第二十九讲不等式的证明

D.以上均有可能

名师作业•练全能

第二十九讲不等式的证明

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解析：因为饭 ＞远的否定是\[b,即競=饭或競V 饭.

答案：D

4.已知心b 、c. d 都是正实数，且彳＜]贝lj （）

班级 姓名 考号 日期 得分 括号内・） 1. ", 6 c 为互不相等的正数，且以+心=2加，则下列关系中可能成立的是（） A ・ a>b>c B.b>c>a C ・ b>a>c D.a>c>b 解析：由 a 2+c 2>^ic^2bc>2iic^b>a 9 可排除 A 、D,令 a=29 c=l,可得 Z?=|,

可知C 可能成立.

答案:c 2.若实数x, y, z 满足戏+尸+以=1,则小+*+旷的取值范围是（） A. [-1J] c. [-1, |] D ・[-g |]

解析：弓三+匕搭=/+尸+?2=1, 又 T 2 (xy +yz+zx)=(x+y+z)2—(x 2+y 2+z 2

) 0 —1 = —1, •••xy+yz+bM -g 故选择 B. 答案：B 3•用反证法证明“如果a ＞b. 那么茁〉饭”，假设内容应是（）

輪祐+ 曲一 be 瞬协：

5 b+d~b （b+dy // c

又T"、by c> 〃都是正实数，且牙V 》

答案：B

6. 若不等式/+«+4豪0对一切皿（0.1]恒成立，则“的取值范围为（）

A. [0, +8）

B ・[—4, +8）

C ・[一5, +8）

D ・[-4,4]

解析：原不等式可转化为 心一匕宁=一6+£）在区间（0,1]上恒成立.即将问题转化为

H+4

求函数.心）=一一在区间（0川上的最大值问题.

*.*函数yu ）=—（x+g ）在（o, i ]上为增函数，

••・.几1）岸位=/（1）=一5,・・.“2—5,故选C.

答案：C

点评：本题考查了不等式恒成立问题的转化与处理及分离变量法解不等式参数问题.若 用通法求函数不等式一边的最值，不仅需要分类讨论，而且解题过程中出现的可能性错误也 非常多，因而审題时也要注意解题方案与策略的选择.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.）

7. 设“=2—逅，b=£_2, c=5-2逅，则“，b, c 之间的大小关系是 ____________________ . 解析："VO, b>0, c>0,

i=W_2=屛，。=5_2审

1+ 5

.ud —bc •/?(/?+

"+e c ud —bc

又 ^h+d~d =(b+d)cl <()9

•"+c ,c •:屁V 》 故选A ・

答案:A 5.设 Q 0, b>0,且 “+bW4,则有(

) A •詔 B ・++抽

解析: 因为 a±h 丁

2右，所以夕+扣 a +b Ml •应选B ・

•.•逅>羊，2>1,・•.训+2>1+彳西>0,

■ . 1

11 11 <7 ■ 1 7十2 ]+訴 答案：c>b>a

8. ____________________________________________________ 若 a 、b 、c>0t 贝lj a+b~c 9 a~b+ct h+c —a 中至少有 ____________________________________ 个为正值.

解析：假设 u+b_c, "―b+c, h-i-c —a 中有一个为正，不妨令"+〃一eWO, "―b+cWO, b+e —">0.

•••“WO,与">0矛盾，假设不成立.

答案:2

9. 设 m>\, P =i \[ni —y/m — 1 ♦ Q=pm + l —y[^,则 P 与 Q 大小关系为 __________ 答案：P>Q

10. （2019.潍坊模拟）给出下列四个命题：

② 若a>b>0,则"一扌；

③ 若（i>b>0,则吕g >号；

2

④ 若a>0. /?>0,且2n+b=l ・贝£ +万的最小值为9・

其中正确命题的序号是 ______ ・（把你认为正确命题的序号都填上）

解析:①中由a>b>Q t 可得十<|,故①错误：

② 中由a>b>09可得+ <£,

~ >_+，・•‘_» >b_舟,故②正确:

③ 中由 /?>0, /.tr>Z?2>0, a 2

+2xib >/?24-2ab f 即 u(u+2b) >b(b + 2a),即彳 > 2a±b

u+2b

④ 中，解法一：由 0, b>09 且 2

"a 卞b sin'G 十cos?&

即 h

①若a>b>0.

1- l-b±2a a + 2b 9

=4csc2&+sec2&=4+4cot2&+1 +tan 2^

=54- 4cot 2^+tan 2^ 25+2-\/4cot 2^ tan 2^=9

2 1 +牙的最小值为9,故④正确.

解法二:! +1弋+如“)

=4+半 + 空 +3 + 2、唇=9 b a b ci

2 1 故7 +牙的最小值为9,故④正确.

答案：②④

三、解答题：（本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步 证明：证法一：（放缩法）

对任意圧N ：都有:

I 2 2 ___

矿时<#+洁 T 偌尸），

••・1+下+击+…+±<2+2（返- 1）+2（羽-曲+…+2（&-扳—）=2如 证法二:（构造法） 设加）=2&一 （1+击+*+•••+制 ^+1）-^） = 2（^/1+1-^）-^==^=[2 伙

+1） - 2^ 心+1） -1]=玄吕[伙+1）

-2y/k （k+l ）+k]

=（^^）2>0,・如1）冰）.

因此，对任意 /?GN\ 都有 -1 ）>—>/（ 1）= 1>0,

•••1+下+请+7养2五

12. 设心k c, d 是正数，求证：下列三个不等式

a+h

(a +b)(c+d) < ah+cd®

(a+b)cd< ab(c+d)@

中至少有一个不正确.

,那么对任意都有:

11・证明不等式1 GN 4).