南京理工大学考研题

[][]
的平均值为多少？
态上力学量）在少？（体系能量的平均值为多出现的概率是多少可测得哪些值？各个值态的体系进行能量测量）对处于求（是正的实数。

，其中，的矩阵表示分别为：学量及力系哈密顿量算符为态空间中得基矢，体和、中，态十一、已经体系处于状的可能值是多少？下，力学量）（）（十、求在状态的几率为多少？
的值为的本征态，求在此态中）如果粒子处于的本征值和本征态；（）表象中，求（九、在）能量至一级修正。

（示；
）微扰哈密顿的矩阵表。

写出（《，其中矩阵表示为八、体系哈密顿算符的分）能量至二级修正值。

（为实数。

用微扰公式求，且七、在能量表象中分）。

（。

证明，六、设分）。

（中算符的表示为五、试证明在动量表象分）（的本征值和本征函数。

分量四、求角动量的分的可微函数，试证明：是三、设分）彼此正交。

（同能级的束缚态波函数）中运动，证明属于不（二、粒子在一维势场分）
流密度。

（计算其几率密度和几率的粒子处于定态波函数一、质量为试题（量子力学）
年硕士研究生入学考试南京理工大学A A H A H
S L J Y S Y S S S S S S H b a E E a E b b a E H i S S p
i x I z pf i q f p q q q f i p q x V e r
m Z Z Z Z y x y x Z y x Z
ikr Z ψψαωαωϕϕϕϕϕϕψϕθχϕθχψααααββαβαϕ
3)2(?1010100001ˆ200020001ˆˆˆ21212
1-ˆˆˆ),(),(2312
22ˆ,ˆ1ˆ2112002002ˆ15,,ˆ152ˆ,2ˆ100115ˆ15-i ˆ)15.(2)(,)(,,1515,1
20040
03213211121-1021020102012⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=+=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+=
=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=≠⎪⎪⎭
⎫+ ⎝⎛+=-==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂
=∂∂====ψ
南京理工大学2005年硕士研究生入学考试试题
[][]
()()面。

计算散射振幅和微分截近似在高能近似下，用）（射，的粒子束被球壳势场散、质量为的不确定关系：和）中，（、求在自旋态迁选择定则。

、求线行谐振子偶级跃修正。

是实数，求能级至二级作用，
，现在受到微扰和用时有两个能级：、设一体系未受微扰作和本征函数。

，求它的本征值的矩阵为的共同表象中，算符和、设已知在、证明原子的基态能量。

、用测不准关系估算氦力学量的平均值。

能值出现的几率和这些分量的可能值、这些可量平方及角动
求氢原子能量、角动量）（、氢原子处于状态。

的可测值及相应的概率）的可测值及平均值；（）（：状态（已归一化），求、设体系处于。

的本征态下，、证明在和对应的波函数。

中运动，求粒子的能级）（、一粒子在一维势场值是实数。

、证明厄米算符的本征。

的可微函数，试证明：是，、设，Born a r V r V S S S S s b a a b b a L L L L Z r l l Y C Y C l l a x a x x x U fp i
p q f p q q f p q y
x y x z x
x Z Y X z x
Z
),(13?ˆˆ1211,H E E 1001010101022ˆˆˆ9i ˆˆˆ87,2
321,,62150ˆ4,,0,0,
0,32)(,)(i ,10222
10201z 212121022021112
2-==∆⋅∆⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛==-=+==⎪⎩
⎪
⎨⎧>∞≤≤<∞===-δμχσσσ
ψψϕθψψ
南京理工大学2006年研究生考试试题
[]()()()()()()()()()的平均值。

的可能值和这些力学量、、、、能量态中测量氢原子
）。

求在（），（）（函数为
、已知氢原子的电子波！
量几率分布函数。

附：的平均值；动
的平均值；势能求在此态中：）（、氢原子处于基态和对应的波函数。

中运动，求粒子的能级，、一粒子在一维势场二、计算题。

，表象中分量
在以；的封闭性为组成完备系，则的本征刃、算符。

的结果可表示为平均的；对坐标和自旋同时求为，对自旋的平均可表示下，自旋算符，则在态已归一化在自旋空间表示为、考虑自旋后，波函数磁量子数应满足中角量子数应满足、原子跃迁的选择定则性。

性和
函数分别具有
成的全同粒子体系的波、费米子和玻色子所组，能级的简并度为：与轨道角动量的耦合时考虑自旋但不考虑自旋度为：
子的自旋，能级的简并、对氢原子，不考虑电测不准关系是系为、坐标和动量的对易关动量算符表达式为：
：、能量算符的表达式为：、波函数的标准条件为本假设中任意两个：、写出量子力学五个基、德布罗意关系为：
一、填空题。

z 22z 21-20322111310
1
n x
-n 2
30
2221
1211212
2
s E s Y r 4
3)(,41,,,3a n dx e x r e -r ,1
,,2,,0,0,
0x x 1t x x x n n ˆ10)(.,,,9,876,543210
S l l R s Y r R s r e a r a x a x U n Q G G G G G z y x z y x m l p x p x z z z a r
x x ψ+=
ψ=
=ψ⎪⎩⎪
⎨⎧>∞≤≤<∞==ψ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=ψ
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛ψψ=ψ=
∆=
∆≥
∆⋅∆=⎰∞
+χϕθχϕθϕθπϕθα
)()()()()()()()
[
]
的粒子数最多？
角）使穿过的方向（即）如何调整（穿过。

以后的粒子有多大概率可）求穿过（的本征态。

）求自旋算符（的粒子。

的粒子通过而滤掉可使自旋而角方向的单位矢量。

轴成平面内与为。

的粒子，的粒子通过而滤掉可使自旋
所示）。

革拉赫实验装置（如图斯特恩的粒子，相继穿过三个、一束自旋为）
（）（）（）（）（递推公式：；似。

附：的几率，准确到一级近激发态第一
）线性谐振子被激发到即，求电场作用终了时（态），线性谐振子处于基（即。

设在加上电场之前）（微扰哈密顿算符为为常数，，其中为它与时间的关系电场可以看作是微扰，的线性谐振子上，这个电荷为、设有均匀电场作用在）。

（时刻的状态），写出（的本征态时，电子处于）若（表象）。

方程的解（取）求电子的定态薛定谔（的本征值和本征矢。

写出表象中的矩阵形势；并在，，）写出电子自旋（为常量。

，，，，其中为、一电子的哈密顿算符二级修正。

，试用微扰论求能级至的矩阵表示为表象中，作用，在现受一微扰，三个能级、一体系未受微扰时有，
）
（）
（）（IIISGz IIISGn 3IIISGz IIISGn 2S n S 12-S 2S IIISGz z xy n S n S 2-S 2S ISGz -217x 2n x 21n x x 21dx e t -t x t -q H
ˆ.0A e
A t q 6t t S 0t 2S 0t 3S 2S ˆS S ˆS ˆS
ˆ1c B e S ˆc eB H
ˆ5E b a
b E 0
a 0
E H ˆH ˆH ˆˆH
ˆ,E 4n z z n z z 1-n 1n n 0
x
-10t -2
z 2
1z z x
z
z y
x
x
030201000302012
2
θθφφμωφα
π
φφετπτ
εχχχμματ
⋅===⋅===++==
∞=∞=='>=
=====⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'+='+∞
**⎰H E E
南京理工大学2008年研究生考试试题
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)))()()2
2
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31224
n 33x 2
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y 2x z 2
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t -0z z x x z y x x y x
x
x
x 2
22e
e
1
...32,1n n 2e -E 3:10120x 0E 11x 3-x 2e 3x 100T V -E 921b a a E b b a E H ˆH ˆ8s s 01S 7.2r r r -i L ˆz 60e x 0t 0t e 513545L 6L 4L ˆP ˆ-P ˆL ˆ3L ˆP ˆ-P ˆL ˆ2L ˆP ˆ-P ˆL
ˆ13F ˆ-F ˆF ˆF ˆ22)()(C x V 112
2μαα
πψμααπ
αψχπϕθψϕθψϕθψϕτεεθα
ατ ==
====>=<=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++=∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∂∂==>==±======∆+→，波尔半径：：氢原子的基态波函数为，，，：氢原子的能量本征值为附：
小。

向的夹角大束自旋方向与外磁场方。

求该入射的极化电子强度比为平行磁场方向的一束之场方向的一束与自旋反束，其中自旋平行于磁后分裂为强度不同的两方向确定的不均匀磁场的状态。

在通过有确定的取向），处于电子极化意指电子自旋、设有一束极化电子（处的反射系数。

）在下列势阱壁子（、试求从左侧入射的粒的能量本征值。

对应
波函数，并求此波函数）是一维线性谐振子的（、试证明）的概率。

容许区（求电子处于经典力学不、设氢原子处于基态，果比较。

值并与微扰论的计算结）严格求解能量的本征（值，准确到二级近似；征）用微扰论求能量的本为小量，实数），（，（表象中，、设在。

和，求）（、在自旋下，，），，（周期性边界条件）必须满足，，（是厄密算符，波函数分量量算符的、证明：为了保证角动激发态的概率。

子在长时间后处于第一的常数），试求该谐振为大于之中（轴正方向的弱电场
时处于方向沿时处于基态，的以为线性谐振子，在、带有电荷率最大。

度的方向上被发现的概度和的氢原子中的电子，在，、证明：？
？？系式：、求下列算符的对易关。

的不确定度为能量。

已知算符以为线性谐振子的基态、利用测不准关系估计？
）量子力学有哪些假设（征值变化否？变化否？粒子的能量本无关的部分，粒子的波函数与时间时，即）改变一常量（）当势能、（）（）
（l C x V x V
()）
（）！！，（！！
定积分：，激发态波函数：一维线性谐振子的第一波函数：一维线性谐振子的基态，），（，，几个球谐函数：1-n 25311-n 22
1-n 2dx e x xe
2e e sin 3215
Y e cos sin 815Y 1-cos 3165Y e sin 83Y cos 43Y 41
Y 0
1
n 21
n x
-n 2x 2
1
-1x 21
-02i 222i 12220i 21110002
222
2
⋅⋅⋅⋅⋅==
=
=
=
===
===⎰∞
++±±±±±±α
πμω
ααπ
α
φπ
αφθπ
θθπθπθπ
θππαααϕϕϕ
南京理工大学2009年研究生考试试卷
[
][][][][][][][][][][]、
数，求：为待求的归一化常
，之中，其中，，）（于状态五、一维运动的粒子处这些力学量的平均值。

的可能值和
、、、，态中测量氢原子能量）。

求在（），（）（）
（），（）（），，，（波函数为四、已知氢原子的电子数和能量允许值。

作用的一个粒子的波函三、计算受到力，）（对易，证明：，均与，，已知反对易式，二、定义确定的测量值？
否一定不能同时具有两个不对易的力学量是的测量值具有确定值？、在什么情况下力学量满足的标准条件？
、如何理解波函数必须数将取什么形式？
成比例），则角分布函）不与（仑场（即、如果有心力场不是库想是什么？
、波恩近似法的基本思旋概念相对应是否与量子力学中的自如何定义的？地球自转、量子力学中角动量是：
一、简要回答下列问题A 00x 00
x Axe x s s L L E s Y r R 4
3
s Y r R 4
1
s r )(-kx F ˆ,ˆˆ,ˆ2
1ˆ,ˆˆ,ˆ21ˆˆ,ˆˆ)2(ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆC ˆ,B ˆC ˆ,B ˆA ˆC ˆB ˆA
ˆ1B ˆA ˆb ˆa ˆ)(ˆˆˆA ˆB ˆA ˆ54r
1
r V 32?1x -z 2z 2z 21-2032z 211131z nlmm 20>⎩
⎨⎧<≥=+
==+=+=-+-=+≡+
+
+
+
+
+
+
λψψχϕθχϕθϕθψωλm k k B A b a B A b a B b A a
B C A B A C A A B B
()()()()()()()(),......3,2,1,21;);(!2)(1,0a 0
H ˆH ˆH .11-K ˆM ˆv ,L
ˆK ˆK ˆ1L ˆM ˆ-M ˆL ˆM ˆL ˆK ˆs ˆs ˆs
ˆ0t 2
s 0t ˆc
2eB s ˆc eB H ˆx B B c b a ,0,0,0,0z y x V cos cos cos n cos S ˆcos S ˆcos S ˆn S ˆS ˆn 2
B ˆA ˆA ˆ0A ˆB ˆB ˆA ˆ1B ˆA ˆB ˆA ˆt x 020t 1n a
x n sin a 2x x 2
1
x 31-x 210x 0t m a 3212
221
2
1
0302010302
010z y x z x x z
y x n 22n 321=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+==⎪⎭
⎫ ⎝⎛=<<⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡=+=≡===>======⎩
⎨⎧∞<<<<<<=++=⋅=±=+==>==+=
=-*
*n n E x H e n x E E E E b a b E E c
z b y a x t n n x n
n ωμω
ααπαψλλϕϕμλλϕϕϕσ
μμγβαγβαψπϕϕϕϕψα
值分别为：量本征函数和能量本征、一维线性谐振子的能附：
级修正。

试用微扰论求能量的二的矩阵为：表象中，十三、设在，值分别为的本征矢，相应的本征也是为本征值，试证明，的本征矢，即为，，十二、设的平均值。

，，时，求即时，电子的自旋向上，。

设为轴正方向，磁相互作用指向磁场的作用，
匀磁场考虑轨道运动）受到均作为近似模型，可以不十一、有一定域电子（况。

时，讨论能量的简并情本征波函数。

当求粒子的能量本征值和，
其余区域），，（形匣子中运动，即十、设粒子被限制在矩）。

，，的方向余弦为（量单位矢的归一化本征矢量。

设的投影空间任意方向，试求电子自旋在
有两个可能取值：间任一方向上的投影只九、已知电子自旋在空表示形式。

的矩阵与表象中，，求：在和，满足与八、厄米算符的取值概率。

及能量的可测值与相应，时的波函数）求（的取值概率；
时能量的可测值与相应）求（个能量的本征态。

弟为粒子的）（）状态上，其中，（）（）（，时，粒子处于无限深势阱中运动，若的粒子，在非对称一维七、质量为和动量的矩阵表示。

求能量表象中粒子坐标左侧阱壁处），阱中（坐标原点在势阱的飞对称一维无限深势六、设粒子处在宽度为。

粒子动量平方的平均值）粒子动量的平均值和（；粒子坐标平方的平均值）粒子坐标的平均值和（）归一化常数；
（
⎰
⎰++=⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤<<=>=
-=+∞
-C
ax a x
ax a axdx x a x x a x a x
n a n a n dx e x n e n x
n n sin cos 1cos 5,0,00,sin 2a 4,0;!
31
32E 22n 1
2
22
024不定积分：量本征函数为：阱中，粒子的归一化能的非对称一维无限深势、宽度为为正整数
、定积分：、氢原子的本征值：πψα
επμα
南京理工大学2010年研究生考试试卷
一、 简答题
1、 写出五个量子力学基本假设中的两个
2、 波函数是用来描述什么的？归一化条件的物理意义？波函数的
标准条件？
3、 不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同的表象中不变的
量有哪些？
4、 何为玻色子和费米子？描写它们波函数具有怎样的性质？
5、 叙述泡利不相容原理和全同性原理。

()()[][]()()()()()
值进行比较。

法得到的能量二级近似、将能量本征值与微扰算符的本征值；
、用直接的方法求能量似；级近似和波函数一级近、用微扰法求能量至二为常数，求：
，其中哈密顿算符为的作用，体系的，现在受到微扰和时只有两个非简并能级设一体系未受微扰作用六、计算题
附公式：。

、动量的几率分布函数、动能的平均值、势能的平均值，求：一维谐振子处在基态五、计算题
？
）（）（的测不准关系：和中，求在自旋态四、计算题
、
、三、证明下列对易式附公式值。

求基态能量的一级近似、若粒子受到微扰：级表达式。

、求其状态波函数和能中，
阱的粒子在一维无限深势一质量为二、计算题
321b a ˆ2)12(5313;
21T 2;
21
1s s S ˆS ˆˆˆ,ˆ2,ˆ1cos 1
sin 1sin ,2),(220,2x H 21,0,0,00201020110
22
2221
2
1
2
y 2x y
2
122
22⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++='+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆==-=⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<='⎩⎨⎧><∞<<=+∞
--⎰⎰b E a a b E H H
E E a
a n dx e x p x U e
S p i p L y i x L
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x a
ax a axdx x a
x a
x a a
k a x x a k
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n x x z z
y
x
z π
μμωπαχμα
南京理工大学2011年研究生考试试卷
()()()()()()()()()()()()()()()()()[]
()[]
[]
刻处于归一化状态
、线性谐振子在初始时、证明下列对易关系的本征函数。

的本征值为是角动量算符、证明提示：在球坐标中传播的球面波。

表示向内（即向原点），表示向外传播的球面波从结果说明）（算几率流密度：
、由下列定态波函数计二、计算题。

动量与自旋磁矩的关系角动量的关系，自旋角、写出轨道磁矩与轨道严格表示式。

，写出其测不准关系的、的对易关系为、、若两个力学量有何差异？
波是什么波？与经典波、与自由粒子相联系的。

？说明原因或举例说明是否一定不能同时测量问、已知、、明理由。

状态是否为定态？并说、下列波函数所描写的同粒子？本特征是什么？何谓全、多粒子体系的一个基定值的条件是什么？
两个力学量同时具有确有什么关系？测量结果与力学量算符某一力学量的测量值，、对一个量子体系进行成？
怎样用单粒子波函数构几个？它们的波函数。

问体系可能的状态有和单粒子态，分别为只有两个可能的间无相互作用。

玻色子玻色子组成，玻色子之、一体系由两个全同的的表示式。

的共同表象中泡利矩阵和、写出在）（米算符，并指明原因：
、问下列算符是否是厄何谓反常塞曼效应？、何谓正常塞曼效应？内找到粒子的几率。

立体角方向的，中被测到的几率，及在，写出例子在球壳粒子的波函数为示，间的几率；用球坐标表写出粒子位于、一例子的波函数为一、简答题。

40
,ˆ;ˆˆ,ˆ32ˆ,,2sin 111
)2(;11112ik ˆˆˆˆ1110,,,9,2,1876,,5s ˆˆ4)ˆˆˆˆ(2
1)2(ˆˆ132d ,,,~,,,12
2202121)
()
(211111z 2==++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=∇====⨯+=+=+Ω++=-+---p l l i l l l z y x z y x r e r e r r e r
e r B A B A
L L L L i L L e
x e
x u t x e
x e
x t x q q q q s
x p p x p x
dr r r r dx x x z y x r x x z y ikr
ikr z y x t E x i t E x i t E i t E
i j i j i x x x
ψϕθθψψψψϕψϕϕψφφφφϕθϕθψψψϕθ
()()()
()()态的几率。

以后体系跃迁到间的作用，求经从分长时为常数，且开始受微扰，从时处于基态设谐振子在求矩阵元本征态，且已知
表示一维谐振子的能量，、设提示：量，并与严格解比较。

求基态能为变分参数。

用变分法基态试探波函数形式为、对于一维谐振子，取的本征值和本征函数。

）方向上的投影、求自旋角动量在（并求其平均值。

能取值和其相应几率，时刻谐振子的能量的可）（时刻的波函数；、
）写出（？
）系数（个定态波函数，求：
）表示谐振子第（式中）（）（2t )0k (2exp 0t 00t )2(.
)1(;1
,21211.......3,2,1n n 72)12(531,exp 6cos S ˆcos S ˆcos S ˆS
ˆcos ,cos ,cos 50t 3t 2c 1n x x c x 2
1
x 51x 221022x
5n 55202∞→>-='>==⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-++===++=
+∞-⎰k kt x H n x m a n n n n a n x a a n dx e x x n n ax n z
y
n
μω
πλλγβαγβαψψψψψ
[][][][][]
[]()[]
{}{}{}为自由度。

括弧在多变量情形是经典力学中的的算符。

数，上式左方是相应
是正则动量和坐标的函）（其中六、证明（维里定理）
）证明：对于定态（证明为五、设粒子的哈密顿量求能量至二级修正值。

都是实数。

用微扰公式，；，的作用，微扰矩阵元为现受微扰和作用时有两个能级：四、设一体系未受微扰递推法，，，，）（都对易。

证明
，与它们的对易式、三、设算符展开）。

（用本征态波函数的可能值及相应的几率描述，求粒子能量
用：阱中运动的粒子的状态二、设在一维无限深势）
值边否？（部分边否？能量的本征无关的，粒子的波函数与时间）（）（时，即）改变一常量（一、当势能k i q B p A p B q A B A poisson B A q p B q p B A i B A
V r V r p p r dt
d r V p E E H E E E nA nB a
x
x a x
a x a x x V E m
dx d i i i i i m m
n mn
n
n n ......,3,2,1,
,,),(,,A ,,ˆ,ˆT 22;
)1().
(2ˆH ˆ)(b a b H H a H H H
ˆ,)
.(B A B A )2(:B A B A 1B A B A n sin a 2)
(cos sin 4)(0)(2C r V r V C r V k
122)
0()0(2
)2(22112112
02011n 1n 2222=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂-∂∂∂∂==∇⋅=∇⋅-=⋅+=-'=='='='=''===-++→∑∑=--
μμ
πψππψψψ
()()能量及波函数。

对应的量子体系的定态方向的角动量，求于此为式是：
，它的能量的经典表示，转子绕一固定轴转动量为三、一刚性转子转动惯。

）动量的几率分布函数（动量的平均值）势能的平均值求：（）（态二、一维谐振子处在基与时间无关。

中，几率流一、证明在定态L L
ˆ)),(ˆ(22ˆˆI )2)12(531(32)2(;2
1
1,)(2)(,z
2
2220
122222
2222ϕφϕφϕπ
μμωπ
ψψψψψψψωE H d d I I L H a a n dx e x p T x U e
a
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i J e r t r z n
n ax n t i
x a Et
i
=-==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===
=
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x z y x E E H E
E E S i 求能量至二级修正值。

都是实数。

用微扰公式，；，的作用，微扰矩阵元为现受微扰和作用时有两个能级：六、设一体系未受微扰函数。

的本征值和所属的本征五、求四、证明： σσσ。