广义积分

lim ln( x a) . 反常积分发散 .
xa
当 1时 ,
b dx a ( x a)
b
1
(1 ) (x a) 1 a
.
反常积分发散 .
b dx a ( x a)
(b a)1
1
(收敛 )
(发散 )
0 1
1
16
,
1
17
内容小结
积分区间无限 1. 广义积分
当 p 1时 ,
1
dx xp
x1 p 1 p
1
.
1
dx xp
发散 .
(
p
积分
) 1
dx xp
1 p 1
(收敛 )
(发散 )
p 1 p1
8
二、无界函数的广义积分
f ( x) 在 (a , a ) 无界 ,
b
f ( x)dx
定义
a
lim
0
b
f (x) dx
a
右端极限存在
x
0
0
k
2 2
e kx
sin
x
dx
1
(0
1)
k
2
(0 0)
k
2 2
I
1
k
2 2
I.
解出
I k2 2 .
7
例4.
1
dx xp
当 p 1时 ,
1
dx xp
x1 p 1 p
1
1 p
1
.
1
dx xp
收敛 ,
当 p 1时 ,
1
dx xp
ln x . 1
1
dx xp
发散 ,
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx
F(x)
F(c ) F(a) F(b) F(c )(c是瑕点)
F(x)
12
例5.
3a 0
x dx 3a2 x2
(a 0)
解.
x
3a 是
x 3a2
x2
的无穷间断点
.
3a x dx
0
3a2 x2
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( 3a)
3a2 x2
0
(0 3a) 3a . #
s
a
b
x
b f ( x) dx 定义 lim
b
f ( x)dx .
a a
右端极限存在,
则称 反 广常 义积分
b
f
( x)dx
收敛
,
否则
,
则称
b
f
( x)dx
发散
.
2
f ( x)dx
定义
0
f ( x)dx
f ( x)dx .
0
右端两广义积分都收敛 , 则称广义积分
f (x) dx
收敛 , 否则称 f ( x)dx 发散 .
上限 (
3
a)
代入的含义是
lim
x( 3 a)
3a2 x2 .
13
例6.
1 1 1 x
dx ln
x
1
0 .
1
错 ! 忽视了 x 0 是被积函数的无穷间断 点 .
111x d
x
0 1 dx 1 x
11 dx
0x
0
1
ln x ln x
1
0
因为 lim ln x , x 0
b
f (x) dx F (x)
f (x) dx F (x)
F (b) F () F () F ()
4
例1.
e
x
dx
0
e xdx
e xdx
0
ex 0 ex
0
e0 lim e x lim e x e0
x x
(1 0) (0 1) 2 .
5
例2:计算广义积分
(x
1 a)
在 (a, b] 上连续
,
x
a 是其无穷间断点 .
当0 1时 ,
b dx a ( x a)
(x a)1
1
b (b a)1
.
a
1
反常积分收敛 .
15
b dx a ( x a)
(b a , 0)
当 1时 ,
b dx a ( x a)
ln(x a)ba .
被积函数无界
2. 两个重要的广义积分
,
(
p
1 1)
a
p1
,
常义积分的极限
p 1 p 1
,
1
18
所以
0 1dx发散 , 1 x
1 1 1 x
d x 发散
.
14
以后计算定积分
b
a
f
(
x)
dx
时
,
要先检查
f ( x) 在[a,b]
上是否连续 , 是否有无穷间断点 , 有间断点要分段积分 ,
若有无穷间断点,
则
b
a
f
(
x
)
dx
是反常积分
.
例7.
b dx a ( x a)
(b a , 0)
解.
,
则称
广反义常积分
(瑕积分)
b
a
f
(
x)
dx
收敛
,
否则称
b
a
f
(
x)
dx
发散
.
f ( x) 在 (b , b) 无界 ,
b
b f ( x)dx
定义
a
lim
0
a
f (x) dx
右端极限存在
,
则称广反义常积积分
(瑕积分)
b
a
f
(
x
)
dx
收敛
,
否则称
b
a
f
(
x)
dx
发散
.
9
f ( x) 在 (c , c ) 无界 , (a c b) .
b
f ( x)dx
定义
c
f ( x)dx
b
f ( x)dx
a
a
c
右端两广义积分都收敛 , 称广义积分 b f (x) dx 收敛 , a
否则称
b
a
f
(
x)
dx
发散
.
(
右端积分只要有一个发散
,
就称
b
a
f
(
x
)
dx
发散
.
)
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称 为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
(
右端两积分有一个发散则
f
(
x
)
dx发散
.
)
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该广义积分发散 .
3
引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F (x)
F () F (a)
解:
[ arctan x ]|0
[ arctan x ]|
0 22
思考:
分析:
原积分发散 !
注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .
6
例 3.
I ekx sin x dx 0
1
e kx
cos
x
0
(k 0)
k
2
e kx
sin
第四节 广义积分
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
广义积分 (反常积分)
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
1
一、无穷限的广义积分
定义
b
f ( x)dx lim f ( x)dx .
a
b a
右端极限存在,
则称 广反义常积分
a
f
( x)dx
收敛
,
否则
,
则称
a
f
( x)dx
发散
.
y f (x)
例如,
11
引入记号
F (a ) lim F (x) ; F (b ) lim F (x)
xa
xb
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
b f (x)dx
F(x)
a
F (b) F (a )(a是瑕点)
b f (x)dx
F(x)
a
F (b ) F (a（) b是瑕点）
b
a f ( x)dx