大物2-稳恒磁场

l = r cos( ) = r cos
I
a = r sin( ) = r sin
2
Idl
l = actg
r = acsc l
r
B
d l = acsc2 d
o 1 a
P
dB 0I a csc2 sind 0I 1 sind
4 a2 csc2
4 a
B
LdB
0I 4a
2
1
sin
d
0I 4a
(cos1
(3)求出环路积分；
(4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的正负，
最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强度
B
的大小。
例5 求无限长同轴电缆的磁场.
解: 0 < r < R1时,
LB dl 2r B 0I
I
r
2
I
R12
B 0Ir . 2R12
R1
R2 R3
I
I
Lr
R1< r < R2 时,
四、磁通量
dm B dS
m S B dS
n
B
dS
五、磁场中的高斯定律
B
SB dS 0
§2 毕奥 — 萨伐尔定律
I
1. 电流元
Idl
Idl
2. 毕奥 — 萨伐尔定律
dB
0 4
Idl
r2
rˆ
0 4 107 N / A2 — 真空中的磁导率
I
dB
P
Idl
r
dB
0 4
cos2
)
讨论 1. 当 L 时,
B
0I 4a
(cos1
cos2
)
B 0I 2a
2. 半无限长,
B 0I 4a
3. 在电流延长线上,
B=0
例2 求圆电流轴线上磁场的分布. ( R, I )
解:
dB
0 4
Idl rˆ r2
I
dB 0 Idl 4 r2
Idl A
R o
r
dB
x
p
x dB
IBsin dl BIl
L
2
dFx dF cos BI cosdl BIRcosd
dFy dF sin BI sindl BIRsind
• • • F1 •
•
•
y •
• R
Idl
• dF
•
F2
• •
I
o•
• •x
l
l
d
Fx dFx BIR 0 cosd 0
Fy dFy BIR 0 sind 2BIR
同轴电缆中的 漏电流
3. 电流密度 (Current density) 某点的电流密度 方向：该点正电荷定向运动的方向。 大小：通过垂直于该点正电荷运动方向 的单位面积上的电流强度。
dI
d S
导体内每一点都有自己的 ，
= (x, y, z)
即导体内存在一个 场 — 称电流场。
电流线：类似电力线，在电流场中可画电流线。
LB dl LB cosdl ?
dl cos rd
LB
dl
2
0
0I 2r
r
d
0I 2
2
0
d
0I
I o r
该结果与回路的形状和大小无关.
d
B
dl
若电流 I 与回路绕行方向成左手螺旋关系.
LB dl 0I
如果回路不包围电流.
LB dl
B L1
dl
B L2
dl
0I 2
( L1
Idl
r2
rˆ
一段载有稳恒电流的导线所产生的磁场为
B
L dB
0 4
L
Idl r2
rˆ
3. 毕奥 — 萨伐尔定律的应用
例1 求直线电流的磁场. (I, L)
解:
dB
0 4
Idl rˆ r2
dB
0 4
Idl sin
r2
I 2
Idl
l
r
B
o 1 a
P
B
L dB
0I 4
L sin
dl r2
dBx dBsin
0I 4
sin
dl r2
Idl B
sin R ,
r r R2 x2
Idl A
IR o
r
x
p
dB
x dB
Idl B
dBx
0 IR 4
dl r3
0 IR 4
(R2
dl
3
x2)2
B L dBx
0IR 3 2R
4 (R2 x2 )2
0 IR 2
3
2(R2 x2 )2
荷分布的变化
内的电荷相应发生变化。
由电荷守恒定律，单位时间内由S 流出的净电量应 等于S 内电量的减少
电流连续性方程 恒定（稳恒）电流条件
S
d
S
d q内 dt
d q内 0 dt
S d S 0
5.欧姆定律的微分形式
dU—小柱体两端的电压 dI —小柱体中的电流强度
在导体的电流场中设想
dU
取出一小圆柱体 (长dl
不变.
求o点处的磁场
B
?
解: dq dr dI dq 2
o
ar A
dr b
dB 0dI 0 dr 2r 2r 2
B
B
L dB
ab
a
0 4
dr r
0 ln a b 4 a
方向: 由右手螺旋法则确定.
例4 求载流螺线管轴线上的磁场. (L, R, n)
L
•
•
•
•
•
R
1
r
2
P
x
x dx
、横截面dS)
dS
dI
由欧姆定律 dU = dIR
Edl = dS(dl /dS)
导体中任一点电流密度的 方向(正电荷运动方向)和 该点场强方向相同，有
dl
= (1/)E = E
电导率： = 1/
E
欧姆定律的 微分形式
§1 磁场 磁场的高斯定律
一、磁场
I1
I2
I1
I2
I
N
S
运动电荷
N NS
十万火急。基地和卫星研制部门果断决策，立即起动星上大飞轮 。起动大飞轮，实际上是把原作它用的大飞轮当作一个大陀螺，使卫 星太阳能电池阵能稳定保持向阳面，从而保证卫星的电源供应，为抢 救“风云一号”创造最基本的条件。经过紧急磋商，科技人员决定利 用地球巨大的磁场对卫星通电线圈的磁力矩作用，来减缓卫星的翻滚 速度，逐步把卫星调整到正常姿态。该方案实施后第一天，卫星旋转
解: 宽为dx的园电流 dI = nIdx, 在P处产生的磁场
dB
0 R 2dI
3
2(R2 x2 )2
x Rctg , dx Rcsc2d ,
r2 R2 x2
R2 (1 ctg2 ) R2 csc2
L
•
•
•
•
•
R
1
r
2
x
P
x dx
dB 0R2nI (R csc2 )d 2R2 csc3
a
DF边
dF I2dl B
dF BI2dl
B
dF
I1 x D
x+dx
Idl
dx F
FCD
I2
bC
a
0 I1 2x
I2
s
dx in 60
0 I1I 2 3
dx x
FDF
0 I1I 2 3
b
3a 2
dx
0 I1I 2
ln
b
3a 2
b
x
3
b
方向：与水平方向成60°
FC边
FFC
FDF
2
无限大均匀载流平板的磁场
(
,d
y
)
• •
• y•
•o
•
dx
板外: d
l
板内:
vv
vv
ÑL B dl B 2l 0 l d ÑL B dl B 2l 0 (2y d)
B 0 d
2
B 0 y
§3 磁场对载流导线的作用力
一、磁场对载流导线的作用力— 安培力
dF Idl B
电流、电流密度矢量
1.电流 电流—电荷的定向运动。 载流子—电子、质子、离子、空穴。
2.电流强度 单位时间通过导体某一横截面的电量。
I
lim
t0
q t
dq dt
方向：正电荷运动的方向 单位：安培(A)
几种典型的电流分布
粗细均匀的 金属导体
粗细不均匀的 金属导线
半球形接地电极 附近的电流
电阻法勘探矿藏 时的电流
L B dl 0I
B 2r 0I B 0I
2r
R1
R2 R3
I
I
Lr
R2< r < R3 时,
L B dl 0I
B 2r 0I
I
I
I (R32
R22 )
(r2
R22 )
R1
B 0I r 2 R22
R2 R3
I
I
2r R32 R22
Lr
r > R3 时,
L B dl 0
o
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R
B 0I ， dl Rd， 2x
x Rsin
dF 0I0I d 2 sin
Fx
L dFx
dF sin 2 0I0I d
L
0 2
0I0I
2. 均匀磁场对平面载流线圈的作用。
c
d
l1
I
l2
n
B
b
a
F2
M BIl2 l1 sin BISsin
定义磁矩
Pm
ISn
磁力矩
dPm
R r3dr
0
1 QR2
4
磁电式电流计
磁电动圈式电流计
▲ 加速器 ▲ 磁流体发电 ▲磁 流 体 船
进水
出水
发动机
B
电流
•
FB
电极
海水
•
接发电机 I
F
▲ 电磁轨道炮（书 P280 习题 8.24）
B弹
金属熔
块
块如铜
块 I
I
Fm
导电气
体
B
I
I106A
导电导
a
~
轨 10 6
g
，
在1ms内，弹块速度可达10km/s
整个载流导线所受的安培力
B
F L dF L Idl B
Idl
dF
1. 均匀磁场中，计算载流导线所受的安培力。
F LIdl B
F BLI sindl
例8. 如图所示，求导线所受的安培力。
• • • F1 •
•
•
y •
• R
Idl
• dF
•
F2
• •
I
o•
••
x
l
l
d
解：F1 F2
0 I1I 2 3
ln
b
3
2 b
a
方向：与水平方向成240°
整个线框所受的合力：
F FCD 2FDF cos 60
0 I1I 2
1
3 ln b
3 a 2
2b 3
b
例10. 求整个圆形电 流受直线电流的作用力
的大小和方向。
解：
dF
Idl
B
dF BIdl
I0
dF
x
I
d Idl
方向: 沿轴线向右.
讨论
1. 在园心处, x = 0.
2. 若, x >> R.
B 0I
2R
B
0R2I
x3
B
0 IR 2
3
2(R2 x2 )2
课堂练习 求 o 处的 B。
C o
A
I1
I
a
o I2
b
例3 均匀带电细导线AB, 长为b, 电荷线密度为
. 绕 o 轴以作匀角速转动. 假设A, o 距离保持 a
B=0
例6 螺绕环的磁场
解: 管内一点
L B dl 2r B 0NI
B 0 NI 2r
若：R2 R1 r. R1 R2 r
B 0nI
管外一点
B=0
例7 无限大平面电流的磁场 (面电流密度 i )
l
dl'
dl
i
••••
dB
解:
L B dl B 2l 0l i
dB
B 0i
CCTV10:科学、探索
1991年2月14日除夕夜20时 57分，“风云一号”进入我国 上空时，发回的云图突然出现 扭曲、倾斜、甚至杂乱一团。
22时35分，卫星再次入境，科研人员从遥测数据 中发现，“风云一号”姿态已失控，星上计算机原 先存入的数据大多发生跳变，用于卫星姿态控制的 陀螺和喷气口均已被接通，气瓶中保存的氮气损耗 殆尽。更为严重的是，到了2月15日凌晨7时40分卫 星重新入境时，发现在旋转翻滚状态下，卫星太阳 能电池阵只有部分时间对着太阳，如果卫星的电源 供应再失去，那“风云一号”就真成“死星”了。
磁场
运动电荷
二、磁感应强度矢量
B
1. 定义B的方向.
规定.
B的方向沿运动电荷 不受力的方向.
F
B
q
v
运动正电荷v,
B,
F三者
之间符合右手螺旋关系.
2. 定义B的大小.
B F
qvsin
单位 (SI). 特斯拉 1特斯拉 = 1牛顿 ·秒/ 库仑 ·米
三、磁感应线
特点: 有方向的封闭曲线.
导线上所受安培力的合力 F F1 F2 Fy 2BI (R l)
2. 非均匀磁场中，载流导线受力情况。
例9. 求正三角形线圈受电流I，所产生磁场的安培 力的合力。
解：
I 2dl B
CD边受力
FCD
BI2
D
dl
C
0 I1 2b
I
2a
0I1I2 a 2 b
B
I1
D
FCD bC
F I2
综上所述，任意形状不变的平面载流线圈作为整体在 均匀外磁场中，受到的合力为零，合力矩使线圈的磁矩转 到磁感应强度的方向。
例11. 证明转动带电园盘的磁矩 (R, Q)
Pm
1 QR2
4
解：
dq
Q
R2
2r
dr
o r dr
dI
dq T
2
Q
R2
2rdr
rdr
dPm dI r 2 r3dr
Pm
M Pm B
F1
•
n B
讨论：
（1）=/2，线圈平面与磁场方向 相互平行，力矩最大，这一力矩有 使减小的趋势。
A(B) （2）=0，线圈平面与磁场方向垂
直，力矩为零，线圈处于平衡状态。 F2
F2'
D(C) B
en
（3）=，线圈平面与磁场方向相互垂直，力矩 为零，但为不稳定平衡，B 与Pm反向，微小扰动， 磁场的力矩使线圈转向稳定平衡状态。
0nI (sin )d
2
B
L dB
2
1
0nI
2
sin d
B
0nI
2
(cos 2
cos1)
讨论 L,
B
0nI
2
(cos 2
cos1)
B 0nI
若在长螺线管的端口处
B 0nI
2
§3 安培环路定理
一、表述
B dl L
0 Ii ( L内)
I1
I2
L
I3
Ii I1 I2
( L内)
d
L2
d )
0I ( ) 0 2
I
o
L2 L1
说明:
B：空间所有电流产生的磁场
(内)
I
：回路内所包围电流的
i
代数和。
闭合稳恒电流
二、安培环路定理的应用
应用安培环路定理的解题步骤： (1)分析磁场的对称性；
(于2计)过算场：点选B的择量适当值的恒定路径，，B使与得dlB的沿夹此角环处路处的相积等分；易
4.电流密度和电流强度的关系
（1）通过面元dS的电流强度
dI = dS = dScos d S
dI
d S
（2）通过电流场中任一面积S的电流强度
I S d S
电流强度是通过某一面 积的电流密度的通量
电荷的运动可形成电 在电流场内取一闭合面S，当有
流，也可引起空间电 电荷从S面流入和流出时，则S面