1103格林公式及其应用(1)

当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
L
L1
L2
◆边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
二、格林公式
定理1 设闭区域D由光滑或分段光滑的曲线L围成.
函数P( x, y)、Q ( x, y)在D上具有一阶连续偏导数,
则有 : 注:
L Pdx Qdy
(
Q x
P y
)dxdy.
L是上半圆周( x a)2 y2 a2, y 0,沿逆时针方向.
解 如图,记L OA 围成的闭区域为D. y 记 P( x, y) e x sin y my k,
Q( x, y) e x cos y e y2 sin y n, o
L D
a Ax
由格林公式, 得 :
Pdx
LOA
一方面， D
Q
x dxdy
d
dy
2 ( y)Qdx
c
1 ( y ) x
d
c [Q( 2( y), y) Q( 1( y), y)]dy
另一方面，
Q( x, y)dy L
y
d
⌒CBE Q( x, y)dy ⌒ EAC Q( x, y)dy x 1( y)
⌒ CBE
Q(
x,
y)dy
◆格林公式：L
Pdx
Qdy
D
(
Q x
P y
)dxdy.
• 取 P y, Q x,得 :
L xdy ydx 2 dxdy 2A, A D的面积, D
A
1 2
L
xdy
ydx;
例3
计算椭圆 x2 a2
y2 b2
1所围成的平面图形的面积A.
解 用L表示题中的椭圆,且取逆时针方向, y
用D表示椭圆所围成的区域.
第三节 格林公式及其应用(1)
一、平面区域连通性的分类 二、格林（Green）公式 三、格林公式的应用 四、小结与教学基本要求
一、平面区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部 分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为 复连通区域.
D
D
单连通区域 ◆边界曲线L的正向:
复连通区域
f D2 L2 B
L
L3 Pdx Qdy (C⌒gA AC¯)( Pdx Qdy)
e
三式相加得
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(2)
D
情形3.
若区域不止由一条闭曲线所
G
围成.添加直线段 AB，CE.则
L3
D 的边界曲线由 AB，L2 ，BA，
E
AFC，CE，L3 ，EC 及 CGA
构成. 由(2)知
)dxdy
L
Pdx
Qdy
D
情形2. 若区域D由按段光 L3 D3
滑的闭曲线围成.如图,
将 D分成三个既是 X 型又是
D1
Y 型的区域D1, D2, D3.
L1
D2 L2
D
L
( Q x
P y
)dxdy
(Q P )dxdy x y
D
D1 D2 D3
(
Q x
P y
)dxdy
(Q x
P y
)dxdy
则有 :
L Pdx Qdy
(
Q x
P y
)dxdy.
D
格林公式
格林公式的实质：沟通了沿封闭曲线正向的曲线 积分与此封闭曲线围成的平面区域上的二重积分 之间的联系.
三、格林公式的应用
1.利用二重积分计算曲线积分
例1 计算 x2 ydx y3dy,其中L是由 y x2 及 x y 所围 L 区域的正向边界曲线.
D
为顶点的三角形闭区域.
y
BA
2
解 令 P 0, Q xe y2 ,
D
y 2x
则 Q P e y2 , x y
o 1x
由格林公式 ,得 : 原式
D
格林公式
(1) L是D的边界曲线, 且取正向;
(2) D可以为复连通域,
此时, L是D的整个边界,且取正向.
证明 情形1.
若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
D
:
1
(
x) a
y x
(x) 2
b
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y) Cy 1(x) b x
b
则由格林公式可知:
A
1 2
L
xdy
ydx,
o
ax
L的参数方程为: x a cost, y bsin t, t [0,2 ],
A
1 2
2
0
[acost (bsin t)
bsin t (a cost) ] dt
1 2
02
abdt
ab.
3.利用曲线积分计算二重积分(了解)
例4 计算 e y2dxdy,其中D是以O(0,0), A(1,2), B(0,2)
Qdy
D
(Q x
P )dxdy y
m dxdy
D
1 2
m
a2,
又
OA Pdx
Qdy
OA Pdx
2a 0
k
dx
2ka,
原式 1 m a2 2ka.
2
◆补线方法:
L Pdx Qdy LL1 Pdx Qdy L1 Pdx Qdy
D
(
Q x
P y
)dxdy
L1
Pdx
Qdy.
容易计算
2.计算平面图形的面积
(
Q x
P y
)dxdy
D
L2 B
C
F
A L1
{ABL2 BAAFC CE L3 EC CGA}(Pdx Qdy)
(L2 L3 L1 )( Pdx Qdy)
LPdx Qdy
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
二、格林公式
定理1 设闭区域D由光滑或分段光滑的曲线L围成.
函数P( x, y)、Q ( x, y)在D上具有一阶连续偏导数,
(Q x
P y
)dxdy
D1
D2
D3
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
Байду номын сангаас
L3
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
L1 Pdx Qdy (A⌒eB B¯C C¯A )(Pdx Qdy)
g A L3 D3 C
D1
L2 Pdx Qdy (B⌒fC C¯B )( Pdx Qdy) L1
解 记L围成的闭区域为D.
x y (1,1)
记P( x, y) x2 y, Q( x, y) y3 ,
P x2 , Q 0, 由格林公式, 得 :
y
x
原式 [0 ( x2 )] dxdy
D 1
dx
x
x2 dy
1 . 20
0
x2
y x2 D
例2计算L(e x sin y my k)dx (e x cos y e y2 sin y n)dy,
⌒ CAE
Q(
x,
y)dy
A
c
d
d
o
c Q( 2( y), y)dy c Q( 1( y), y)dy
Q x
dxdy
Q(
x,
y)dy
D
L
E
DB
C
x 2( y)
x
即有
Q dxdy Q( x, y)dy x
D
L
同理可证
P dxdy P( x, y)dx
y
L
D
两式相加得
(
Q x
P y