《高等数学》洛必达法则

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x2
0
型
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0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例8. 求 lim xx.
x0
00 型
解: lim x x lim ex ln x
x0
x0
利用 例5
e0 1
例5 目录 上页 下页 返回 结束
例9. 求 lim n ( n n 1).
n
0型
法1 用洛必达法则 11
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
例3.
求
lim
x
ln x xn
(n 0).
型
解: 原式 0
例4.
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
解: (1) n 为正整数的情形.
原式 0
(2) n 不为正整数的情形.
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说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
lim
f (x) F ( x)
lim
f (x) F ( x)
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求
lim
x1
x3 3x 2 x3 x2 x 1
.
0 0
型
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
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例2.
求
lim
x
2
arctan
1 x
x
.
0型 0
解: 原式 1
li0m
x
(x1n201 , 1 0).
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3)
若
lim
f ( F (
x) 不存在 x)
(
)时,
lim f (x) F ( x)
lim
f (x) F ( x)
.
例如, lim x sin x lim 1 cos x
x x
x 1
极限不存在
lim (1 sin x) 1
思考: 如何求
lim
n
2
arctan
1 n
n
( n 为正整数) ?
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二、 型未定式
定理 2.
1) lim f (x) lim F (x)
2)
xa
f (x)
与F
(
x)x在a (a)内可导,
且
F
(
x)
0
3)
lim
xa
f F
( (
x) x)
存在 (或为∞)
lim f (x) xa F (x)
lim
xa
f F
( (
x) x)
(洛必达法则)
证（略）
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lim f (x) 0 lim f (x) 0 lim f (x) 时, 结论都成立
xa F (x)
xa F (x)
xa F (x) .
说明: 定理中 x a 换为 x a, x a,
x ,
x , x 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
ln x , xn (n 0) , ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
xlim例 3.1xxlimx2
ln x
nxxlim0
1
x(xn2
0)li.m
x
1 x2 x
而
例xli4m.xlim1x xex2nx
一、 0 型未定式
0
定理 1.
1) lim f (x) lim F (x) 0
wenku.baidu.com
xa
xa
2) f (x)与F (x) 在(a)内可导, 且 F(x) 0
3)
lim
xa
f F
( x) ( x)
存在 (或为 )
lim
xa
f F
( (
x) x)
lim
xa
f F
( (
x) x)
(洛必达法则)
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洛必达(1661 – 1704)
法国数学家, 他著有《无穷小分析》 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 则 ”他. 在15岁时就解决了帕斯卡提出 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 在, 他去世后的1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 .
西定理条件, 故
f (x) F ( x)
f F
(x) (x)
f (a) F (a)
f ( ) F( )
( 在 x , a 之间)
lim
xa
f F
(x) (x)
lim
xa
f ( F (
) )
3)
lim
xa
f F
( (
x) x)
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洛必达法则
lim
xa
f F
(x) (x)
型
f
g
1 g
1 f
1 g
1 f
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
令 y fg
取对数
0 型
f
g
f
1
g
P137：1单，2
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1.
lim
x0
cot
x
1 sin
x
1 x
1 6
思考与练习
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2.
求
lim
3
x2
x22
x 1
x
x
原式 1 4
定理条件: 1) lim f (x) lim F (x) 0
xa xa
2) f (x)与F (x) 在(a)内可导, 且 F(x) 0
3)
lim
xa
f F
( x) ( x)
存在 (或为 )
证: 无妨假设 f (a) F (a) 0, 在指出的邻域内任取 x a , 则 f (x), F (x) 在以 x, a 为端点的区间上满足柯
分析: 为用洛必达法则 , 必须改求 lim x2 (x x 1).
x
但对本题用此法计算很繁 !
法2
0
例3 目录 上页 下页 返回 结束
1
例10 求 lim x1 x . x1
解 e1.
1
例11 求 lim (cot x)ln x . x0
解 原式 e1.
( 1 ) ( 0 )
内容小结
洛必达法则
x
x
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例5 求 lim tan x .
x
2
tan
3
x
解
3.
(
)
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
例6
求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
.
解
1 3
.
三、其他未定式: 0 , , 00, 1 , 0型
第七节 洛必达法则
一、0 型未定式
0
二、 型未定式
三、其他未定式
第二章
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微分中值定理
函数的性态 导数的性态
本节研究:
函数之商的极限 lim f (x) ( 0 或 型) g(x) 0
转化 洛必达法则
导数之商的极限
lim
f (x) g ( x)
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解决方法:
0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例7. 求 lim xn ln x (n 0).
解:
x0
原式 lim
x0
ln x xn
lim
x0
1 x
n xn1
lim (
x0
xn n
)
0
0 型
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0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例7. 求 lim (sec x tan x).
lim
xa
f (x) F ( x)
推论1. 定理 1 中x a 换为 x a , x a , x , x , x
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
推论 2.
若
lim
f (x) F ( x)
仍属
0 0
型, 且
f
(x), F(x)满足定
理1条件, 则
lim f (x) F ( x)