确界不等式的证明方法

第22卷第5期2019年9月
高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS
Vol22,No.5
Sep.,2019
doi"0.3969/j issn.1008-1399.2019.05.015
确界不等式的证明方法
陶星沂
(华北电力大学数理学院，北京102206)
摘要本文将从确界的定义以及确界原理开始，归纳总结证明确界不等式的三种最常见的方法，希望这些方法能给予读者一些证明确界不等式的思路.
关键词确界；确界不等式；证明思路
中图分类号O171文献标识码A文章编号1008-1399(2019)05-0041-03
Proofs of Supremum and Infimum Inequalities
TAO Xingyi
(School of Mathematics and Physics,North China Electric Power University,Beijing102206,China)
Abstract\ased on the definition and the principle of the supremum and infimum!this paper summarizes the three most commonly used methods for proving the supremum and infimum inequaltiss.
Keywords supremumandAnfAmum!supremumandAnfmumAnequaltes!thoughtsofproof
1确界的定义以及确界原理
1.1确界的定义
在华东师范大学编著的课本《数学分析》(1)中，对上下确界有如下定义：
定义I设s是R中的一个非空数集，若数“满足
(i)对一切"(S,有"—-,
(l)对任何£〉0,存在"'(S,使得"'〉“——！，则称数“为数集S的上确界，记作“=sup S.
定义#设S是R中的一个非空数集，若数2满足
(1)对一切"(S,有"1A;
(2)对任何！〉0,存在f(S,使得f V A+s,
则称数2为数集S的下确界，记作A=inf S.
从上面的定义可以看出，若“为上确界，则“为最小的上界;若2为下确界，则2为最大的下界。

收稿日期：2018-12-19修改日期:2019-06-02
作者简介：陶星沂(2000—)，男，本科在读，信息与计算科学专业.
Email：1726082250@ 1.2确界原理
确界原理:设S为非空数集，若S有上界，则S 必有上确界;若S有下界，则S必有下确界•
确界原理作为实数系基本定理中的一个关键部分，具有重要的意义.关于确界原理的证明，读者可以参考文献［1］中的证明，本文不再赘述•
2证明确界不等式
关于确界不等式常见的问题有如下七组(这七组中，有几组为证明等式，但由于在其证明过程中，均可将证明等式的问题转化为证明不等式的问题,故也将其算作为对确界不等式的证明)•
在以下问题中，均设%与B为非空有界数集, f(")与g(")在定义域内有界：
I:inf+—f(")}=—sup f("),
"(D"(D
sup+—f(")}=—inf f(").
"(D"(D
+:定义%+B="+y|"(%,y(B},则
sup(%+B)=sup%+sup B!
l n f(%+B)=l n f%+l n f B.
,:inf f(")+l n f g(")—l n f{f(")+g(")} "(D"(D"(D
42高等数学研究2019年9月
Vin f f X)+sup g(x)
x(D x(D
V sup{f(.x)+g(x)}V sup f(x)+sup g X(D X(D X(D (x)!
—:sup f(X1)—f(x2)=su f(x)—inf f(x).
X1,x2(D x(D x(D V:若A B B,则inf B Vinf A V sup A V sup B.
/:sup(A U B)=max{sup A,sup B},
inf(A U B)=min{inf A,inf B},
0:sup(A D B)V min{sup A,sup B},
inf(A D B)1max{inf A,inf B},
在证明以上七组不等式时，主要有以下三种思路：思路1：上确界即最小的上界，小于等于所有的上界；下确界即最大的下界，大于等于所有的下界.
思路2：若要证明的为关于两个集合的确界不等式，则可以从分析每个集合元素之间的关系入手.
思路3：运用定义I或+的第(i)、第(A)条，尤其关注第(A)条中引入的£以及£的任意性.
2.1运用思路1证明I与$
I:inf{—f(x)}=—sup f(x).
x(D x(D
证明即证inf{—f(x)}1—sup f(x)与
X(D X(D
Anf{—f(x),V—sup f(x)
x(D x(D
X(D
X(D
故一inf{—f(x)}是f(x)的一个上界.
x(D
Vsup f(x)是f(x)的最小上界i
X(D
•'一inf{—f(x)}1sup f(x)i
X(D X(D
亦即inf{—fX)}V—sup f(x).
x(D X(D
同理可得：nf{—f(x)}1—sup f x).
X(D X(D
•'i n f{一f X)}=一sup f(x).
X(D X(D
理:sup{—f(x)=—nf f(x)
X(D X(D
,:nf f X)+i n f g(x)V i n f f X)+g(x)} X(D X(D X(D
V nf f(x)+sup g(x)
x(D x(D
证明j i n f f X)V f X)，且i n f g(x)V gX)
X(D X(D
f X)+g(x)1inf f(x)+i n f g(x),
X(D X(D
即inf f(x)+i nf g(x)为f(x)+g(x)}的一个下界.
x(D x(D
j inf f X)+g(x)}是fX)+g(x)}的最大X(D
下界
•'i n f f(x)+g(x)} 1i n f f(x)+i n f g(x).
x(D x(D x(D
•'inf{f(x)+g(x)}+i n f{—g(x)}V inf f(x).
x(D x(D x(D
j由I得：nf{—g(x)}——sup g(x)i
x(D x(D
i n f f X)+g(x)}—sup gX)V i n f f(x),
X(D x(D x(D
nf f(x)+sup g(x)1nf{f(x)+g(x),i
x(D x(D x(D
i n f f(x)+i n f g(x)V i n f{f(x)+g(x)}
X(D x(D x(D
V nf f(x)+sup g(x)
x(D x(D
同理可证明，式的后半部分.
2.2运用思路2证明%、&、'
V:若ABB i则i n f B V i n f A Vsup A V sup B.
证明j对于6x(A都有x(B i
•'i n f B V x V sup B.
j i n f A是A的最大的下界,sup A是A的最小的上i
•'i n f B V i n f A,sup A V sup B.
j nf A V sup A i
•'i n f B V i n f A Vsup A Vsup B.
/:sup(A U B)=max{sup A,sup B},
证明设C=A U B i
j对于6x(A者B有x(C i
x V sup C i
'•sup A Vsup C.
理:sup B V sup C i
即sup(A U B)1max{sup A,sup B},
j对于V f(C i都有f(A或f(B i
'•f Vsup A或f Vsup B i
sup C V sup A或sup C V sup B,
即sup C V max{sup A,sup B},
'・sup(A U B)=max{sup A,sup B},
同理可证:inf(A U B)—m i n{inf A,i n f B},
0:sup(A D B)V mi n{sup A,sup B},
证明设C=A D B i
j对于V x(C,都有x(A且x(B i
'•x V sup A且x V sup B i
sup C V sup A且sup C V sup B,
即sup(A D B)V min{sup A,sup B}.
同理可证：inf(A D B)1max{inf A,i n f B}, 2.3运用思路3证明#、(
+:定义A+B—X+*|x(A,*(B},则
sup(A+B)=sup A+sup
B
第22卷第5期陶星沂：确界不等式的证明方法43
证明设C=%+B,
T对于6o(C,都8"(%!(B^使得z="+y.
又T对于6"(%,y(B,都有"—sup%,y—sup B!
'•o="+y—sup%+sup B,
即sup%+sup B是C的一个上界.
由上确界定义的第(l)条得：
对于6e〉0,8f(%!y(B!
使得f〉sup%—！!y'〉sup B—！!
'•对于6!〉0,8o="+y!
使得f〉sup%+sup B——2!,
由于！的任意性得sup%+sup B为C的最小上界，'・sup(%+B)=sup%+sup B.
同理可证:inf(%+B)=l n f%+l n f B.
—:sup f("1)—f("")=sup f(")—lnf f(") "1!"2(D"(D"(D 证明T对于6"1,"2(D,
都有lnf f(")—f("1)—sup f("),
"(D"(D
nf f(")—f("2)—sup f(")!
"(D"(D
'・f("1)—f("2)—sup f(")—l n f f("),
"(D"(D
即sup f(")——lnf f(")是f("1)—f(如)的一 "(D"(D
个上.
T对于6!〉0,8f1,f2(D,使得f(f1)〉sup f(")—！，f(f2)V l n f f(")+e,
"(D"(D
'•对于6!〉0,8f1,"'"(D,使得
f(f1)—f(f2)I〉sup f(")—l n f f(")—2e.
"(D"(D
由于！的任意性得
sup f(")—lnf f(")是f("1)—f("")的最小上界. "(D"(D
sup|f("1)—f("2)=sup f(")—l n f f(").
"1!"2(D"(D"(D
以上即为运用三种思路证明的七组确界不等(上接第31页)
4结论
论文研究了敌舰沿任意直线方向逃逸时的鱼雷击舰问题.通过数学建模得到微分方程(4),然而，求解该微分方程显得十分困难.本文利用类比思想,通过坐标旋转变换，将问题归结为敌舰沿垂直于两舰连线方向逃逸情况，从而得到了敌舰沿任意直线方向逃逸时鱼雷追击的运动轨迹方程的解析解.本文不仅为解决追击问题提供了新的思想方法，也为求解微分方程提供了坐标旋转变换的计算方法.式.对于这三种思路，可能解题时会有交叉运用的情况，不仅仅只用到其中一种思路(比如第V组，在证明时不仅仅运用了思路2,也运用了思路1,但把其归为运用思路2,是由于其解题最关键的一步运用了思路2),所以，希望读者在解题时能够综合运用这三种思路，使解题过程更完整,更富有逻辑性•
3结语
通过上文2.1、2.2、2.3节运用三种思路来证明七组确界不等式,相信读者已经能够灵活运用这些思路去解决更多的确界不等式问题.证明题虽然不像有些代数题那样有着固定的解题方法，但其中蕴藏的思维逻辑却更值得归纳与总结.通过大量的归纳、总结与应用,相信大家证明问题的水平一定会有一个质的飞跃.最后,留三个思考题作为练习，检测大家是否掌握了以上三种思路.
练习题
1.设f("),g")有界,且满足f(")—g("), "(D,证明：sup f(")—sup g(");inf f(")—inf g(").
"(D"(D"(D"(D
(提示：运用思路1)
2.设有两个数集％和B,满足%U(,b),B U [b,c](a V b V c)，证明:sup%—inf B.(提示：运用思2)
3.设数集%有界，且数集B={"+c|"(%} (c为常数)，证明:sup B=sup%+c；inf B=lnf%+c. (示：3)
参考文献
()华东师范大学数学系•数学分析[M)4版.北京：高等教育出版社，2010：6.
参考文献
()电子科技大学数学科学学院.微积分上册[M).版.
：高等教,2018.
()向隆万，乐经良.导弹跟踪问题().高等数学研究, 1999,12(04)：35-43.
()夏必腊，沈浮，程燕，等.鱼雷追击海上目标为题的数学模型研究().数学的实践与认识，2012,42(7)：
123-126.
()王光宇.“等速率追击”问题研究().物理通报, 2012,11：58-60.
()蒋雪峰，蔡佳利，周洋靖，等.潜艇追踪问题研究().
科技广场，2011,3:17-19.。