第6章 多变量系统辨识方法_140232

ˆ (k ),K (k )和P (k ) 分别是第 i 子系统的参数估计向量、Kalman 增益矩阵 其中， i i i
和协方差矩阵。 这种依子系统递推的辨识算法结构如图 6.2 所示。
6
图 6.2 依子系统递推的辨识算法 并有
ˆ (k ) ˆ (k )= m
P (k ) Pm (k )
其中
B1r (z 1 ) B2 r (z 1 ) Bmr (z 1 )
A(z 1 )=1+a (1)z 1 +a (2)z 2 + 1 1 2 Bij (z )=bij (1)z +bij (2)z + i 1,2 , ,m; j 1,2 , ,r
T , bmr
ห้องสมุดไป่ตู้
T
则多变量系统写成最小二乘格式为
z(k ) H (k ) e(k )
式中， z(k )，H (k )， 和e(k ) 分别是多变量系统的输出向量、数据矩阵、模型参 数向量、噪声向量。当噪声向量 e (k ) 可视作白噪声时，利用最小二乘辨识原理， 可得多变量系统的模型参数递推辨识算法为
则可将多变量系统写成最小二乘格式
zi (k )=iT (k )i ei (k )
式中， zi (k )，i (k )，i 和ei (k ) 分别是第 i 子系统的输出变量、数据向量、模型 参数向量、噪声变量。当噪声变量 ei (k ) 可视作白噪声时，利用最小二乘辨识原 理，可得第 i 子系统的模型参数递推辨识算法为
这种把多变量系统分解为 m 个独立子系统，分别估计各子系统的模型参数 的算法，是以各子系统的损失函数达到最小为目标的，即
ˆ )= z (k ) T (k ) 2 J i ( i i i i
k 1
L
min
ˆ
i
但这并不一定能使
ˆ )= J (
ˆ ) min J (
B1r (z 1 ) A1r (z 1 ) B2 r (z 1 ) A2 r (z 1 ) Bmr (z 1 ) Amr (z 1 )
Aij (z 1 )=1+aij (1)z 1 +aij (2)z 2 + +aij (n )z n 1 1 2 n Bij (z )=bij (1)z +bij (2)z + +bij (n )z i 1,2 , ,m; j 1,2 , ,r
另外，如果传递函数矩阵具有如下的形式
B11 (z 1 ) A (z 1 ) 11 B21 (z 1 ) G (z 1 )= A21 (z 1 ) 1 Bm1 (z ) A (z 1 ) m1
其中
B12 (z 1 ) A12 (z 1 ) B22 (z 1 ) A22 (z 1 ) Bm 2 (z 1 ) Am 2 (z 1 )
2
式中，
B1r (z 1 ) B2 r (z 1 ) 1 Bmr1 (z )
且有
E w (k ) 0 2 Cov w (k ) w I 2 E w (i )w (j ) w ij I
这种多变量系统的描述框图如图 6.1 所示。
ˆ (k 1) ˆ (k )= ˆ (k 1) + K (k ) z (k ) H (k )
5
T K (k ) P (k 1)H T (k ) I H (k )P (k 1)H (k )
1
P (k ) I K (k )H (k ) P (k 1)
T Ki (k ) Pi 1 (k )hi (k ) 1 hi (k )Pi 1 (k )hi (k ) T Pi (k ) I Ki (k )hi (k ) Pi 1 (k ) 1
i =2,3,
,m
及（第 m 个子系统向第 1 个子系统传递）：
+a (n )z n +bij (n )z n
则以传递函数矩阵模型表达的多变量系统可描述成
A(z 1 )z(k )=B(z 1 )u(k )+w(k )
B11 (z 1 ) B12 (z 1 ) 1 1 B(z 1 )= B21 (z ) B22 (z ) 1 1 Bm1 (z ) Bm 2 (z ) z (k )= z1 (k ),z2 (k ), ,zm (k ) T u(k )= u1 (k ),u2 (k ), ,ur (k ) T T w(k )= w1 (k ),w2 (k ), ,wm (k )
u j (k ) ，那么第 i 子系统的输出写成
7
zi (k )=yi1 (k )+yi 2 (k )+ i =1,2, ,m
置
+yir (k )+wi (k )
T , T , , T T ir i i1 i 2 a (1),a (2), ,a (n ) ,b (1),b (2), ,b (n) T ij j ij ij ij ij ij T T T T hi (k )= hi1 (k ),hi 2 (k ), ,hir (k ) yij (k 1), yij (k 2), , yij (k n),u j (k 1),u j (k 2), hij (k )= 1 y (k )= Bij (z ) u j (k ) ij Aij (z 1 ) ˆ i (k 1) i 1,2 , ,m; j 1,2 , ,r
ˆ (k )= ˆ (k -1) + K (k ) z (k ) T (k ) ˆ (k 1) i i i i i i
T Ki (k ) Pi (k 1) i (k ) 1 i (k )Pi (k 1) i (k ) T Pi (k ) I K i (k ) i (k ) Pi (k 1) 1
i 1 i i
m
为使
4
ˆ )= J (
ˆ ) min J (
i 1 i i
m
置
T , T , T , , T T 1 2 m i T T T T T T T T T , b11 , b12 , , b1r , b21 , b22 , , b2 r , , bm1 , bm 2 , T = a (1),a (2), ,a (n) T b (1), b (2), , b ( n ) bij = ij ij ij T T z1 (k ) u (k ) 0 0 T T z (k ) 0 u (k ) 0 H (k )= 2 T zm (k ) 0 uT (k ) T h1 (k ) T h2 (k ) T hm (k ) T z (k )= z1 (k ),z2 (k ), ,zm (k ) T e (k )= e1 (k ),e2 (k ), ,em (k ) T T T T u ( k ), u ( k ), , u ( k ) u(k )= 1 2 r T zi (k )= zi (k 1),zi (k 2), ,zi (k n) T u j (k )= u j (k 1),u j (k 2), ,u j (k n) i 1, 2 , ,m; j 1, 2 , ,r
ˆ (k 1) + K (k ) z (k ) hT (k ) ˆ (k )= ˆ (k 1) m 1 1 m 1 1
T K1 (k ) Pm (k 1)h1 (k ) 1 h1 (k )Pm (k 1)h1 (k ) T P1 (k ) I K1 (k )h1 (k ) Pm (k 1) 1
1
Part II 辨识方法
第 6 章 多变量系统模型参数辨识方法
基于输入输出数据的多变量系统模型参数辨识包括： ① 传递函数矩阵模型参数辨识方法； ② Markov 参数辨识方法； ③ 输入输出差分模型参数辨识方法。
6.1 传递函数矩阵模型参数辨识方法
考虑如下传递函数矩阵
B11 (z 1 ) B12 (z 1 ) 1 1 1 B21 (z ) B22 (z ) 1 G (z )= A(z 1 ) 1 1 Bm1 (z ) Bm 2 (z )
T 该算法需要多次求逆运算 I H (k )P (k 1)H (k ) ，给计算带来不便，尤
1
其当 m 较大时，将会大大增加算法的计算量。为解决这个问题，下面给出一种 依子系统递推的辨识算法。 将多变量系统最小二乘格式
z(k )=H (k ) e(k )
写成
zi (k )=hiT (k ) i ei (k ) i =1,2, ,m
图 6.1 多变量系统图 第 i 个子系统可表示为
A(z 1 )zi (k )= Bij (z 1 )u j (k )+ei (k )
j 1 r
ei (k )=A(z )wi (k )
1
令
3
T , T T T , b T , b T , , b T T i i1 i2 ir i = a (1),a (2), ,a(n) T T b = b (1), b (2), , b ( n ) ij ij ij ij T T T z ( k ), u ( k ) i (k )= i T T T T T = z ( k ), u ( k ), u ( k ), , u ( k ) i 1 2 r z (k )= z (k 1), z (k 2), , z (k n) T i i i i T u j (k 1),u j (k 2), ,u j (k n) u j (k )= i 1, 2 , ,m; j 1, 2 , ,r
式中， zi (k )，hi (k )，i 和ei (k ) 分别是第 i 子系统的输出变量、数据向量、模型参 数向量、 噪声变量。 当噪声变量 ei (k ) 可视作白噪声时， 利用最小二乘辨识原理， 可得依子系统递推的辨识算法（第 i 1 个子系统向第 i 个子系统传递）：
ˆ (k )= ˆ (k ) + K (k ) z (k ) hT (k ) ˆ (k ) i i 1 i i i 1 i
则第 i 子系统的输出可写成
zi (k )=
令 yij (k )=
Bi1 (z 1 ) Bi 2 (z 1 ) u ( k )+ u2 (k )+ 1 Ai1 (z 1 ) Ai 2 (z 1 )
+
Bir (z 1 ) ur (k ) Air (z 1 )
Bij (z 1 ) Aij (z 1 )
课程名称： 《系统辨识理论与实践》
（Theory and Practice of System Identification）
Part II 辨识方法
第 6 章 多变量系统辨识方法
6.1 传递函数矩阵模型参数辨识方法 6.2 Markov 参数辨识方法 6.3 输入输出差分模型参数辨识方法 6.4 AUDI Algorithm for Multivariable Systems 6.4.1 Augmented UD Identification Structure 6.4.2 Parameter and Loss Function Matrices 6.4.3 Recursive AUDI Algorithm 6.4.4 Simulation Example