安徽省黄山市普通高中2019届高三11月“八校联考”数学(文)试题(解析版)

转化已知条件，通过构造函数，利用函数的单调性，求解不等式的解集即可。
【详解】 定义在
上的函数 满足
，
可得
构造函数
，则
在
上是增函数
，
，故
的解集为：
即
的解集为：
， 可得
则不等式
的解集为
故选 【点睛】本题主要考查了运用函数的性质解不等式，在求解此类问题时需要构造新函数，运用导数判定新
函数的单调性，从而求出结果，构造是难点，需要多练习。
A.
B.
C.
【答案】C 【解析】
C.
或
D.
则
(其中 为虚数单位)，复数 的虚部等于（ ） D.
，虚部为 .
故选 C
3.下列函数中，既是偶函数，又在
内单调递增的为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
分析：由题意逐一考查所给函数的性质即可确定正确的选项.
详解：逐一考查所给函数的性质：
A.
，该二次函数的对称轴为 ，是非奇非偶函数，不合题意；
B.
，该函数为偶函数，
当 时，函数的解析式为
C.若
，则
D.
是偶函数，
，函数在 上单调递减，不合题意； ，函数为奇函数，不合题意；
且 时，
单调递减，即函数在区间
上单调递减，
偶函数关于 轴对称，则函数在区间
上单调递增，满足题意.
本题选择 D 选项.
点睛：本题主要考查函数奇偶性的判断，函数单调性的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解
D. 0
.故选 D.
10.设
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
分析：三个数形式迥异，可与中间数 比较大小.
详解：
，而
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，
又
，故三个数的大小关系是
，故选 C.
点睛：实数的大小比较，一般方法是构造函数并利用函数的单调性比较大小.如果构造函数较为复杂，
那么可以找一些中间数（如 等），考虑这些中间数与题设中的数的大小关系.
【答案】（I） 【解析】
（II）
【分析】 （1）由题意知，
，由此能求出椭圆 C 的标准方程．
（2）易知直线 的斜率是存在的，故设直线 方程为
，由方程组联立方程组
，得
不过点 ，知
，利用题设条件推导出
，从而
，故
，由此证明直线 过定点
．
，因直线 AB
【详解】（1）依题意：有
解得
，所以椭圆 的方程为
（2）易知直线 的斜率是存在的，故设直线 方程为
11.已知点 ，抛物线
的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点
N，若
，则 的值等于（ ）
A.
B.
【答案】C 【解析】
C. 2 D. 4
试题分析：设
,
是点 到准线的距离，
,
,即
,那么
,即直线 的斜率是-2，所以
，解得
，故选 C．
考点：抛物线的简单性质 【思路点睛】此题考察抛物线的性质，和数形结合思想的考察，属于偏难点的基础题型，对于抛物线的考 察不太同于椭圆和双曲线，对应抛物线的基础题型，当图形中有点到焦点的距离，就一定联想到点到准线
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置.）
13.平面向量 与 的夹角为 ，
， ，则
等于____________.
【答案】 . 【解析】
14.设变量 满足约束条件
，则目标函数
的最小值为__________ .
【答案】 【解析】 【分析】 运用线性规划先求出
【详解】（1）使用 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 20 分钟的商家共有
分别记为甲，
从中随机抽取 3 个商家的情况如下：共 20 种.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
甲商家被抽到的情况如下：共 10 种。
,
,
,
,
,
,
,
,
,
记事件 为甲商家被抽到，则
.
（2）依题意可得，使用 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为 55，平均数为 .
【答案】（1）见解析； （2） . 【解析】 【分析】
⑴由线面垂直，以及已知条件结合勾股定理逆定理进行证明
⑵设
，得到
，运用导数求出最值
【详解】（1）
平面 ,
平面 ,
由
,得
,
,
又 则平面 （2）设
, 平面 ,则
平面 , ，
平面
，令
则
，由
得，
时，
， 单调递增；
时，
， 单调递减。
所以，当 时， 取最大值
象在左右平移时，是在自变量 x 上加减一个常数．
7.设 是等比数列 的前 项和，
，则 的值为（ ）
A.
B.
【答案】D 【解析】 【分析】
C. 或
D. 或
设出等比数列的首项 ，通过公比是否为 ，根据等比数列的前 项和的公式以及 等比数列的性质化简所求表达式，求解即可
【详解】由题设可知 ，
当 时，
，则 不成立
【解析】 【分析】
利用余弦定理和已知条件求出 和 的关系，设
代入，利用判别大于等于 0 求出 的范围，进而得到
的最大值，然后运用正弦定理求得结果
【详解】由余弦定理
设
，即
代入上式可得 ，
故
，
当
时，此时
，
故
由正弦定理得
，
符合题意
解得
故答案为
【点睛】本题主要考查了余弦定理、正弦定理的应用，涉及了解三角形和函数方程的思想的运用，在求解 过程中一定要注意计算。
的取值范围，然后求出结果
【详解】
如图，要求
的最小值，即求出 的最大值，
由线性规划得当 ， 时 的最大值为 11，
所以目标函数
的最小值为
故答案为 【点睛】本题主要考查了运用线性规划求最值问题，先画出可行域，然后改写目标函数，依据几何意义求 出目标函数的最值，继而求出结果，较为基础。 15.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅制造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三 视图(单位：寸)如图所示，若 取 3，其体积为 12.6(立方寸)，则图中的 为__________.
6.为得到函数
的图象，只需将函数
的图象
A. 向右平移 个长度单位 B. 向左平移 个长度单位
C. 向右平移 个长度单位 D. 向左平移 个长度单位 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用诱导公式化为同名的三角函数，然后再进行平移． 【详解】因为
将函数
的图象向左平移 得
的图象，
即可得到函数
的图象．
故选：B． 【点睛】本题考查了诱导公式及三角函数图象变换，关键是利用诱导公式先化为同名三角函数，要注意图
.
(I)求 的单调区间；
(II)若 ，求证：
.
【答案】(1) a≤0 时， 的单调递减区间是
； 时， 的单调递减区间是
， 的单调递
增区间是
．
(2) 证明见解析. 【解析】 试题分析：
（1）求出导数，根据对 的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；
（2）求出函数的最小值，转化为证 试题解析： （Ⅰ）
≥ ，构造 ．
【答案】3
【解析】
由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：
，．
点睛：本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，简单几何体的三视；由三视图知，
商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出 ．
16.在 中，
, ，则当 取最大值时 =__________ .
【答案】
，则
，
由
解得 ，由
解得
即在
上单调递减； 在
， 上单调递增；
∴
，
即
≥0 成立．从而 ≥ 成立．
点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，
属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般
，
即四面体
的体积的最大值为
【点睛】本题考查了面面垂直的判定证明，运用线面垂直性质以及勾股定理逆定理进行证明得到结果，在
求体积最值时运用导数，求导后得到单调性，继而求出最值。
20.已知离心率为 的椭圆
过点 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于 两点.
（1）求椭圆 方程； （2）求证：直线 过定点，并求出此定点的坐标.
（1）已知抽取的 100 个使用 A 款订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为 18 分钟。现从使用 A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 20 分钟的商家中随机抽取 3 个商家进行市场调研，求甲商家 被抽到的概率； （2）试估计该市使用 A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数； （3）如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从 A 和 B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择 哪款？ 【答案】（1） ； （2） ； （3）选 款订餐软件. 【解析】 【分析】 ⑴运用列举法给出所有情况，求出结果 ⑵由众数结合题意求出平均数 ⑶分别计算出使用 款订餐、使用 款订餐的平均数进行比较，从而判定
,
若 ,则
时满足上式,所以
, 为常数
数列 为等差数列 （2）由(Ⅰ)可知
【点睛】本题主要考查了等差数列的判断以及通项的求法，由
推导出通项并证明，在求和时运
用裂项相消法求出前 项和，较为基础，掌握解题方法。 18.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机 APP 软件层出不穷.现从某市使用 A 和 B 两款订餐软件的 商家中分别随机抽取 100 个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下.
安徽省黄山市普通高中 2019 届高三 11 月“八校联考”
数学（文）试题
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合
，则
（）
A.
B.
【答案】B 【解析】
，
故选 B
2.已知复数 满足：
D. 若 ∥ ， ，
，则 ∥
【答案】D
【解析】
选项 A 中，由题意可得 ∥ 或
，故 A 不正确；
选项 B 中，由题意可得 或 ∥ 或
，故 B 不正确；
选项 C 中，由题意可得 或 ∥ ，故 C 不正确；
选项 D 中，由线面平行的性质定理可得 ∥ ，故 D 正确．选 D．
9.已知
，则
（）
A. 1 B. -1 C. 【答案】D 【解析】
视频
，所以由几何概型知，所求事件概率
5.“ ”是“直线
的倾斜角大于 ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 设直线
若
，得
的倾斜角为 ，则
.
，可知倾斜角 大于 ；
由倾斜角 大于 得
，或
，即
或，
所以“
”是“直线
的倾斜角大于 ”的充分而不必要条件，故选 A.
由
得：
设
，则
设
得
即
得
代入可得：即 即 即 因直线 AB 不过点 ，知
，故
所以直线 过定点
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与 转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认 真审题，仔细解答．
21.函数
，求其最小值，即可解决问题.
当 a≤0 时，
，则 在
上单调递减；当 时，由
解得 ，由
解得
．
即在
上单调递减； 在
上单调递增；
综上，a≤0 时， 的单调递减区间是
； 时， 的单调递减区间是
， 的单调递
增区间是
．
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知 在
上单调递减； 在
上单调递增，
则
．
要证 ≥ ，即证
≥ ，即 + ≥0，
即证 ≥ ．构造函数
能力.
4.如图，在矩形区域
的 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 和扇
形区域 （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地
点无信号的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
试题分析：由图形知，无信号的区域面积
，故选 A． 考点：几何概型．
三、解答题（本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设数列 的前 项和为 ，且 （1）求证：数列 为等差数列；
（2）设 是数列
的前 项和，求 .
【答案】（1）
； （2） .
【解析】 【分析】 ⑴,
， ,由
计算出结果，然后进行验证
⑵运用裂项相消法求出前 项和
【详解】（1）由已知得 ,
（3）使用 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为
个， ,
所以选 款订餐软件。 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以 及运算求解能力和应用意识，属于基础题。
19.如图,在四面体
中, ⊥平面 ,
,且
（1）证明:平面 （2）求四面体
⊥平面 ; 的体积的最大值.
当 时，
由
可得：
，
解得
， 或
，求出 的值，利用
或
故选
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解
决本题的关键，属于基础题。
8.若 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若
，则 ∥
B. 若 ∥ ， ，则
C. 若 ， ∥ ， ，则
的距离，再跟据平面几何的关系分析，比如此题，
，转化为
，那分析图像等于知道
的余弦值，也就知道了直线 的斜率，跟据斜率的计算公式，就可以得到结果．
12.定义在
上的函数 满足
，
，则不等式
的解集为( )。
A. ( ，10) B. (0，10) C. (10，＋∞) D. (1，10)
【答案】D
【解析】
【分析】