确界不等式的证明方法

第22卷第5期2019年9月

高等数学研究

STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS

Vol22,No.5

Sep.,2019

doi"0.3969/j issn.1008-1399.2019.05.015

确界不等式的证明方法

陶星沂

(华北电力大学数理学院，北京102206)

摘要本文将从确界的定义以及确界原理开始，归纳总结证明确界不等式的三种最常见的方法，希望这些方法能给予读者一些证明确界不等式的思路.

关键词确界；确界不等式；证明思路

中图分类号O171文献标识码A文章编号1008-1399(2019)05-0041-03

Proofs of Supremum and Infimum Inequalities

TAO Xingyi

(School of Mathematics and Physics,North China Electric Power University,Beijing102206,China)

Abstract\ased on the definition and the principle of the supremum and infimum!this paper summarizes the three most commonly used methods for proving the supremum and infimum inequaltiss.

Keywords supremumandAnfAmum!supremumandAnfmumAnequaltes!thoughtsofproof

1确界的定义以及确界原理

1.1确界的定义

在华东师范大学编著的课本《数学分析》(1)中，对上下确界有如下定义：

定义I设s是R中的一个非空数集，若数“满足

(i)对一切"(S,有"—-,

(l)对任何£〉0,存在"'(S,使得"'〉“——！，则称数“为数集S的上确界，记作“=sup S.

定义#设S是R中的一个非空数集，若数2满足

(1)对一切"(S,有"1A;

(2)对任何！〉0,存在f(S,使得f V A+s,

则称数2为数集S的下确界，记作A=inf S.

从上面的定义可以看出，若“为上确界，则“为最小的上界;若2为下确界，则2为最大的下界。

收稿日期：2018-12-19修改日期:2019-06-02

作者简介：陶星沂(2000—)，男，本科在读，信息与计算科学专业.

Email：1726082250@ 1.2确界原理

确界原理:设S为非空数集，若S有上界，则S 必有上确界;若S有下界，则S必有下确界•

确界原理作为实数系基本定理中的一个关键部分，具有重要的意义.关于确界原理的证明，读者可以参考文献［1］中的证明，本文不再赘述•

2证明确界不等式

关于确界不等式常见的问题有如下七组(这七组中，有几组为证明等式，但由于在其证明过程中，均可将证明等式的问题转化为证明不等式的问题,故也将其算作为对确界不等式的证明)•

在以下问题中，均设%与B为非空有界数集, f(")与g(")在定义域内有界：

I:inf+—f(")}=—sup f("),

"(D"(D

sup+—f(")}=—inf f(").

"(D"(D

+:定义%+B="+y|"(%,y(B},则

sup(%+B)=sup%+sup B!

l n f(%+B)=l n f%+l n f B.

,:inf f(")+l n f g(")—l n f{f(")+g(")} "(D"(D"(D

42高等数学研究2019年9月

Vin f f X)+sup g(x)

x(D x(D

V sup{f(.x)+g(x)}V sup f(x)+sup g X(D X(D X(D (x)!

—:sup f(X1)—f(x2)=su f(x)—inf f(x).

X1,x2(D x(D x(D V:若A B B,则inf B Vinf A V sup A V sup B.

/:sup(A U B)=max{sup A,sup B},

inf(A U B)=min{inf A,inf B},

0:sup(A D B)V min{sup A,sup B},

inf(A D B)1max{inf A,inf B},

在证明以上七组不等式时，主要有以下三种思路：思路1：上确界即最小的上界，小于等于所有的上界；下确界即最大的下界，大于等于所有的下界.

思路2：若要证明的为关于两个集合的确界不等式，则可以从分析每个集合元素之间的关系入手.

思路3：运用定义I或+的第(i)、第(A)条，尤其关注第(A)条中引入的£以及£的任意性.

2.1运用思路1证明I与$

I:inf{—f(x)}=—sup f(x).

x(D x(D

证明即证inf{—f(x)}1—sup f(x)与

X(D X(D

Anf{—f(x),V—sup f(x)

x(D x(D

X(D

X(D

故一inf{—f(x)}是f(x)的一个上界.

x(D

Vsup f(x)是f(x)的最小上界i

X(D

•'一inf{—f(x)}1sup f(x)i

X(D X(D

亦即inf{—fX)}V—sup f(x).

x(D X(D

同理可得：nf{—f(x)}1—sup f x).

X(D X(D

•'i n f{一f X)}=一sup f(x).

X(D X(D

理:sup{—f(x)=—nf f(x)

X(D X(D

,:nf f X)+i n f g(x)V i n f f X)+g(x)} X(D X(D X(D

V nf f(x)+sup g(x)

x(D x(D

证明j i n f f X)V f X)，且i n f g(x)V gX)

X(D X(D

f X)+g(x)1inf f(x)+i n f g(x),

X(D X(D

即inf f(x)+i nf g(x)为f(x)+g(x)}的一个下界.

x(D x(D

j inf f X)+g(x)}是fX)+g(x)}的最大X(D

下界

•'i n f f(x)+g(x)} 1i n f f(x)+i n f g(x).

x(D x(D x(D

•'inf{f(x)+g(x)}+i n f{—g(x)}V inf f(x).

x(D x(D x(D

j由I得：nf{—g(x)}——sup g(x)i

x(D x(D

i n f f X)+g(x)}—sup gX)V i n f f(x),

X(D x(D x(D

nf f(x)+sup g(x)1nf{f(x)+g(x),i

x(D x(D x(D

i n f f(x)+i n f g(x)V i n f{f(x)+g(x)}

X(D x(D x(D

V nf f(x)+sup g(x)

x(D x(D

同理可证明，式的后半部分.

2.2运用思路2证明%、&、'

V:若ABB i则i n f B V i n f A Vsup A V sup B.

证明j对于6x(A都有x(B i

•'i n f B V x V sup B.

j i n f A是A的最大的下界,sup A是A的最小的上i

•'i n f B V i n f A,sup A V sup B.

j nf A V sup A i

•'i n f B V i n f A Vsup A Vsup B.

/:sup(A U B)=max{sup A,sup B},

证明设C=A U B i

j对于6x(A者B有x(C i

x V sup C i

'•sup A Vsup C.

理:sup B V sup C i

即sup(A U B)1max{sup A,sup B},

j对于V f(C i都有f(A或f(B i

'•f Vsup A或f Vsup B i

sup C V sup A或sup C V sup B,

即sup C V max{sup A,sup B},

'・sup(A U B)=max{sup A,sup B},

同理可证:inf(A U B)—m i n{inf A,i n f B},

0:sup(A D B)V mi n{sup A,sup B},

证明设C=A D B i

j对于V x(C,都有x(A且x(B i

'•x V sup A且x V sup B i

sup C V sup A且sup C V sup B,

即sup(A D B)V min{sup A,sup B}.

同理可证：inf(A D B)1max{inf A,i n f B}, 2.3运用思路3证明#、(

+:定义A+B—X+*|x(A,*(B},则

sup(A+B)=sup A+sup

B