数域

数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域．
常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q； （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）
目录
上页
下页
返回
结束
说明： 1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P 中，则说数集P对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集P为一个数域．
目录
上页
下页
返回
结束
例 证明数集 Q( 2) a b 2 | a , b Q 是一个数域．


证： 0 0 0 2, 1 1 0 2, 0,1 Q( 2) 又对 x , y Q( 2), 设 x a b 2, y c d 2,
a , b, c , d Q ,
m m , n Z , P, n

m m 0 P. n n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
目录
上页
下页
返回
结束
附:
数环 设P为非空数集，若
a , b P , a b P , a b P
则称P为一个数环． 例如，整数集Z 就作成一个数环．
高等代数
任课教师： 电 话： 电子邮件： 王 琪 65904076 wang.qi@mail.shufe.edu.cn
答疑时间：
答疑地点：
每周三18：00—20：00
红瓦楼729室
最终成绩：
考试成绩×70%+平日成绩×30%
交作业时间： 每周一课间
目录
上页
下页
返回
结束
教材: 《高等代数》
上海财经大学应用数学系 主编 复旦大学出版社
c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2) ac 2bd ad bc 2 2 2 Q 2） （ . 2 2 a 2b a 2b Gauss数域 Q( 2)为数域．
类似可证 Q( i ) a bi a , b Q, i 1 是数域.
b
所以，P是一个数域．
目录 上页 下页 返回 结束
二、数域的性质定理
定理：任意数域P都包括有理数域Q． 即，有理数域为最小数域． 证明： 设P为任意一个数域．由定义可知，
0 P， 1 P .
于是有
m Z , m 1 1 1 P
目录
上页
下页
返回
结束
进而 有
ห้องสมุดไป่ตู้目录 上页 下页 返回 结束


例
设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任
意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一 一个数域． 证：由题设任取 a , b P , 有
b 0 a a P , 1 P (b 0), a b P , b a P (b 0), a b a (0 b) P , b b 0 时, ab 1 P , b 0 时, ab 0 P . 1
S是数域吗？
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
主要参考书: 《高等代数习题集（修订版）》 上下册
杨子胥 主编 山东科技大学出版社
《高等代数全程学习指导》
冯红 编著，大连理工大学出版社
目录
上页
下页
返回
结束
第一章 多项式
多项式之间的整除及互素的关系 基础内容 多项式的因式分解定理
第一节 数域
一、数域
定义： 设P是由一些复数组成的集合，其中包括 0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除
则有
x y (a c ) (b d ) 2 Q( 2), x y (ac 2bd ) ( ad bc ) 2 Q( 2)
设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
目录 上页 下页 返回 结束
（否则，若 a b 2 0, 则 a b 2, a 于是有 2 Q, b 或 a 0, b 0 a b 2 0. 矛盾）
目录
上页
下页
返回
结束
例 判断数集 P1 , P2 是否为数域？为什么?
P1 {2n 1 | n Z },
P2 {n 2 | n Z } Z ( 2).
目录
上页
下页
返回
结束
作业
1．若 P1 , P2为数域，证明：P1 P2 也为数域．
２．证明：集合 S m m , n Z 是一个数环． n 2