稳定性模型--食饵捕食者模型

T
0
1 y ( d )dt b y
1 ln y (T ) ln y (0) dT ( ) T b b
x d /b
y r/a
x x0 , y y0
(t) (r ay)x x
轨线 P( x0 , y0 ) : x0 d / b, y0 r / a 中心
模型解释
相互依存
x1 x2 1 (t1 ) r1 x1 x 1 N 1 N , 1 2
x1 x2 1 (t ) r1 x1 x 1 N 1 N , 1 2
x1 x2 2 (t ) r2 x2 x 1 2 N N 1 2
x1 x2 1 (t ) r1 x1 x 1 N 1 N 1 2
x1 x2 2 (t ) r2 x2 x 1 2 N N 1 2
有稳定平衡点
食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进
• 相轨线是封闭曲线，结构不稳定——一旦离开某 一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状. • 自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的， 即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状.
用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值：
x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10.
Volterra模型的平衡点及其稳定性
(t) (r ay)x rx axy x (t) (d bx) y dy bxy y
0 ad / b AP br / a 0
•
P ( x1 , y1 ) 1
x
x2 x1 , y2 y1
P 1 P 2
食饵(鱼)减少， 捕食者(鲨鱼)增加
PP 1 还表明：对害虫(食饵)—益虫(捕食者)系统， 使用灭两种虫的杀虫剂, 会使害虫增加，益虫减少.
食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进
多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡, 而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点. Volterra模型
在x1ox2平面（相平面）上所描述的曲线称为该 方程组的相轨线.
用数学软件MATLAB求微分方程数值解
function xdot = shier(t,x)
r = 1; d = 0.5; a = 0.1; b = 0.02;
xdot = [(r-a*x(2)).*x(1); (-d+b*x(1)).*x(2) ]; ts = 0:0.1:15; x0=[25,2]; [t,x]=ode45( 'shier', ts, x0 ) plot(t,x), grid, gtext('x(t)'), gtext('y(t)'), pause, figure plot( x(:,1), x(:,2) ), grid xbar = sum(x([1:107],1))/107 ybar = sum(x([1:107],2))/107
30 25 20 15 10
T3
P(d / b, r / a )
T2
0，y 0 x
(t) (r ay)x x (t) (d bx) y y
, y0 ) 初值 P0 ( x0
0 x 0 y
P
T4
0 0
120 100 80 60 40 20 0 0
5
0 x 0 x 0，y 0 P0 y
x1 x2 x1 1 (t ) r1 x1 2 (t ) r2 x2 x 1 N 1 1 wx x 1 2 1 wx 1 1 1 30 r1=1, N1=20, 1=0.1, 20 w=0.2, r2=0.5, 2=0.18
食饵-捕食者模型(Volterra)
食饵(甲)数量 x(t), 捕食者(乙)数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r
rx x
rx axy (1)
乙使甲的增长率减小， x (t ) (r ay) x 减小量与 y成正比 乙独立生存的死亡率 d
dy y
甲使乙的死亡率减小， (t ) (d bx) y dy bxy (2) y 减小量与 x成正比 a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 方程(1),(2) 无解析解
弱肉强食
x1 x2 2 (t ) r2 x2 x 1 2 N N 1 2
相轨线
1 (t ) f ( x1 , x2 ) x , 2 (t ) g ( x1 , x2 ) x
x1ox2平面称为该方程组的相平面； 该方程组的解
x1 x1 (t ) x2 x2 (t )
用相轨线分析
P(d / b, r / a) 点稳定性
x(t), y(t)是周期函数(周期记 T)
相轨线是封闭曲线
求x(t), y(t) 在一周期的平均值
(t ) (d bx) y x, y y
1 y x(t ) ( d ) b y
1 x T

T
0
1 x (t )dt T
(t ) (r ay) x x x(r ay ) 消去dt dx (t ) (d bx) y y dy y (d bx)
d bx r ay dx dy x y
d ln x bx r ln y ay c1
(x e
取指数
d
bx
)( y e
模型 一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降， 解释 但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？ 自然环境 P( x , y ) x d / b, y r / a
y
捕捞
rr-1, dd+1
P( x, y)
x1 x, y1 y
战时 捕捞
•
PP 1
O
P2 ( x2 , y2 )
•
rr-2, dd+2 , 2 < 1
第七章 稳定性模型
§7.5 食饵-捕食者模型
7.5 食饵-捕食者模型 (种群的弱肉强食)
• 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠 捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如 食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫 . • 模型的历史背景——一次世界大战期间地中海 渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)， 但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？
(t ) (r ay) x x
(t ) (d bx) y y
改写
x2 x1 1 (t ) r1 x1 x 1 2 (t ) r2 x2 x 1 2 1 N2 N 1
加Logistic项
1 (t ) f ( x1 , x2 ) x , 非线性方程 x2 (t ) g ( x1 , x2 ) 常系数的近似线性方程
（6）
（17）
P ( x0 , x0 ) 特征方程系数 p ( f x1 g x2 )
0 1 2
q det A
（19）
结论：
若方程（17）的特征根不为零或实部不为零， 则点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（17） 的稳定性相同。对于方程（6）的稳定性也由准则 （12）、（13）决定。
g (0) g () 0, g ( y0 ) gm , y0 r / a
gm
y0
O
y
c f m g m 时无相轨线
以下设 c f m g m
相轨线 f ( x) g ( y ) c
f ( x) fm p
O
g(y) gm q
y2
y
Q4
Q4
x 1 x0
x2
x
O
y1 y0 y2
存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p
考察x [ x1 , x2 ]
f ( x) g ( y) pgm f ( x) p
g ( y) q g m
存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q
x是[x1, x2]内任意点
Q3(x,y1), Q4(x,y2)
相轨线是封闭曲线族
稳定性分析
r ay ax A 平衡点 P(d / b, r / a), P(0,0) by d bx
p =0, q > 0 P: 临界状态 q<0 P´ 不稳定
A P
r 0
0 d
P点稳定性不能用近似线性方程分析
用相轨线分析
P(d / b, r / a) 点稳定性
y0 Q1 P Q2 y1 Q3 Q3 y O x1 x x0 x x 2 x
c fm gm
c fm gm
x x0 , y y0
相轨线退化为P点 P~中心
设c pgm 令y y0
g ( y ) g m f ( x) p f m
Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)
用数学软件MATLAB求微分方程数值解
t 0 0.1000 0.2000 0.3000 … 5.1000 5.2000 … 9.5000 9.6000 9.7000 x(t) 20.0000 21.2406 22.5649 23.9763 … 9.6162 9.0173 … 18.4750 19.6136 20.8311 y(t) 4.0000 3.9651 3.9405 3.9269 … 16.7235 16.2064 … 4.0447 3.9968 3.9587
相轨线趋向极限环
10 0
结构稳定
0
5
10
15
20
两种群模型的几种形式
相互竞争
x1 x2 x1 x2 1 (t ) r1 x1 x 2 (t ) r2 x2 1 2 1 N 1 N , x N N 1 2 1 2
dx1 (t ) 0 0 0 0 0 0 f ( x , x )( x x ) f ( x , x )( x x x1 1 2 1 1 x2 1 2 2 2) dt dx2 (t ) g ( x 0 , x 0 )( x x 0 ) g ( x 0 , x 0 )( x x 0 ) x1 1 2 1 1 x2 1 2 2 2 dt f x1 f x2 系数矩阵 （18） A P ( x0 , x0 ) 0 1 2 g g x x 1 2
•
T1
100 120
相轨线的方向
20
40
60
80
T1 : x(t ) y(t )
T2 : x(t ) y(t )
x(t) 的“相位”领先 y( t )
x(t)
T3 : x(t ) y(t )
y(t)Байду номын сангаас
T4 : x(t ) y(t )
T1 2 T2 4 T3
6
8
T410
12
模型解释
捕食者 y r 数量 a r ~食饵增长率 a ~捕食者掠取食饵能力
30 25 20 15
P(d / b, r / a )
r/a10
5 0 0 20
P
d/b 40
60
80
100
120
捕食者数量与r成正比, 与a成反比
d 食饵 x 数量 b
d ~捕食者死亡率 b ~食饵供养捕食者能力
食饵数量与d成正比, 与b成反比
r
ay
)c
c 由初始条件确定
用相轨线分析
P(d / b, r / a) 点稳定性
f ( x) fm
( xd ebx )( y r e ay ) c
f ( x)
相轨线
g ( y)
f ( x) g ( y ) c
O
在相平面上讨论相轨线的图形
x0 g( y)
x
f (0) f () 0, f ( x0 ) f m , x0 d / b
食饵-捕食者模型(Volterra)
(t ) (r ay) x y x (t ) (d bx) y
计算结果（数值，图形）
观察，猜测
x(t), y(t)是周期函数，相轨线(x,y)是封闭曲线 x(t), y(t)的周期约为10.7
xmax 99.3, xmin 2.0, ymax 28.4, ymin 2.0