数学分析 切线和切面

γt0(t) = σ(t0) + (t − t0)σ (t0).
γt0 称为 σ 在 t0 处的切线. 在不引起混淆时, 也说 γt0 是 σ(t0) 处的切线.
不难看出, 切线是割线的极限, 切线可视为参数曲线的线性化(以直化曲).
切线的物理解释: 设质点在空间中运动, 其位置随时间 t 变化, 运动轨迹为曲线
设 D 为 R2 中开集, ϕ : D → R3 为连续映射. 我们称 ϕ 为 R3 中的连续参数曲面. 记
ϕ(u, v ) = x(u, v ), y(u, v ), z(u, v ) , (u, v ) ∈ D. 这里 (u, v ) 称为参数.
参数曲面及其线性化
设 D 为 R2 中开集, ϕ : D → R3 为连续映射. 我们称 ϕ 为 R3 中的连续参数曲面. 记
参数曲面及其线性化
设 D 为 R2 中开集, ϕ : D → R3 为连续映射. 我们称 ϕ 为 R3 中的连续参数曲面. 记
ϕ(u, v ) = x(u, v ), y(u, v ), z(u, v ) , (u, v ) ∈ D. 这里 (u, v ) 称为参数. 假定 ϕ 的三个分量都在 (u0, v0) 处可微, 则在 (u0, v0) 附近, 成立 ϕ(u, v ) = ϕ(u0, v0)+(u−u0)ϕu(u0, v0)+(v −v0)ϕv (u0, v0)+o (u−u0, v −v0) , 其中 ϕu = xu, yu, zu , ϕv = xv , yv , zv . ϕu(u0, v0) 是曲线 ϕ(u, v0) (u−曲线) 在 u = u0 处的切向量, ϕv (u0, v0) 是曲线 ϕ(u0, v ) (v −曲线) 在 v = v0 处的切向量.
切面是曲面的线性化(以直化曲). 比如, 地球表面可近似地认为是球面. 当人们 在小范围活动时, 却可以假定地面是平的. 这实际上是用切面代替了原来的球面.
记 N = ϕu(u0, v0) × ϕv (u0, v0). 利用 R3 中叉乘运算的性质可知 N 与切面正交, 为法向量.
切面方程可以写成非参数形式
记
dσ
dσ
σ (t0) = dt (t0) = dt t=t0 = (x1(t0), · · · , xn(t0)),
称 σ (t0) 为 σ 在 t0 处的切向量.
切线
设 σ (t0) = 0. 记
γt0(t) = σ(t0) + (t − t0)σ (t0).
γt0 称为 σ 在 t0 处的切线. 在不引起混淆时, 也说 γt0 是 σ(t0) 处的切线.
参数曲线和切向量
我们用研究多元函数的方法来研究空间中的曲线和曲面. 设 σ : [α, β] → Rn 为连续映射, 我们称 σ 为 Rn 中的连续参数曲线. 记
σ(t) = (x1(t), · · · , xn(t)), t ∈ [α, β]. t 称为参数. 如果 xi (t) (1 ≤ i ≤ n) 在 t = t0 处均可导, 则称 σ 在 t0 处可导.
σ(t) − σ˜(t) = o(|t − t0|), (t → t0) 则称 σ 和 σ˜ 在 t0 处相切. 容易看出, σ 和其切线 γt0 在 t0 处相切.
参数曲面及其线性化
设 D 为 R2 中开集, ϕ : D → R3 为连续映射. 我们称 ϕ 为 R3 中的连续参数曲面.
参数曲面及其线性化
σ, 则 σ (t0) 表示质点在 t0 时刻的速度. 在 t0 附近的非常短的时间段内, 可以近 似地认为质点做匀速直线运动, 运动轨迹为切线.
切线
设 σ (t0) = 0. 记
γt0(t) = σ(t0) + (t − t0)σ (t0).
γt0 称为 σ 在 t0 处的切线. 在不引起混淆时, 也说 γt0 是 σ(t0) 处的切线.
(x, y , z) − ϕ(u0, v0) · N = 0, 利用叉乘定义还可以改写为
切面
x − x(u0, v0) xu(u0, v0) xv (u0, v0)
y − y (u0, v0) yu(u0, v0) yv (u0, v0)
z − z(u0, v0) zu(u0, v0) zv (u0, v0)
切面
记 ϕ∗(u, v ) = ϕ(u0, v0) + (u − u0)ϕu(u0, v0) + (v − v0)ϕv (u0, v0), (u, v ) ∈ R2.
当 ϕu(u0, v0) 与 ϕv (u0, v0) 线性无关时, ϕ∗ 的像是经过 ϕ(u0, v0) 的平面, 称为 ϕ 在 (u0, v0) 处的切面. 切面中的向量称为切向量.
ϕ(u, v ) = x(u, v ), y(u, v ), z(u, v ) , (u, v ) ∈ D. 这里 (u, v ) 称为参数. 假定 ϕ 的三个分量都在 (u0, v0) 处可微, 则在 (u0, v0) 附近, 成立 ϕ(u, v ) = ϕ(u0, v0)+(u−u0)ϕu(u0, v0)+(v −v0)ϕv (u0, v0)+o (u−u0, v −v0) , 其中 ϕu = xu, yu, zu , ϕv = xv , yv , zv .
切面
记 ϕ∗(u, v ) = ϕ(u0, v0) + (u − u0)ϕu(u0, v0) + (v − v0)ϕv (u0, v0), (u, v ) ∈ R2.
当 ϕu(u0, v0) 与 ϕv (u0, v0) 线性无关时, ϕ∗ 的像是经过 ϕ(u0, v0) 的平面, 称为 ϕ 在 (u0, v0) 处的切面. 切面中的向量称为切向量.
切线
设 σ (t0) = 0. 记
γt0(t) = σ(t0) + (t − t0)σ (t0).
γt0 称为 σ 在 t0 处的切线. 在不引起混淆时, 也说 γt0 是 σ(t0) 处的切线.
不难看出, 切线是割线的极限, 切线可视为参数曲线的线性化(以直化曲).
切线
设 σ (t0) = 0. 记
切面是曲面的线性化(以直化曲). 比如, 地球表面可近似地认为是球面. 当人们 在小范围活动时, 却可以假定地面是平的. 这实际上是用切面代替了原来的球面.
切面
记 ϕ∗(u, v ) = ϕ(u0, v0) + (u − u0)ϕu(u0, v0) + (v − v0)ϕv (u0, v0), (u, v ) ∈ R2.
参数曲线和切向量
我们用研究多元函数的方法来研究空间中的曲线和曲面.
设 σ : [α, β] → Rn 为连续映射, 我们称 σ 为 Rn 中的连续参 · · · , xn(t)), t ∈ [α, β].
t 称为参数. 如果 xi (t) (1 ≤ i ≤ n) 在 t = t0 处均可导, 则称 σ 在 t0 处可导.
不难看出, 切线是割线的极限, 切线可视为参数曲线的线性化(以直化曲).
切线的物理解释: 设质点在空间中运动, 其位置随时间 t 变化, 运动轨迹为曲线
σ, 则 σ (t0) 表示质点在 t0 时刻的速度. 在 t0 附近的非常短的时间段内, 可以近 似地认为质点做匀速直线运动, 运动轨迹为切线.
设 σ, σ˜ 均为参数曲线. 如果 σ(t0) = σ˜(t0), 且在 t0 附近成立
= 0.
切面
x − x(u0, v0) xu(u0, v0) xv (u0, v0)
y − y (u0, v0) yu(u0, v0) yv (u0, v0)
z − z(u0, v0) zu(u0, v0) zv (u0, v0)
= 0.
以上方法和结果也可以推广到高维的情形.
数学分析(二): 多元微积分
梅加强 副教授 南京大学数学系
内容提要:
2.2 切线和切面
2.2 切线和切面
内容提要: 参数曲线和切线;
2.2 切线和切面
内容提要: 参数曲线和切线; 参数曲面和切面;
参数曲线和切向量
我们用研究多元函数的方法来研究空间中的曲线和曲面.
参数曲线和切向量
我们用研究多元函数的方法来研究空间中的曲线和曲面. 设 σ : [α, β] → Rn 为连续映射, 我们称 σ 为 Rn 中的连续参数曲线.
当 ϕu(u0, v0) 与 ϕv (u0, v0) 线性无关时, ϕ∗ 的像是经过 ϕ(u0, v0) 的平面, 称为 ϕ 在 (u0, v0) 处的切面. 切面中的向量称为切向量.
切面是曲面的线性化(以直化曲). 比如, 地球表面可近似地认为是球面. 当人们 在小范围活动时, 却可以假定地面是平的. 这实际上是用切面代替了原来的球面.
记 N = ϕu(u0, v0) × ϕv (u0, v0). 利用 R3 中叉乘运算的性质可知 N 与切面正交, 为法向量.
切面
记 ϕ∗(u, v ) = ϕ(u0, v0) + (u − u0)ϕu(u0, v0) + (v − v0)ϕv (u0, v0), (u, v ) ∈ R2.
当 ϕu(u0, v0) 与 ϕv (u0, v0) 线性无关时, ϕ∗ 的像是经过 ϕ(u0, v0) 的平面, 称为 ϕ 在 (u0, v0) 处的切面. 切面中的向量称为切向量.