简单的三角恒等变换 课件

7．如图，某一公司位于两条平行的大道之间 A处，且到两道的距离分别为h1、h2，今 公司想在两道上分别设置一个产品销售 点B和C，使AB⊥AC，试问如何设置使 △ ABC的面积最小？此时最小值为多少？
解：设∠ABD＝α，则∠CAE＝α，AB＝sihn2α， AC＝coshα1 ， ∴S△ ABC＝12AB·AC＝shin1h22α.∵0＜α＜π2， ∴当2α＝π2，即α＝π4时，S△ ABC的最小值为h1h2.
(2)令2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，
得kπ－π8≤x≤kπ＋38π且x≠kπ，
所以单调递增区间为[kπ－
π 8
，kπ)，k∈Z，(kπ，kπ＋
3π 8
]，
k∈Z.
[例4] (12分)如图，ABCD是一块边长为 100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的 扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在 平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方形的 边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
所以S矩形PQCR＝PQ·PR
＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)
＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ
(4分) (7分)
令t＝sin θ＋cos θ(1≤t≤ 2)，则sin θcos θ＝t2－2 1，
所以S矩形PQCR＝10
000－9
000t＋8
t2－1 100· 2
(8分)
＝8 1200(t－190)2＋
(10分)
故当t＝190时，S矩形PQCR有最小值950 m2；
当t＝ 2时，S矩形PQCR有最大值(14 050－9 000 2)m2. (12分)
[一点通] 解决此类问题的关键是构建函数模型， 首先应选准角作为变量，其次要确定角的范围，利用三 角恒等变换求解．
三角恒等变换需要注意的思想方法： (1)常值代换． 用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些 常数，使之被代换后能运用相关公式，让化简得以顺利进行．我 们把这种代换称之为常值代换．
(2)切化弦． 当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切时，利用同角 的基本三角函数关系式tan α＝csions αα将正切化为正弦和余弦，这就 是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名 称，转化为正弦、余弦的恒等变换．
(3)降幂与升幂．由 C2α 变形后得到 sin2α＝12(1－cos 2α)，cos2α ＝12(1＋cos 2α)，运用它就是降幂．
反过来，直接运用倍角公式或变形公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1
－cos 2α＝2sin2α，就是升幂．
(4)角的变换．角的变换沟通了已知角与未知角之间的联 系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：
(2)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)由sin x≠0得，x≠kπ，k∈Z，
所以定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
f(x)＝（sin
x－cos x）2sin sin x
xcos
x＝2sin
xcos
x－2cos2x
＝sin 2x－cos 2x－1＝ 2sin(2x－π4)－1
所以最小正周期T＝22π＝π.
cos α2＝± sin α2＝± tan α2＝±
1＋cos 2
α；
1－cos 2
α；
1－cos 1＋cos
αα＝1－sicnoαs
α＝1＋sincoαs
α.
1．已知π2<θ<34π，且sin 2θ＝－45，则tan θ等于( )
A．2
B．－12
C．－2或－12
D．－2
解析：∵π2<θ<34π，∴π<2θ<32π， ∴cos 2θ＝－ 1－sin22θ＝－35. ∴tan θ＝1＋sinco2sθ2θ＝1－－4535＝－2.
3． θ.
解：原式＝22csions22θ2θ2＋＋22ssiinn
θ 2cos θ 2cos
θ 2 θ 2
2sin ＝
2cos
θ2（sin θ2（cos
θ2＋cos θ2＋sin
θ2） θ2）
＝tan
θ 2
4．化简：scions
7°＋cos 7°－sin
[思路点拨] 可设∠PAB＝θ，并用θ表示PR，PQ， 建立面积的函数关系式，再求其最大值、最小值．
[精解详析] 如图连接AP，设∠PAB＝
θ(0≤θ≤π2)，延长RP交AB于M，则AM＝90cos θ，
MP＝90sin θ
(2分)
所以PQ＝MB＝100－90cos θ，
PR＝MR－MP＝100－90sin θ.
答案：D
2．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan
θ 2.
解：法一：∵180°<θ<270°，
∴90°<θ2<135°，
即θ2是第二象限的角，∴tan θ2＜0.
∴tan θ2＝－
1－cos 1＋cos
θ＝－ θ
11＋－（（－－3535） ）＝－2.
法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，
15°cos 15°cos
88°°＝tan
15°
＝tan (60°－45°)＝1t＋anta6n0°6－0°ttaann4455°°
＝1＋3－31＝2－ 3.
[例3] (2011·北京高考)(12分)已知函数f(x)＝4cos xsin(x＋π6)－1. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．
[例1] 已知sin α＝－187，且π＜α＜32π，求sin α2，cos α2，
tan α2的值．
[思路点拨]
利用平方关系求出cos
α，根据α与
α 2
之间的关
系求解．
[精解详析] ∵sin α＝－187，π＜α＜32π， ∴cos α＝－1157. ∵cos2α＝1－2sin2α2＝2cos2α2－1， 又π2＜α2＜34π，
[思路点拨]
把sin(x＋
π 6
)按两角和的正弦展开，利用公式化
成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后研究它的性质．
[精解详析] (1)因为f(x)＝4cos xsin(x＋π6)－1
＝4cos
x
(
3 2 sin
x＋12cos
x)－1
＝ 3sin 2x＋2cos2x－1
＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋π6)，
∴sin α2＝
1－cos 2
α＝
cos α2＝－
1＋cos 2
α＝－
α tan α2＝sin 2α＝－4.
cos 2
1＋21157＝4 1717， 1－21157＝－ 1177，
[一点通] 在公式cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α中，用α2代
替α就会得到以下公式(半角的正弦、余弦、正切公式)：
15°sin 15°sin
8° 8°.
解：原式＝scinos（（1155°°－－88°°））－＋scions1155°°ssiinn88°°
＝sin cos
15°cos 15°cos
8°－cos 8°＋sin
15°sin 15°sin
8°＋cos 8°－sin
15°sin 15°sin
8° 8°
＝csions
（sin α2－cos α2）2 2（sin α2－cos 2α）
sin ＝－
α2＋cos
α 2＋sin
α2－cos
α 2
2
2
＝－ 2cos α2.
[一点通] (1)对于三角函数式的化简有下面的要求： ①能求出值的应求出值．②使三角函数种数尽量少．③使三角 函数式中的项数尽量少．④尽量使分母不含有三角函数．⑤尽量使 被开方数不含三角函数． (2)化简的方法： ①弦切互化，异名化同名，异角化同角．②降幂或升幂．
α 2
的范围开方进行化简．
[精解详析] 原式＝
（sin 2|cos
2αα2＋|－cos2|sα2in）2α2|＋
（sin 2|cos
2α2α－|＋cos2|sα2in）2α2|，
∵π<α<32π，
∴π2<α2<34π，
∴cos
α2<0，sin
α 2>0.
∴原式＝－（2s（ins2iαn＋α2c＋oscoα2s）α22）＋
∴sin θ＝－ 1－cos2θ＝－ 1－295＝－45. ∴tan θ2＝1－sincoθs θ＝1－（－－45 35）＝－2.
[例2] 已知π<α<32π，化简：
1＋sin 1＋cos α－
α 1－cos
＋ α
1－sin α 1＋cos α＋ 1－cos α .
[思路点拨]
先把被开方数利用倍角公式“升幂”，再由
(2)由(1)知，当2x＋
π 4
＝2kπ＋
π 2
，即x＝kπ＋
π 8
(k∈Z)时，f(x)的
最大值为 2 －1，因此函数f(x)取最大值时x的集合为{x|x＝kπ
＋π8，k∈Z}．
6．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝（sin
x－cos x）sin sin x
2x .
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]， α＝12[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α 等．
所以f(x) 的最小正周期为π.
(2)因为－π6≤x≤π4， 所以－π6≤2x＋π6≤23π. 于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2； 当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.
[一点通] 解答此类综合题的关键是利用三角函数的诱导 公式以及和、差、倍角、半角公式和辅助角公式asin x＋bcos x ＝ a2＋b2 sin(x＋φ)，将三角函数式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，然后借助于三角函数的图像及性质去研究f(x)的相应 性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公 式，导致化简失误．
5．已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合．
解：(1)因为函数f(x)＝sin 2x－2sin2x ＝sin 2x－(1－cos 2x) ＝ 2sin(2x＋π4)－1， 所以函数的最小正周期为T＝22π＝π.