大一高数第一章复习总结及相关习题

第一章 函数与极限习题课

一、主要内容

（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念 一）函数

1.函数的定义 函数的分类

2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期

3.反函数

4.隐函数

5.基本初等函数

6.复合函数

7.初等函数

8.双曲函数与反双曲函数 （二）极限

1、极限的定义： 单侧极限 极限存在的条件

2、无穷小与无穷大

无穷小； 无穷大； 无穷小与无穷大的关系 无穷小的运算性质 3、极限的性质 四则运算、复合函数的极限 4、求极限的常用方法

a.多项式与分式函数代入法求极限;

b.消去零因子法求极限;

c.无穷小因子分出法求极限;

d.利用无穷小运算性质求极限;

e.利用左右极限求分段函数极限；

f.利用等价无穷小；

g.利用重要极限

5、判定极限存在的准则 夹逼定理、单调有界原理

6、两个重要极限

7、无穷小的比较

8、等价无穷小的替换性质

9、极限的唯一性、局部有界性、保号性 （三）连续

1、连续的定义 单侧连续 连续的充要条件 闭区间的连续性

sin (1)

1lim 0=→x

x x ;

1sin lim

=α

α

某过程

=+1(2)

e x

x

x ∞→)1(lim e

x x

x =+→1

)

1(lim .

)1(lim 1

e =+αα某过程定义""N -ε定义""δε-定义""X -ε

2、间断点的定义 间断点的分类 第一类、第二类

3、初等函数的连续性 连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性

4、闭区间上连续函数的性质 最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理 二、例题 例

解 将分子、分母同乘以因子(1-x ), 则

例 解

例

解

例6

解

).1()1)(1)(1(lim ,1242n

x x x x x n ++++<∞

→ 求时当x x x x x x n

n -++++-=∞→1)

1()1)(1)(1)(1(lim 242 原式x x x x x n

n -+++-=∞→1)1()1)(1)(1(lim 2422 x x x n n n -+-=∞→1)1)(1(lim 22x x n n --=+∞→11lim 1

2.11x

-=.)0lim ,1(1

2=<+∞→n x x n 时当 .

)sin 1tan 1(lim 3

1

0x x x x ++→求310)]1sin 1tan 1(1[lim x x x x -+++=→原式3

1

0]sin 1sin tan 1[lim x

x x x x +-+=→301sin 1sin tan lim x x x x x ⋅+-→ 301cos )sin 1()cos 1(sin lim x x x x x x ⋅+-=→x x x x x x x cos )sin 1(1cos 1sin lim 20+⋅-⋅=→⋅=21.21e =∴原式).(,1)

(lim ,

2)(lim ,)(023x p x x p x x x p x p x x 求且是多项式设==-→∞→,2)(lim 2

3

=-∞→x x x p x ),(2)(23为待定系数其中可设b a b ax x x x p +++=∴,

1)

(lim 0=→x

x p x 又)0(~2)(23→+++=∴x x b ax x x x p .1,0==a b 从而得x x x x p ++=232)(故.1

,2cos 1,1)(的连续性讨论⎪⎩⎪

⎨⎧≤>-=x x x x x f π改写成将)(x f ⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=1,111,2cos 1

,1)(x x x x x x x f π.

),1(),1,1(),1,()(内连续在显然+∞---∞x f

=-→)(lim 1

x f x

例 证明 讨论: 例 证

即x n 单调减，有下界

故由单调有界原理得 例 求 解 ,

1时当-=x =--→)(lim 1

x f x =---→)1(lim 1

x x )

(lim )(lim 1

1

x f x f x x +--→-→≠ .

2=+-→)(lim 1

x f x =+

-→2

cos lim 1x

x π.

0.

1)(间断在故-=x x f ,

1时当=x =-→2

cos

lim 1

x

x π)(lim

)(lim 11x f x f x x +-→→= .

0=+→)(lim 1x f x =-+→)1(lim 1

x x .

1)(连续在故=x x f .),1()1,()(连续在+∞---∞∴ x f ).()21

(]1,0[),1()0(,]1,0[)(ξξξf f f f x f =+∈=使得证明必有一点且上连续在闭区间设),()21()(x f x f x F -+=令.]21

,0[)(上连续在则x F ),0()21()0(f f F -= ),2

1

()1()21(f f F -=,0)0(=F 若,0=ξ则);

0()21

0(f f =+,0)21(=F 若,21=ξ则);

21

()2121(f f =+则

若,0)21

(,0)0(≠≠F F )0()(21,011>+=

>+a x a

x x x n

n n 有极限证明设0

>n x 显然a x a

x x n

n n ≥+=⇒+)(211)(211n n n n x x a x x -=-+0

212≤-⋅=n

n x x a 存在n n x ∞

→lim 0lim >=∞→A A x n n ，则设两边取极限得

在)(211n n n x a x x +=+)(21A a A A +=（舍去）解得a A a A -==,)1ln()cos 1(1cos sin lim

2

0x x x x x x +++→x

x x x x x x x )1ln()

cos 1(1

cos sin lim 0+++=→原式1201⨯+=2

1=