“做中教”与“做中学”

“做中教”与“做中学”

作者：孟宪玲

来源：《知音励志·教育版》2017年第03期

摘要

本文在“教学做合一”的教育思想指导下，在高中数学教学实践中的一点尝试。

【关键词】“做中教”；“做中学”

1 引发新知旧知冲突，培养思维的深刻性，促使学生想“做”。

数学是由概念与命题等内容组成的知识体系。它是一门以抽象思维为主的学科，而概念又是这种思维的语言。数学概念是客观事物关于数和形的本质属性的反映。数学概念是抽象思维的产物。数学抽象是一种“重新建构”活动。因此，概念教学应当帮助学生把抽象的数学概念与他们已有的知识和经验联系起来！概念教学过程是一个"重新建构"过程，是一个“意义赋予”过程。由此，在备课时，根据学生的现有的知识结构，以基础知识和基本技能教学的核心，绘制概念教学的基本过程的思维导图，如图1所示。

思维导图可以展示概念的本源，概念产生的过程。每一个概念的产生都有丰富的知识背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，丢掉了培养学生概括能力的极好机会。学生在教师创设的思维导图中，像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，老师在“做中教”，促使学生在“做中学”，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。

2 抓住数学核心本质，培养思维的灵活性，促使学生能“做”。

案例：问题的提出

问题一：一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线

交于P，Q两点，又直线l与y轴交于R点，且，。（1）求双曲线E的方程。（2）若点F为双曲线E的右焦点，M，N是双曲线上的两点，且，求实数λ的取值范围。

问题二：设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，又点C在抛物线的准线上，且BC//x轴。求证：直线AC过原点O。

问题一的第（1）问的解题过程略（双曲线方程是

）；对于第（2）问，命题者提供的参考答案大致是：设M（x1，y1），N（x2，y2），通过可得，y1=-λ·y2。结合2x12-y12=2和2x22-y22=2，消去x2，y2得

，又|x1|≥1，所以有，解得或且λ≠0。参考答案似乎方法简洁，过程流畅，但是学生的得分率非常低，这引起极大的疑惑，通过仔细分析答卷，发现失分的主要原因有：

（1）考试时间来不及，根本没看题目；

（2）平时课堂上对于形如“” 式子的转化，教师只讨论过利用定比分点公式和韦达定理（关于y的一元二次方程），将λ转化为直线斜率k的函数的值域来求解。而本题有许多学生成功消去了y1和y2，但最后看到转化的是两边都是分式，误认为式子太繁，求解会很繁很难，于是就放弃了。

问题解决：针对以上两个问题为案例，引领学生进行一次开放式的探究，从一个新视角来探讨“如何把握数学本质”，从而进行“有效的学习”。问题解决策略的开放性是思维的生长点，诱导学生步入发散思维的空间。对于问题二，我们可以考虑从同一个条件出发，寻找多种解题策略或最优策略，从不同的角度解决问题。

有学生把问题当作一个整体来分析，从全局出发，领悟本质，抓住斜率相等这个本质特征迅速产生解题思路。

分析：如图2所示，设A（x1，x2），B（x2，y2）

则，，

，又∵y12=2px1，

，又因为AB是经过抛物线的焦点的弦，所以结论y1y2=-p2成立，

，所以A，O，C三点共线。

又经验证，当AB⊥x轴时，命题也成立。因此直线AC过原点O。

还有学生从数形结合的思想出发，抓住“BC//x轴”这个几何特征，合理观察、联想、由数思形，由形思数，通过平行线段成比例进行求解。

具体分析：如图2所示，设抛物线的准线与x轴交于点E，直线AC与x轴交于点O'，过点A作准线的垂线，垂足为D点，线段|AF|=m，|BF|=n。由BC//x轴得

，且由抛物线定义得|BC|=|BF|所以

；同理由AD//x轴可得

，及|AD|=m，

，则|O'F|=|O'E|，即O'为线段EF的中点，故点O'和原点O重合，因此直线AC过原点O。

也有学生说可以通过向量方法求解。

分析：如上图所示，设

则，，

，，，

，由A、F、B三点共线可得，则

，化简得y1y2=-p2（这里避免了将其直接作为结论使用）。

故，

即，即证。

在老师的引领下，学生寻求不同的解题途径和策略，从不同的角度，揭示了问题的本质，不仅正确地解答了问题，还训练学生思维的灵活性。学生认识到，学习数学，能在“做中学”。

3 捕捉学生瞬间感悟，培养思维的独创性，促使学生愿“做”。

对前面提到的问题，再引导学生深层次地挖掘问题的背景特征，有利于透过现象看到本质，抓住问题的实质，会产生意想不到的感悟。我们可以从原条件出发去探究题目中所有隐藏的数量关系、位置关系等等，并说明理由，达到以点带线、以线及面、以面固体的目的。事实上，对于问题二，我们可以对所证明得到的结论做如下的拓广：

拓广一：设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，又抛物线的准线与x轴交于点E，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴。求证：直线AC经过线段EF的中点。

拓广二：已知椭圆

的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C在右准线l上，且BC//x轴。

求证：直线AC经过线段EF的中点。

拓广三：设点F是圆锥曲线的一个焦点，直线l是对应的一条准线，且l与圆锥曲线的对称轴交与E，AB是过F的弦，点C是准线l上一点，BC平行于圆锥曲线的对称轴，AC与EF 交于点M，则M是线段EF的中点。

若再把条件EF⊥准线l进一步弱化，我们可以得到该高考题的几何背景：如图3：四边形ABCD中，AD//EF//BC。

且，求证：AC平分线段EF。

上述从特殊到一般的探索拓广过程，从一个独特的视角，揭示了圆锥曲线的本质：椭圆、双曲线、抛物线都是满足某些几何条件的点的轨迹！特殊寓于一般之中，透过特殊，我们既见树木，又见森林！

我们不妨通过拓广三的结论来探究这个问题：

依据问题一的第（2）小题的题设，M，N的位置关系有如图4中的三种情况：

（1）M，N在双曲线右支上，如图（a）；

（2）M在右支上，N在左支上，如图（b）；

（3）M在左支上，N在右支上，图与（b）类似，略。

如图（a）中，设M（x1，y1），且G为线段EF的中点。因为M，N在右支上，所以λ>0。由

，又，

，，（∵x1≥1）得，结合λ>0，∴λ>0。

如图（b）中，设N（x2，y2），因为M，N在不同的分支上，所以λ

由，

（∵x2≤-1），解得。同理当（b）图中M，N两点位置调换时，可求出。所以λ的取值范围是或且λ≠0。

从这两个问题的探究中，我们得到了圆锥曲线的问题解决过程中的本质特征和思想方法，在解决过程中，坐标法和几何法互相交融！当然我们可以带着问题再走出课堂：椭圆、抛物线