第3讲 平面向量的基本定理与坐标运算(学生版)

第3讲 平面向量的基本定理与坐标运算

一、考点梳理

考点1 平面向量基本定理

(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

(2)基底：把 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

例1．（1）下面说法中，正确的是( )

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

①一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

①零向量不可作为基底中的向量；

①对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．

A ．①①

B ．①①①

C ．①①

D ．①①①

（2）如图所示，在①OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12

b ，设AN →与BM →交于点P ，用向量a 、b 表示OP →.

（3）如图所示，在①ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，①ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM →＝λAB →＋

μBC →，则λ＋μ的值为( ) A.53 B.－12 C.12 D.23

【变式训练1】．设{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )

A ．e 1＋e 2和e 1－e 2

B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2

C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2

D ．e 1和e 1＋e 2

【变式训练2】．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，

试以{a ，b }为基底表示DE →、BF →.

【变式训练3】．如图所示，在①ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12

NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.

考点2 平面向量的坐标表示及加减运算

设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标 就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的 (x ，y )就是向量OA →的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，

即以原点为起点的向量与实数对是 的．

若点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)，O 为坐标原点，

则OA →＝ ，OB →＝ ，AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝ ，

即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

例2．（1）给出下面几种说法：

①相等向量的坐标相同；

①平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；

①一个坐标对应于唯一的一个向量；

①平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．

其中正确说法的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

（2）如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则AB →可以表示为( )

A ．2i ＋3j

B ．4i ＋2j

C ．2i －j

D ．－2i ＋j

（3）已知边长为单位长度的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB 、AD 分别落在x 轴、y 轴的正方向上，

则向量AB →－BC →＋AC →的坐标为________．

【变式训练1】．在平面直角坐标系中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，向量a ，b ，c 的坐标分别为_____，________，________.

【变式训练2】．在平面直角坐标系中，|a |＝4，且a 如图所示，则a 的坐标为( )

A ．(23，2)

B ．(2，－23)

C ．(－2,23)

D ．(23，－2)

【变式训练3】．已知①ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，求顶点D 的坐标．

考点3 平面向量数乘运算的坐标表示

平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式

设向量a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝ ．

中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，

线段P 1P 2

的中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧

x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.

两个向量共线的坐标表示

向量a ，b 共线的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ①b ① .

例3．（1）已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求a ＋b ，a －b,3a ＋4b 的坐标．

（2）已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？

（3）已知OA →＝(3,4)，OB →＝(7,12)，OC →＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；

（4）已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .

【变式训练1】．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13

b .