任意激励的响应时间域分析.ppt

0
系统有阻尼的响应为
x(t)
1
md
t
F ( )e (t ) sin d (t )d
0
若系统无阻尼，则简化为
x(t)
1
m0
t 0
F( )sin 0 (t
)d
1
m0
t 0
F (t
)sin 0d
补充：卷积的定义：积分式
x( ) y(t )d
称为函数 x(t和) y(t) 的卷积积分，简称卷积，
初始值 t时 0，
x0
在脉冲力作用的瞬间，时间很短，位移来不及变化，但速度可产生突变，
xdt dx
dx xdt 0
mdx (t)dt dx (t) dt
m
积分
x
dx
(t)dt
1
(t)dt=
1
0
m
m
m
(t) 作用后，系统有 x(0) 1 m
x 1 m
x(0) 0
以符号 x(t) 表y(示t) ，即
x(t) y(t) x( )y(t )d
注意：杜哈梅积分可以计算任意非周期激励的响应随时间的变化规律， 是时间分析方法。
例题1
设无阻尼质量—弹簧系统在（0，t1）时间间隔 内受到突加的矩形脉冲力激励，求系统的响应。
其中激励力为
F t 0F0
0 t t1 t t1
x(t)
1
md
e t
sin d t
（t>0）
若单位脉冲在 t 时刻作用，则系统的暂态响应必须滞后时间间隔 发生，
h(t
)
1
md
e (t )
sin d
(t
)
x(t) 系统在 t 时刻受冲量为的 任I 0意脉冲力作用时，其暂态响应为
x(t) I0h(t )
二、任意激励的响应
设系统受到任意激励力 F(，t)可将 F(t)
F ( ) sin 0 (t
)d
F 0 第二项积分为零，令第一项 F F0
x(t)
F0 k
cos 0
t
t1 cos0t
最终得到系统响应为
x(t)
F0 k
cos0 t t1 cos0t
F0 k
1
cos 0t
0 t t1 t t1
例题2：求图示系统在正弦振动激励力 F (t) F0 sin t 及初始条件
表示，上式称为杜哈梅（Duhamel）积分。
t
根据卷积性质，杜哈梅积分也可写作 h( ) * F(t ) F(t )h( )d
0
积分变换 令 t t ' t t '
t
t
t
F( )h(t )d F(t t')h(t')(dt') F(t t')h(t')dt'
0
0
第六节 任意激励的响应 （脉冲响应法—时间域分析）
狄拉克（P. A. M .Dirac） （1902—1984） 英国物理学家
量子力学的奠基者之一， 因狄拉克方程获得1933年诺贝尔奖。
对物理学的主要贡献是发展了量子力学，提出了著名的狄拉克方程， 并且从理论上预言了正电子的存在。
狄拉克是量子辐射理论的创始人，各自独立发现了费米-狄拉克统计法
的作用看作一系列脉冲激励的叠加，
图中阴影部分的冲量力 F( )d 引起t时刻
(t ) 系统响应，可利用式计算得
dx F( )h(t )d
利用线性系统得叠加原理：系统对任意激励力得响应等于系统内各个
脉冲响应得总和。
t
x(t) F( )h(t )d
0
0 t
在零初始条件下，系统对任意激励力的响应可用脉冲响应与激励的卷积
主要著作：《量子力学原理》 1930年出版
一、脉冲激励的响应
(（t)狄拉克）函数（脉冲函数）定义：
(t) 在t＝0的极小领域 ,， 其冲量为单位的脉冲力。
lim (t)dt 1
' 0
(t) F(t)
动力学方程 mx cx kx (t)
两边同乘 dt mxdt cxdt kxdt (t)dt
t
sin(d t
)+
sin
cos
d
t
cos d
sin
sin
d t
B
sin(t
)
（1）
（2）
（3）
1. 初始条件引起瞬态响应部分 2. 正弦激励引起瞬态响应部分 3. 正弦激励引起稳态响应部分
当 t ，只剩下（3）
作业: P 53 2.18
解：在 0,t时1 间间隔
x(t)
1
m0
t
F (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) sin 0 (t
0
)d
1
m0
t
F (t ) sin 0d
0
F F0
x(t)
F0
m0
t
sin 0 (t
0
)d
F0 k
1 cos0t
t t 1 杜哈梅积分
x(t)
1
m0
t1 0
F ( ) sin 0 (t
)d
t t1
1
md
e (t )
sind (t
)d
F0e t
md
t
sin t
0
e
sind (t
)d
经过繁杂积分得到如下形式的解
x2
Be t
sin
cos d t
cos d
sin
sindt
B sin(t
)
式中
F0
B
k
(1 s 2 )2 4 2 s 2
arctan
2 s
1 s2
x x1 x2
=Ae
x(0) 0 x(0) v0 作用下的响应。
解：动力学微分方程为 x 20 x 02 x F0 sin t
由初始条件引起的响应： x1 Ae t sin(d t )
式中：
A
x02
x0
x0 d
2
arctan
d x0 x0 x0
由正弦振动力引起的响应：
x2
t 0
F0
sin t
自由振动暂态响应为方程通解 x(t) Ae 0 sin(d t ) Ae t sin(d t )
A
x02
( x0 x0 )2 d
1 2 m
d
1
md
arctan
d x0 x0 x0
0
x(t)
1
md
e t
sin d t
单位脉冲的响应（脉冲响应函数）：
h(t)
1
md
e t
sin d t