a)
积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特 弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本 定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函 数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成 为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛 运用。
x x x b x
x0 x x
注 定理说明了：若 f ( x) Ca,b
( x)
x
a
f
(t )dt
就是 f
x在a,b 上的一个原函数.
由此
x
肯定了连续函数的原函数是存在的
f x dx a f (t )dt C 揭示了定积分与原函数之间的关系
3. 定理1` 若f t C x, x
1
1 x2 0
2 1
例3 求 y sin x 在 0, 上与 x 轴所围成的平面图形的面积。
解
A
0 sin xdx
cos
x
0
y
y sin x
(1) (1) 2
o
x
例5
设
x2 1 f (x)
3 x
0 x1 ,求
1 x3
3
f ( x)dx .
0
解
3
1
3
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
1 1 x2
2
x
x
1
f
t dt
1
2 1
1
1
x 2
x2
1 x 0 .
0 x1
2
例8
设
f
x
1 sin x 2
0 x ,
0
x 0或 x
求 x
x
0
f
t dt在 ,内的表达式。
解
当 x 0时， x
x 0
f
t dt
x
0 0dt
0.
当 0 x 时，
x
当x
x
0
f
t dt
上的上限变动的定积分
定积分与积
x
f ( x)dx
分变量无关
a
x
f (t)dt
a
又确定了一个在a, x上的新函数，记作x, 即
x
x
a
f
t dt
(a x b)
积分上限函数
2. 定理1 若 f (x) Ca,b ( x) ,
且
( x)
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
a
x b
证 思路：根据导数的定义，“求增量、算比值、取极限”
x、 x在a, b内可导
d (x) f (t)dt f [ ( x)] ( x)
dx a
(1)
d a f (t)dt f [( x)] ( x)
dx (x)
(2)
d
( x)
f (t)dt f [ ( x)] ( x) f [( x)] ( x)
(3)
dx (x)
证 ⑴ 设u ( x), (u)
时，
x
0
1 2
sintdt
1 2
cos
t
x 0
1 1 cos x
2
x
x
0
f t dt
0
f
t
dt
x
f
t
dt
0
1
x
2 sintdt 0dt
1 2
cos
t
0
1 2
cos
t
0
1
0
x
x
0
f
t dt
1
2
1 cos
1
x
x0
0 x. x
1 xa
x
a
f
t dt
证明在 a, b内有F x 0.
证
Fx
x a
f
t
dt
x
a
x
a
x a2
f tdt
f
x
x
a
x
a
x a2
f tdt
f xx a f x a x a2
a
x
f x f x a
f x x a
a
x 0
积分中值定理 拉格朗日中值定理
二、牛顿--莱布尼茨（Newton-leibniz）公式
1 定理2 f x Ca,b, Fx f x
b
a
f
xdx
F
b
F
a
证 F x是 f x的一个原函数，
而 ( x) x f (t )dt也是 f x的一个原函数， a
Fx x C (a x b)
F a a C F b b
Fb Fa b a
b
a
f
t
dt
a
a
f
t
dt
b
a
f tdt
0
0
1
1( x2 1)dx
3
(3 x)dx
0
1
17
4
例6 求 2 max{x, x2 }dx. 2
y
解 由图形可知
y x2
f ( x) max{x, x2 }
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
x x
f (t)dt
a
x
a
x
f ( )x
积分中值定理
f ()x, x, x x
显然 x 0 x,
y
f ( )
x
y f (x)
又 f ( x) C[a,b],
lim f () lim f () f ( x).
x
x0
x
oa
x lim lim f () f ( x).
b
a
f
x dx
F b
F a
注
公式又可记为： b a
f
t dt
F xba
F b F a
所以Newton-Leibniz 公式也称 微积分基本公式.
例1 求 1 x 2dx 0
解
1 0
x 2dx
1 3
x3
1 0
13
03
1 .
333
例2 求 1 xdx
0 1 x2
解
1 0
xdx 1 x2
x (a, b)，使得x x (a, b), y y f (x)
因为 ( x x)
x x
f (t)dt .
a
( x x) ( x)
x
xx f t dt x f t dt
a
a
oa
x x x b x
x
f (t )dt
xx f t dt
x
f (t)dt
t dt
x tf t dt a
a
x tf
t dt
a
x x
f
t dt
gx
x
a
f
t dt
xf
x
xf
x
xf
x
a
x
f
t dt
xf
x
x
a
f
t dt
a
x
f
t dt
又 gx f x f x 2 f x 0
gx是单调增加的。
例7 设 f x在a, b 上连续，在 a, b 内可导且 f x 0,
F x
cos( sin2 x)sin x cos( sin2 x)cos x
(sin x cos x)cos( sin2 x)
0 sint 2dt
例3 求 lim x0
2x
x3
0 sin t 2dt
解
lim
x0
2x
x3
0
0
lim
x0
0
s
2x
in
t
2dt
( x3 )'
sin(2 x)2
lim
F ( x)
0
0
x 0
f
(t
)dt
2
F(x)
f ( x) x
x
f (t)dt
x
tf
(t
)dt
0
0
x 0
f
(t
)dt
2
f (x)
x
( x t) f (t)dt
0
x 0
f
2
(t)dt
t 0, x, f t 0,( x t) f (t) 0，
且( x t ) f (t ) / 0,
dx du dx
(3) d ( x) f (t )dt d a f (t )dt ( x) f (t )dt
dx ( x)
dx ( x)
a
f [ ( x)] ( x) f [( x)]( x)
例1求 d x3 3 1 t 2 dt dx 1
解 d x3 3 1 t 2 dt 3 1 x6 ( x3 ) 3x2 3 1 x6