第七章非线性系统的分析

2、死区非线性
x1 ≤ ∆ 0, x2 = k ( x1 − ∆signx1 ), x1 > ∆
1 signx1 = −1
x1 > 0 x1 < 0
在实际系统中死区可由众多原因引起，它对系统可产生不同的 影响：一方面它使系统不稳定或者产生自振荡；另一方面有时 人们又人为的引入死区特性，使系统具有抗干扰能力。
第七章 非线性控制系统
7-2
1、饱和非线性
kx1 = x2 = ka x2 m −ka = − x 2m
典型非线性环节
x1 < a x1 ≥ a x1 ≤ −a
x2m
x2
−a
0
k
a
x1
此处：输入 x1 − − − − x2 − − − −输出 k − − − −比例系数
− x2m
第七章 非线性控制系统
第七章 非线性控制系统
4）混沌(Chaos)
蝴蝶效应（ The Butterfly Effect） 是指在一个动力系统中，初始条 件下微小的变化能带动整个系统 的长期的巨大的连锁反应。这是 一种混沌现象。 核心理念：看似微不足道的细小 变化，却能以某种方式对社会产 生微妙的影响，甚至影响整个社 会系统的正常运行。
第七章 非线性控制系统
r(t)
e(t)
N(A,ω) NLS
x(t)
G(s)
c(t)
非线性系统的闭环“传递函数”：
G ( jω ) N ( A, ω ) Φ ( jω ) = 1 + G ( jω ) N ( A, ω )
0 闭环“特征方程”： 1 + G ( jω ) N ( A, ω ) =
即
1 G ( jω ) = − N ( A, ω )
4、继电非线性
x2
x2m
x2m , x1 > 0 x2 = − x2m , x1 < 0
x2 x2
x1
x1
x1
0
− x2m
0
0
a)
b)
c)
继电器非线性会使系统产生自持振荡，甚至会导致 系统不稳定，并且使稳态误差加大。
第七章 非线性控制系统
5、正弦非线性
6、组合非线性
x2
x2m
x2
x2
X1 ∠ϕ1 = N ( A, ω ) = A
A12 + B12 −1 A 1 ∠tg A B1
式中， A 为输入信号的幅值， X 1 为输出信号基 波的幅值，ϕ1 为相位。 描述函数是非线性环节的“频率特性”，是 非线性特性的谐波线性化。（区别于微偏线性化）经过 线性化输出的信号与输入信号同频率，只是在幅 值和相位上有差异。
第七章 非线性控制系统

1、本质非线性系统的特点（P198） 1）初始条件与输入量对非线性系统的影响
如果某线性系统在某初始条件下的响应过程为衰减振 荡，则其在任何输入信号及初始条件下该系统的暂态响应 均为衰减振荡形式。 非线性系统可能会出现 某一初始条件下的响应 过程为单调衰减，而在 另一初始条件下则为衰 减振荡，如图所示。
x1
x1
x1
0
− x2m
0
0
a)
b)
c)
第七章 非线性控制系统
7-3 描述函数的基本概念
非线性控制系统的典型框图
r(t)
e(t)
N(A,ω) NLS
x(t)
G(s)
c(t)
N ( A, ω ) 为非线性环节的描述函数，A 为输入信 号的幅值， ω 为频率。 G ( s ) 为线性环节的传递函 数。
考虑二阶系统：
d 2x dx dx dx + a1 ( x, ) + a 0 ( x, ) x = 0 2 dt dt dt dt
dx dx ( , ) a x 式中 0 和 a1 ( x, ) 是 dt dt
dx 和 dt
x
的函数。
和 x 都是时间t 的函数，因此当t取特定 由于 x - x 平面上对应一个点。当t连续变 值时，在 x - x 平面上留下一条轨迹——相轨 化时，将在 x 迹。
第七章 非线性控制系统
例：欠阻尼二阶系统响应的相平面描述----相轨迹
第七章 非线性控制系统
2、相轨迹的性质
1）除奇点外，相轨迹上每一个点都有确定的斜率
+ f ( x, x ) = 0 或 dx dt = − f ( x, x ) x 二阶系统 = dx dt 得 等号两边同时除以 x
其中：An =
Bn =
π∫
1
1
2π
0 2π
x (t ) cos nωtd (ωt ) x (t ) sin nωtd (ωt )
= Xn
2 2 An + Bn
π∫
0
An ϕ n = arctg Bn
第七章 非线性控制系统

定义：非线性环节的描述函数为稳态输出的基 波分量与正弦输入的复数之比，记为 N ( A, ω )
第七章 非线性控制系统
2）当非线性输入的信号为正弦作用时，由 于非线性其输出将不再是正弦信号，而包 含有各种谐波分量，发生频率畸变。
第七章 非线性控制系统
3）自持（激）振荡
非线性系统在没有外作用时,有可能产生 振幅和频率都固定的振荡。该振荡过程物理上 可实现并可保持,通常被称为自持（激）振荡 或自振；振幅和频率由系统特性决定。
1 ②若 G ( jω )与− N ( A, ω ) 相切，则该NLS有可
能出现自持振荡（也许不出现），此时称临界 状态。
★自持振荡振幅和频率的求法。
自持振荡的振幅为 − 在交点处的ω值。
第七章 非线性控制系统
1 在交点处的A值，频率为 G ( jω ) N ( A, ω )
【例1-P218】已知：
第七章 非线性x + 2 x + x = u 【例】非线性系统
(0), x (0) ) = ( 0,1) (x
(0), x (0) = (x ) ( 0, −3)
非线性系统的稳定性和暂态响应与系统的初始条件密切相关。 Note：非线性系统不存在整个系统是否稳定的笼统概念，必 须针对具体的运动状态讨论稳定性。
第七章 非线性控制系统
5）非线性系统中各串联环节次序不可互换（P198）
R
G1(s)
G2(s)
Y
R
G2(s)
G1(s)
Y
线性系统
R
N(A,ω)
G(s)
Y
R
G(s)
N(A,ω)
Y
非线性系统
第七章 非线性控制系统
2、非线性系统的分析方法
1）非线性系统的数学模型是非线性微分方程； 但至今为止非线性微分方程没有成熟的解法； 2）常用的三种工程近似方法： ●描述函数法：频率响应法的扩展 ●相平面法：适用于一、二阶系统，准确、严格 ●计算机求解（数值）方法：NDE，有效方法。

线性系统满足叠加性(superposition)和齐次性(homogeneity)； 由于控制元件或多或少地带有非线性特性，所以严格地说, 实际的自动控制系统都是非线性系统； 非本质非线性和本质非线性； 一些系统作为线性系统来分析： ①系统的非线性不明显， 可近似为线性系统。②某些系统的非线性特性虽然较明显， 但在某些条件下，可进行线性化处理（微偏（切线）线性 化）。 1 " ' f ( x ) ≈ f ( x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) 2 2
第七章 非线性控制系统
1、描述函数的定义
设非线性环节的输入信号为 e(t ) = r (t ) − c(t ) = A sin ωt 则输出信号x(t) 必为一非正弦周期变化信号：
A0 ∞ + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt ) x (t ) = 2 n =1 A0 ∞ = + ∑ X n sin( nωt + ϕ n ) 2 n =1
( − M ) sin ωtdωt ∫ π π
π
第七章 非线性控制系统
1
2π
M M 4M 2π π ( − cos ωt ) 0 + cos ωt π = =
π
继电特性： 继电特性的描述函数：
4M N ( A, ω ) = πA 4M 物理意义：输出的基波幅值增益为 ，相移为零。 πA
非线性部件，但是输入正弦信号与输出基波之间的 传输关系为线性。
第七章 非线性系统的分析
7-1 非线性特性对系统的影响 7-2 典型非线性环节 7-3 描述函数的基本概念 7-4 用描述函数研究非线性系统 7-5 相平面的基本概念 7-6 线性控制系统的相平面分析
第七章 非线性控制系统
7-1 非线性特性对系统的影响
如果一个系统包含至少一个非线性元件或环节,则此系统 即为非线性系统。
4M （2）NL环节的描述函数 N ( X )= k + ，绘制当 πA
= M π= , k 0.1 时非线性环节的负倒特性曲线。
（3）当K0由0→+∞变化时，讨论该NLS的稳定性，是 否存在自持振荡？若存在稳定的自持振荡，求其振幅和频率。
第七章 非线性控制系统
K
Y
7-5 相平面的基本概念
1、相平面和相轨迹的基本概念
第七章 非线性控制系统
7-4 用描述函数分析非线性系统
1、NLS的稳定性分析
r(t) e(t) N(A,ω) NLS
线性系统
x(t)
G(s)
c(t)
1 + G ( jω ) = 0 即 G ( jω ) = −1
对最小相位系统，LS的稳定性取决于 G ( jω ) 曲线是否 包围 ( −1, j 0) 点，【包围；穿过；不包围】
jv jv jv
u G(jω) G(jω)
u
u
G(jω)
不稳定
稳定
自持振荡
第七章 非线性控制系统
自持振荡的振幅和频率： 1 自持振荡的振幅为 − 在交点处的A值，频率为 G ( jω ) N ( A, ω ) 在交点处的ω值。 略证如下：
r(t)=0
e(t)
N(A,ω) NLS
x(t)
G(s)
c(t)

非线性系统有收敛、发散和自持振荡三种状态。 自持振荡和极限环
第七章 非线性控制系统
4）混沌(Chaos)
1972年，MIT教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科 学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提 出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得 克萨斯州产生一个陆龙卷，并由此提出了天气的不可准确预报性。
= N ( A, ω ) A sin (ωt + ∠N ) e(t ) = A sin ωt 基波分量： x1 (t )
r (t ) = 0, e(t ) = − c(t ) ⇒ A sin ωt = − G ( jω ) N ( A, ω ) A sin ωt + ∠G ( jω ) + ∠N =1 −180
第七章 非线性控制系统
3、滞环（磁滞、齿隙）非线性
1 ) x 1 ≠ 0 , 且x 2 ≠ 0 k ( x1 − a sgn x x2 = 2＝0 x x2m sgn x1
x2
滞环特性会使系统 的相角裕度减小,动 态性能恶化,甚至产 生自持振荡。
x2m
−a
0
x1
a
− x2m
第七章 非线性控制系统
R
1
3 1 (s+ ) +1)( 1)(s s(ss s+ +32)
Y
−
0 −1
要求：（1）非线性环节的描述函数； （2）系统闭环后是否稳定； （3）是否存在极限环；若有，判断其稳定性； （4）若存在稳定的极限环，求其振幅和频率。
第七章 非线性控制系统
【例2-P222】已知：
R
M
−
0 −M
要求：（1）画出线性环节当K0=2时的幅相特性曲线；
第七章 非线性控制系统
2、典型非线性环节的描述函数
继电特性：
x
M M
x
输入 e(t ) = A sin ωt 输出为方波
ωt
0
M
e
0
M
π
2π
基波 x1 (t ) = X 1 sin ωt
0
A
e
π
2π
ωt
X1 =
π∫ π∫ π
1
1
2π
0
x (t )sin ωtd ωt
=
π
0
M sin ωtd ωt +
负倒幅相特性（曲线） 有向（ A增大） 曲线
LS 的(-1, j0)点 → NLS的负倒幅相特性曲线
第七章 非线性控制系统
将LS 的奈氏判据推广，对NLS的“奈氏判据”：
1 判断线性环节的奈氏曲线是否包围 − ？ N ( A, ω )
三种情况： ①包围：NLS闭环后不稳定； ②不包围： NLS闭环后稳定（离得越远，越稳定） ③相交：NLS闭环后不稳定，出现自持振荡（极限环）
第七章 非线性控制系统
2、自持振荡（极限环）的稳定性分析
G( jω )
jv
•
A
M2
D
•
0 C
u
•
• B • • M1
− 1 N (A,ω)
M1：不稳定的自持振荡， M2 ：稳定的自持振荡。
结论：Ａ增大时曲线进入稳定区域，则为稳定的自持 振荡（极限环）。
第七章 非线性控制系统
Note：①不论NLS出现稳定的自持振荡还是不稳 定的自持振荡，系统都是不稳定的；