三角函数的图像与性质

2
y=sin2x图象由y=sinx图象（纵标不变）， 1 横标缩短 而得。 2
y=si nx
y=si n2x
2π O x
横标伸长2倍而得。
1 y=sin 2 x图象由y=sinx图象（纵标不变），
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π 例2：如何由y=sinx 的图象得到y=3sin(2x+ 3
)
方法1：y=sinx
纵向伸长3倍

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2.求函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x 的最小正周期和最小值, 并写出该函数在 [0, ] 上的单调增区间. 解: ∵ y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ 3 sin2x = 3 sin2x-cos2x
2 2

(

2
k ,

2
k )( k z )
递增
递减
x 2k

2
y , k z 时， m ax 1
y , k z 时，m in 1
x 2 k , k z 时，y m a x 1
最值
奇偶性
x 2k

2
x 2k , k z
纵向伸长3倍
y=3sinx
y
方法2： y=sinx － O 6 纵向伸长3倍 y=3sinx 1 横向缩短 2 y=3sin2x π 左移 6 y=3sin(2x+π ) 3
π 3 π y=3sin(x+ 3 ) 1 横向缩短 2 π y=3sin(2x+ ) 3
左移
y=3sinx
y=3sin(2x+ )
(3)用光滑的曲线连结(2)中五点.
作函数
解:
y sin( 1 2 x

3
)1
的简图
描点作图
y
列表
1 2
x

3
0

2

3 2
2
-
2
1
x
y sin( 1 2 x

3 )1
2 3

3
4 3
7 3
10 3 -
2 o 3
1 -

2

4 3
3 2
7 3
2
x 10
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四. y = A s in (ω x + )(其 中 A > 0 , ω > 0 )在 简 谐
运动中的相关概念 :
(1)A (2)T = (3)f = 2π ω 1 T (4)ω x + ( 5 ) = ω 2π
振幅
周期
频率
相位 初相
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五 . f(x)= Asin(x+) , f(x)=Acos(x+)和f(x)=Atan(x+)的性质
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3.奇偶性： 再如f(x)= Asin(x+) 为奇函数 f(x)= Asin(x+) 为偶函数 f(x)= Acos(x+) 为奇函数
=k (kZ)
f(x)= Acos(x+) 为偶函数 解法一： fxx f x x A sinx x sin xsin, x , f sin A A A 观察得到：可类比正弦曲线 和余弦曲线的奇偶性， f
2
-
4
正, 余弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 , 2 , 2 , 0 , 0 , 2 对称中心为图象与 x 轴的交点 , x 轴的直线, , 2 , 4……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
1
2
1
0
1
3
3
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3. 由 y = s in x 到 y = A s in (ω x + )的 图 象 变 换 步 骤
步骤1 步骤2 步骤3 步骤4 步骤5
画 出 y = s in x 在 0 ， 2 π 上 的 简 图
沿x轴 平行移动 横坐标向左 (>0) 或向右(<0) 平移 || 个单位 得 到 y = s in (x + )在 某 周 期 内 的 简 图 横坐标 伸长或缩短 将各点的横坐标变为原来的 1/ω 倍(纵坐标不变).
y=3sinx
y
π 3 π y=3sin(x+ 3 ) 1 横向缩短 2 π y=3sin(2x+ ) 3
左移
－ －6 3
y=3sinx
y=3sin(2x+ )
3
)
y=sinx
x
O
y=3sin(x+ )
3
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π 例2：如何由y=sinx 的图象得到y=3sin(2x+ 3
)
方法1：y=sinx
3
)
y=sinx
x
y=3sin2x
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3.P97例3已知函数 y= 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1, xR. (1)求当 y 2 2 取得最大值时自变量 x 的集合; (2)该函数可由y=sinx(xR) 的 图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1= 1 cos2x+ 3 sin2x+ 5 解: (1)y= 2 4 2 4 4 = 1 sin(2x+ )+ 5 . 2 6 4
当且仅当 2x+ =2k+ (kZ), 即 x=k+ (kZ) 时, 6 2 6 函数 y 取得最大值. 故当 y 取得最大值时, 自变量 x 的集合是:
{x | x=k+ , kZ}. 6
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由y=sinx
1 sin(2x+ )+ 5 . 2 6 4
(2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: ①将 y=sinx 的图象向左平移 , 得 y=sin(x+ ) 的图象; 6 6 1 ②将所得图象上各点横坐标缩短到原来的 2 倍(纵坐标不 变), 得到 y=sin(2x+ ) 的图象; 6 1 ③将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的 2 倍(横坐标不 变), 得到 y= 1 sin(2x+ ) 的图象; 2 6 5 1 ④将所得图象向上平移 4 个单位长度, 得到 y= 2 sin(2x+ 6 ) 5 + 4 的图象; 综上得到 y= 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1 的图象. 2 2
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二、三角函数图象的性质
函数 图象
[
y sin x
y
1 1
y co s x
y
y tan x
y
2
0
1

2
x
1
0

2
x

3 2


2
0
3 2
x
单调性
3 2 k ， 2 k ]( k z ) 递减 [ 2 k ， 2 2 k ]( k z ) 递增 2 2 [ 2 k ， 2 k ]( k z ) 递增 [ 2 k , 2 k ]( k z )
左移

2
y=cosx
-
2
-
o -1 -
2
-
4
-
6
y=sinx
余弦曲线
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-
x
y=cosx
正弦函数.余弦函数的图像和性质
2.五点法作函数 y=Asin(x+) 的图像的步骤: (1)令相位 x+=0, , , 3 , 2, 解出相应的 x 的值; 2 2 (2)求(1)中 x 对应的 y 的值, 并描出相应五点;
一、三角函数图像的作法 二、三角函数图像的性质 三、解三角不等式（数形结合） 四、f(x)= Asin(x+) 的性质 五、课后练习
几何法 五点法 图像变换法
一、三角函数图像的作法
1.几何法 y=sinx 作图步骤:
y
y
T 1 P
正弦线MP 余弦线OM
正切线AT
A 1
o
M
x
1P1
p1
/

6
作法: (1) 等分
1.周期性: ①y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是 2; ② f(x)= 2 Asin(x+) 和 f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是 T= || . f(x)=Atan(x+)的最小正周期都是 T= ||
④f(x)= |Asin(x+)| ,f(x)=|Acos(x+)|的最小正周期都是 T= || （即取绝对值后周期减半），f(x)=|Atan(x+)|的最小正周期是 T= || （即取绝对值后周期不变）。
得 到 y = A s in (ω x + )在 R 上 的 图 象
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例1：如何由函数f(x)=sinx的图象得到下列函数 的图象？
(1)y=2sinx
y
(2)y= 1 sinx
(3)y=sin2x
(4)y=sin 1 x
2
2
y=2sinx图象由y=sinx图象（横标不变）， 纵标伸长2倍而得。
y=2sinx
y=si nx
y= 1sinx 2
O
2π
x
1 y= 2 sinx图象由y=sinx图象（横标不变）， 纵标缩短 1 而得。 2
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例1：如何由函数f(x)=sinx的图象得到下列函数 的图象？
(1)y=2sinx
y
(2)y= 1 sinx
(3)y=sin2x
(4)y=sin 1 x
y 时，m in
1
无最值
奇函数
偶函数

2
奇函数
k 2
对称中心:( k
, 0 )( k z )

2 ,k Z
对称中心: ( k
对称中心: , 0 )( k z )
(
, 0 )( k z )
对称性
对称轴： x k 对称轴：
x k , k Z
无对称轴
(2) 作正弦线 (3) 平移
-
(4) 连线
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-
-
-
o1
M
-1A
1
o
6

3

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
22
x
-1 -

0相位 2
相位
相位
3 2
相位
2 相位
y
正弦函数 y sin x , x R 的图像
正弦曲线
1 -
-
6
余弦函数y=cosx =sin(x+ ) 由y=sinx
故该函数的最小正周期是 , 最小值是 -2. =2sin(2x- ) 6
≤2x- ≤2k+ (kZ) 得: 由 2k- 2 6 2 k- ≤x≤k+ (kZ).
6 3 令 k=0, 1 即得函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x ] 和 [ 5 , ]. 在 [0, ] 上的单调增区间是 [0, 3 6
=k + (kZ) 2 =k + (kZ) 2 =k (kZ)
sin x cos cos A A cos sinx A A sin x cos A cos A cos sin , A A sin x cos x sin sin x cos x sin x , 2 A c os x sin f(x)=sin( 0 sin >0, 0 k 是 z P94例4.已知函数0 , A cos xx+)( 0 ≤≤) k R 上的偶 2 A sin x cos 0 , A sin x 0) 对称, 0 k ] k z 函数, 其图象关于点 M( 3 , 0 cos 且在区间 [0, 2 上是单调 4 2 函数, 求 和 的值. 解法二：
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三、解三角不等式（数形结合）
1. sin x 1 2
1 2
-

6
7 6
2. - 1 tanx
3
-
3

4

3
-1
3.cos ( 2 x

3
)
3 2
3 2

将2x
11 6

3
看作一个整体
6
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4解不等式 |sinx|>cosx. y
o

4
7 4
x
{x| +2k<x< 7 +2k, kZ} 4 4
得 到 y = s in (ω x + )在 某 周 期 内 的 简 图
各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)； 纵坐标 伸长或缩短
得 到 y = A s in (ω x + )在 某 周 期 内 的 简 图
沿x轴
扩展
要特别注意, 若由 y=sin(x) 得到 y=sin(x+) 的图象, 则向 左或向右平移应平移 | | 个单位.
注：较复杂的三角函数要先化简，再利用公式求周期；有时 可用数形结合或定义法求周期
P93,1下列函数中周期为 2 的是（D ） 2.研究 f(x)= Asin(x+) 性质的方法：类比研究y=sinx的性质， 只需将 x , B.y=sin2x C.y=cosf(x)=Asin(x+) 的单调区间时， A.y=sin ωx+φ看成 x，但在求 x D.y=cos4x 2 4 要特别注意A和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。 2.f(x)=sin2x-½的周期是（ π ） x y ) ； y lo g 1 co s( )的单调增区间。 如1 ： sin ( 2 x 3.P95T9 3 4 B 3 2