第四章随机误差与系统误差

（三）系统误差的发现
系统误差的存在给测量结果带来影响，应 予以修正或消除。为此，首先要发现系统 误差。由于形成系统误差的因素错综复杂， 人们的认识不可避免有局限性，因此，通 常难于查明所有系统误差，不可能全部抵 消系统误差的影响。
1.定值系统误差的发现方法 2.变值系统误差的发现方法
1.定值系统误差的发现方法
（二）系统误差的分类
按变化规律，可将系统误差分为两类： 一类为固定值的系统误差，又称恒定系差，
其值（包括正负号）恒定。如：采用天平 称重时标准砝码误差引起的测量误差分量。
另一类为随条件变化的系统误差，又称可变 系差，其值以确定的、并通常是已知的规 律随某些测量条件变化。如：随着温度周 期性变化引起的温度附加误差。
随机误差是测量结果与在重复性条件下，对同一被 测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。
2.随机误差的特点
事实表明，大多数的随机误差具有：单峰性 （即绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误 差出现概率大）、对称性（即绝对值相等的正误 差和负误差出现概率相等）、有界性（在一定测 量条件下，误差的绝对值不会超过某一界限）、 抵偿性（在同一条件下，对同一量进行重复测量 时，随着测量次数的增多，随机误差的代数和为 零，或者说随机误差的期望值为零）等特性。其 它如三角分布、均匀分布等也有类似特性，但抵 偿性是随机误差特点中最本质的统计特性。
4）测量者本身生理上的某些缺陷给测量结果带来误差。此项 误差称为人员误差。
（二）系统误差的分类
系统误差是在重复性条件下，对同一被测量进行无穷多次 测量所得结果的平均值与被测量真值之差。 真值虽一样， 系统误差及其原因却不能完全知道。
根据数值及变化规律的掌握程度，可将系统误差分为已定 系统误差（简称已定系差）和未定系统误差（简称未定系 差）。 已定系差是指数值及其变化规律已经确定的系统误差； 未定系差是指数值或其变化规律未经确定的系统误差。未 定系差是系统误差中未被确定或不可掌握的部分，它常和 随机误差一起成为测量不确定度评定的主要对象。
3、选择适当的测量方法，使系统误差抵 消而不致带入测量结果中
1）恒定系统误差消除法 2）可变系统误差消除法
1）恒定系统误差消除法
异号法 改变测量中的某些条件，例如测量方向、电压极性等，使两种条件下的测量结果中
的误差符号相反，取其平均值以消除系统误差。 例：带有螺杆式读数装置的测量仪存在空行程，即螺旋旋转时，刻度变化而量杆不
注意：（1）修正值或修正因子的获得，最常用的 方法是将测量结果与计量标准的标准值比较得到， 也就是通过校准得到。修正曲线往往还需要采用 实验方法获得；
2）若残差有规律地递增或递减，符号也逐渐 从正值到 负值或由 负值到正值变化时，则说明存在线性变化的系 统误差；
3）若残差循环交替地由正值到负值或由负值到正值变化 时，则说明存在周期性变化的系统误差。
（2）残差和算法
将残差按测量顺序分为个数基本相等的前 后两组，则前组残差之和不为零，后组残 差之和也将不为零，且两者符号相反。若 前后两组残差和之差⊿显著不为零，则可以 认为有线性误差存在。因有线性系统误差 时，算术平均值更接近按测量顺序排队时 中间测得值。
a2
x x
............. ..............0
a
x
x0 a
标准偏差为
-a
+a
（x） a
6
3、梯形分布
p(x)
1 a(1
a
)
x
........................x
................a
a
xa
a2 (1 2 )
标准偏差
（x） a 1 2
3、画修正曲线
当测量结果的修正值随某个影响量的变化 而变化，这种影响量例如温度、频率、时 间、长度等，那么应该将在影响量取不同 值时的修正值画出修正曲线，以便在使用 时可以查曲线的到所需的修正值。
4、制定修正值表
当测量结果同时随几个影响量的变化而变 化时，或者当修正数据非常多且函数关系 不清楚等情况下，最方便的方法是将修正 值制定成表格，以便在使用时可以查表得 到所需的修正值。
1）残差观察法 2）残差核算法
2.1残差观察法
将观察值按测量时的先后顺序排队，分别计算出它们的 残差，再将残差按测量先后顺序排队，然后列表或作图 （横轴为测量顺序，以次数表示；纵轴用残差表示）判 断有无变值系差。
1）当残差符号大致正负相间出现，且无明显的变化规律 时，则可认为不存在变值系统误差；
（五）修正系统误差的方法
1、在测量结果上加修正值 修正值的大小等于系统误差估计值的大小，但符号相反。 测量结果的系统误差估计值（仪器的示值误差）⊿=未修正
的测量结果-标准值 修正值C= -⊿ 已修正的测量结果=未修正的测量结果+修正值C 例：用电阻标准装置校准一个标称值为1Ω的标准电阻时，
二、系统误差
在讨论随机误差时，总是有意忽略系统误 差，认为它等于零。若系统误差不存在， 期望值（总体均值）就是真值。但是，在 实际工作中系统误差是不能忽略的。
（一）系统误差产生的原因
在长期的测量实践中人们发现，系统误差的产生一般与测量仪器或装置 本身的准确度有关；与测量者本身的状况及测量时的外界条件有关。
解：从表中计算结果中可以看出，残差有规律地由大到小，由正到负。 说明测量结果中有线性变化的系统误差。
用残差核算法解：前5次测量残差之和为2.85，后5次测量残差之和为2.58.两者之差⊿=2.85-（-2.58）显著不为零。所以可以认为有可变线 性误差存在。
（四）消除或减少系统误差的方法
1、采用修正的方法 对系统误差的已知部分，用对测量结果进行
第四章 随机误差与系统误差
一、随机误差
1.随机误差产生原因 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微 小因素所构成，这些因素在测量过程中相互交错、 随机变化，以不可预知方式综合地影响测量结果。 就个体而言是不确定的，但对其总体（大量个体 的总和）服从一定的统计规律，因此可以用统计 方法分析其对测量结果的影响。
1）对比检验法
由定义可知，期望值与真值之差就是系统误差。如果用算术平均值 代替期望值，则算术平均值与真值之差可近似为系统误差。因此我们 用某一计量器具对某一量进行多次测量后，取得算是平均值，然后再 用准确度等级更高的计量器具对同一量仍进行多次测量，并把他的平 均值当作约定真值，则前后两次测量的算术平均值之差就可认为是系 统误差；
6
4、反正弦分布（U形 分布）
p(x)
1 ................x a a2 x2
0..............................x a
标准偏差
（x） a
2
-a
0
+a
3.随机误差的评定
随机误差按统计方法来评定，如用算术平 均值来评定测量结果的数值，实验标准偏 差、算术平均值实验标准偏差来评定测量 结果的分散性。
例如在仪器使用时，如果应该对中的未能对中， 应该调整到水平、垂直或平行理想状态的未能 调好，都能带来测量的系统误差，操作者应仔 细调整，以便减小误差。又如在对模拟式仪表 读数时，由于测量人员每个人的习惯不同会导 致读数误差，采用了数字显示仪器后就消除了 人为读数误差。
（四）消除或减少系统误差的方法
1）在检定或测试中，标准器或设备本身存在一定的误差；这 种误差称为装置误差。
2）测量时的客观环境条件（如温度、湿度、恒定磁场等）也 会给测量结果带来误差。如各地的重力加速度因地点不同而 异，相关重力加速度的测量，未按测量地点不同加以修正， 也会给测量结果带来误差；一般称为环境误差。
3）某些测量方法的不完善引起。这种误差称为方法误差或理 论误差；
(2)可变系统误差消除法
合理地设计测量顺序可以消除测量系统的线性漂移或周期性变化引入的系统误差。 用对称测量法消除线性系统误差 例：用质量比较仪作指示仪表，用F2级标准砝码替代被校砝码的方法校准标准标称值
为10kg的M1级砝码，为消除由质量比较仪漂移引入的可变系统误差，砝码替代 方案采用按“标准-被校-被校-标准”顺序进行，测量数据如下：第一次加标准砝 码时的读数ms1=+0.010g,接着加被校砝码，读数为mx1=+0.020g,再第二次加被 校砝码，读数为mx2=+0.025g,再第二次加标准砝码，读数为ms2=+0.015g。则 被校砝码与标准砝码的质量差⊿m=（mx1+mx2）/2-(ms1+ms2)/2=+0.01g,由此 获得被校砝码的修正值为-0.01g。 半周期偶数测量法消除周期性系统误差 半周期性系统误差通常可以表示为ε=αsin(2πl/T) 式中：T——误差变化的周期； l ——决定周期性系统误差的自变量（如时间、角度等）。 因为相隔T/2半周期的两个测量结果中的误差是大小相等符号相反的。所以凡相隔半周 期的一对测量值的均值中不再含有此项系统误差。这种方法广泛用于测角仪上。
标准装置的读数为1.0003Ω。问：该被校标准电阻的系统误 差估计值、修正值、已修正的校准结果分别为多少？ 解：系统误差估计值=仪器误差=1Ω-1.0003Ω=-0.0003Ω 示值的修正值=+0.0003Ω 已修正的校准结果=1Ω+0.0003Ω=1.0003Ω
2、对测量结果乘修正因子
修正因子等于标准值与未修正测量结果之 比
正态分布的概率计算
p p(x)dx 0.6827 2
p p(x)dx 0.9545 2 3
p p(x)dx 0.9973 3
σ前的系数1、2、3，与置信概率有关，称为置信因子，在不确定 度评定时，又称包含因子，以区别于传统统计理论
常用的非正态分布
1、均匀分布（矩形分布） P(x)
例
对某一量进行10次测量，测量结果和计算结果见表所示。是判别该测 量结果中有无系统误差。
测量 序号
测得 值
残差
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
102.7 102.5 102.3 101.9 101.6 101.4 101.2 101.1 100.9 100.7
+1.07 +0.87 +0.67 +0.27 -0.03 -0.23 -0.43 -0.53 -0.73 -0.93
动，引起测量的系统误差。为消除这一系统误差，可从两个方向对线，第一 次顺时针旋转对准刻度读数为d1，设不含系统误差的值为a，空行程引起的恒 定系统误差为ε，则d1=a+ε;第二次逆时针旋转对准刻度读数为d2，此时空行 程引起的恒定系统误差为-ε，即d2=a-ε.于是取平均值就可以得到消除了系统 误差的测量结果：a=(d1+d2)/2。 交换法 将测量中的某些条件适当交换，例如被测物的位置相互交换，设法使两次测量中的 误差源对测量结果的作用相反，从而抵消系统误差。 替代法 保持测量条件不变，用某一已知量值的标准器替代被测件再做测量，使仪器的指示 不变或指零，这时被测量等于已知的标准量，达到消除系统误差的目的。 例：用精密电桥测量某个电阻器时，先将被测电阻器接入电桥的一臂，使电桥平衡； 然后用一个标准电阻箱代替被测电阻器接入，调节电阻箱的电阻，使电桥再 次平衡。则此时标准电阻箱的电阻值就是被测电阻器的电阻值。可以消除电 桥其他三个臂的不理想等因素引入的系统误差。
等概率分布
p(x)
a
1
a
.................a.
x
a
0.......................xa , xa
标准偏差
a-
a+Fra Baidu bibliotek
（x） a a a
12 3 ................a. 表示分布区间的半宽度 a a
2
2、三角分布
p(
x)
a
a2 a
修正的方法来减小系统误差。 例如：测量结果为30℃，用计量标准测得的
结果是30.1℃，则已知系统误差的估计值 为-0.1℃。也就是修正值为：+0.1℃，已 修正测量结果等于未修正测量结果加修正 值，即已修正测量结果为 30℃+0.1℃=30.1℃。
2、在实验过程中尽可能减少或消除一切产生系 统误差的因素
2）统计检验法
用比对检验法发现系统误差，其测量次数不多，一般为1～4次，适 合于系统误差较大，且随机误差较小的场合。如果随机误差相对来说 比较大时，应采用统计检验的方法发现系统误差。
2.变值系统误差的发现方法
变值系统误差不但影响测量结果的平均值， 而且还会影响残差和分布规律。其发现方 法很多，先简要介绍两种