8、结构的塑性极限分析解析

机构（1）
1.1 p
p

2
p2 3
Mu a
Mu
Mu
Mu 依 上 限 定 理 ： pu 2.27 a
机构（2）
试用机动法求图示结构的极限荷载。
1.1 p
A D B E
p
C
(1)分析弯矩与曲率的关系 :

1

y
M EI
(a )当M为 正 值 时 ， 曲 率 为 负 ； 值
A
2L 2L
B
L L
C
A
2L 2L
B
L L
C
A
2L 2L
B
L L
C
A
2L 2L
B
L L
C
试用机动法求图示结构的极限荷载。
1.1 p
p
解：
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 p1 2.27 Mu a

2
Mu
3
机构（ 2） p2 a M u M u 2
Mu
q
1.1 p
Mu
p
x
q
机构（4）
结论：机构（1）、（2）不会出现，各跨可单独考虑。
q
试用试算法求图示结构的极限荷载。
1.1 p
A D B E
p
C
解 法1 ： 试取机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 Mu a 绘出与 机构（ 1） 相应的 M图， p1 2.27
下限，由运动许可场可得到极限载荷的上限。如
果能同时找到一个既是静力许可场又是运动许可 场的体系，那么相应的载荷就必然是结构的塑性 极限载荷。如果不能精确地求出极限载荷，那么 也可分别由静力许可场和运动许可场求得极限载
荷的下限和上限，并由上限与下限之差来估计极
限载荷近似值的精确度。
8.3 双跨连续梁的塑性极限分析
N
a 1 a
r
a
0
于是，从（3）式减去（1）式并利用条件：
0 M M S k k ( xk ) k 0, k 1 k 1 n 1 n 1
可得 ( o ) N a a 0
a 1
r
即
o
任意运动许可场
N a a M S K (4) a 1 k 1
举例 N1 1 N 2 3 N1 5 若 5 则P P2 15 P3 25 1 5
与真实的塑性流动机构相对应的运动许可场可写为 { k , a },
其中 k (k 1,2,.n 1) 是在实际出现塑性铰点 梁段的相对转角。
xk 两侧
A
源自文库
P

C
2
M s 2
P M s M s 2 6M s / L 6M s Ps L
说明：对于复杂结构可能破损机构一般有好几种，对应于 每一种破损机构都有一个载荷值，真实的极限载荷是这些 载荷中的最小值。
静力法
A ① ② C P B ③
解：1、未知弯矩图
FB M
M 3 M B 消去FB、MB PL FB L MB M 3 2M 2 M 1 M 2 2 2 PL 平衡条件 M 1 FB L MB 2
可作为超静定次数n＝2的问 题求解，可能出现塑性铰的 B 个数m＝3 设多余约束为FB 、MB，则用 多余约束表示的平衡方程有3个：
令m j
Mj Ms
f 则平衡条件可写为： m3 2m2 m1 2 f 消去m1得： 1 m3 2m2 1 2 f f 1 2m2 m3 1 2m2 2 2 f f 1 2m2 1 且 1 1 2m2 消去m3得： 2 2 f f 1 m2 1 4 4
*
即：

0
*
3.定理证明
o 在任意一个 , P 虚功原理 ：当任意一个静力许可场 M o j a 运动许可场 k* , *a 上作功时，外载荷的虚功


应等于内力的虚功。
由于真实场 M k ( xk ), Pa 是静力许可场的一种，而真实
场 k , a 是运动许可场的一种，因此根据不同的组合， 可得到虚功方程的几种具体表达式 ：
a 1 * a a k 1
n 1
k
( x )
* k
* k
P M
a 1 a a k 1
0 Mk ( xk ) M S ,
r
n 1
k
( xk ) k M s k 0 (3)
k 1
* M k ( xk ) MS
n 1
显然有：
此外，（3）式大于零的条件可写为
P1
L PL M s M C FB 2 4 2
FB
P Ms FB 2 L
M A M s
P1
当 M C M s 时，C点也形成 塑性铰，此时梁变成机构，梁 的承载能力达到极限值，此时 的载荷称为极限载荷:
PL M s MC 4 2
6M s Ps L
并不依赖弹性模量
2a
a
1.1 p
Mu 机构（3）
a
p
a
Mu
(b)当M为 负 值 时 ， 曲 率 为 正 。 值
x
M
M
y
(2)分析弯矩与荷载集度 (q)关系:
d 2M q dx2 (a )当q为 正 值 (向 下 ） 时 ， 曲 率 为 负 ； 值 (b)当q为 负 值 (向 上 ） 时 ， 曲 率 为 正 。 值
B
超静定次数n＝1，可能出现 塑性铰的个数m＝2
设多余约束为FB，则用多余约束表示的平衡方程有2个：
PL M A FB L 2 M FB L C 2
不违反屈 服条件
M A Ms MC Ms
PL FB L 2 M s M A Ms F L M M B s C Ms 2 PL PL FB L M s M s 2 2 2M s FB L 2M s
二、上、下限定理
1.几个概念
假定作用在结构上的各个外载荷 Pa (a 1,2,, r ) 为集中力， 它们以共同的比例因子 ( 0) 逐渐增长。
当 时，外载荷对应于真实的塑性极限载荷 P N ( 0, 1,2,, r )
其中N ( 1,2,, r ) 表示给定的关于各载荷间的相对比值
PL f Ms
则 m j 1( j 1、 2、 3)
f f 消去m2得： 1 1 且 1 1 4 4 8 f 8
f 8 当f 8时， 8M s 对应的最大载荷 Ps L
M1
A C
P
M1
B
2、已知弯矩图
PL M1 4
M A M1 M s PL M1 M s MC 4
6 PL MA 32
P
6 PL M s 时 当M A 32
A端全部进入塑性状态，梁在 会形成一个塑性铰，此时对 应的载荷为：
5PL MC 32
M A M s
32 M s P 1 6L
当A点形成塑性铰后，该点 的弯矩已知 M A M s ， 结构变成静定结构，由平衡 条件可得到B点的反力：
任意静力许可场在真 实运动场中做虚功 静力真实场在任意运 动场中做虚功 静力真实场在真实运 动场中做虚功
0 P M a K ( xk ) k a 1 r 0 a
r
n 1
(1) M k0 ( xk )在xk 处取值
* * M ( x ) 在 x (2) k k k 处取值
P M
* k * a
然后通过计算外载荷
在该运动许可场上所作的功和塑性 铰的耗散功来得到相应的载荷值。
Pa* * Na
其中 满足:
*

*
N M
a 1 a * a
r
n 1 k 1
s

* k
由运动许可场的定义，上式中
N
a 1 a
r
* a
0
* 使外载荷在 a上所作的总功取正值的机动场
消去M1得：
8M s PL 2M s Ps 4 L
机动法 A P

C
2
B
解：可作为超静定次数n＝2 的问题求解，可能出现塑性 铰的个数m＝3 可能出现的破损机构
C
n1 m
C 1
3 3
当A、B、C处产生塑性铰时，整个机构变成破损机构如图所示
2 当C点向下移动 ，则A、B处转动 L/2 L C处转动 2 P M s M s 2 M s 8M s / L
验算屈 服条件： 1 1 M EC p1 2a M u 4 2 Mu 1 1 ( 2.27 ) 2a M u 4 a 2 0.635M u M u
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p

2
Mu
3
机构（1）
1.1 p
Mu
p
Mu
M图
M EC
经验算各截面弯矩值足 满屈服条件， M pu 2.27 u a
n 1 k 1 n 1 k 1
r
n 1
（4）－（2）得：
r
* * * M M ( x ) S k k k k 0,
* * ( ) N a a 0 即 可得 a 1
*
这便证明了上、下限定理。
• 以上定理说明，由静力许可场可得到极限载荷的
8M s Ps L

§8.2
回顾：
极限分析中的上下限定理
在上节中，我们没有追踪结构的实际加载过程去逐步地进行
结构的弹塑性计算，而是设法直接求出结构的塑性极限载荷 及其相应的塑性流动机构。这样的分析方法通常称为极限分
析。在极限分析中，最常用的方法就是静力法和机动法。
这两种方法是以本节将要讨论的上、下限定理为理论依据的
第八章
结构的塑性极限分析
理想弹塑性材料 B 当PP e 时，梁上各截 面的弯矩均为达到极限弯 矩M s . 由结构力学知识可以画 出弯矩图（见左边）。 由图可知 P从0 开始增加
8.1 超静定梁的塑性极限分析
图示为一次的超静定梁 P A C
6 PL MA 32
P
5PL MC 32
M
max
6 PL MA 32
应该指出：在很多情况下，结构上还有作用有分布 载荷（如结构自重），相应的广义位移将由分布挠度来 表示。这样在计算外力功时，相应的求和号就应改为积 分号。因此对于这种情形的讨论并无原则的困难，所以 这里仅讨论外载荷为集中力的情形。
上下限定理：
由静力场得到的载荷乘以 0 小于或等于真实的载荷乘子 由机动法得到的载荷乘子 大于等于真实的载荷乘子
6M s 由以上讨论可知，Ps L
E，如果梁是理想刚塑性材料构成，也会得到同样的极 限载荷，其值仅仅与结构本身和载荷形式有关，而与 结构的残余应力和加载历史无关。
一、静力法
——通过与外载荷相平衡且在结构内处处不违反 屈服条件的广义应力场来寻求所对应外载荷的最大值 的一种方法。 两种思路：已知弯矩图和未知弯矩图 A C P 解：1、未知弯矩图
消去FBL得：
6M s PL 3M s Ps 2 L
M A M1
2、已知弯矩图
P1
PL M 1 MC 4 2
M A M1 M s PL M 1 Ms MC 4 2
消去M1得：
6M s PL 3M s Ps 2 L
二、机动法 ——当机构的变形可能成为一个塑性流动（或破损）机 构时，通过外载荷所做的功（外力功）与内部耗散功 （内力功）的关系寻求所对应载荷的最小值的一种方法。
试用试算法求图示结构的极限荷载。
A
P C （中点） P
解：超静定次数n＝1，可能 B 出现塑性铰的个数m＝2 可能出现的破损机构
n1 2 Cm C2 1
A

C

B 当A、C处产生塑性铰时，整个 机构变成破损机构如图所示 当C点向下移动
2 则A处转动 L/2 L

A
P

C
2
B
C处转动 2 外力功： W外＝P 内力功： W内＝M s 内力功等于外力功
B
静力场要求构造某个静力许可场
M
0 j
, Pa0
j 1,2,, m
其中m—可能出现的塑性铰的个数；
M0 j —塑性铰节点处的弯矩；
Pa0
0 a
—外力。
0
由此可得到一个载荷乘子 ：
P Na
0
(a 1,2,, r )
A
P

C
2
B
机动场要求构造某个运动许可场
, P