初等数论 不定方程

例3 求方程 的一个特殊解。

741x y +=解：用7、4进行辗转相除法7413÷= 4311÷= 3741⇔=-⨯1431

⇔=-⨯14(741)1,=--⨯⨯所以，7(1)42 1.⨯-+⨯=即001; 2.

x y =-=从而，

人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？科学家们想尽了各种方法，比如通过卫星发射向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐等。而我国数学家华罗庚曾经建议，要探知其他星球上有没有“人”，我们可以发射类似下面的图形，如果他们是“文明人”，必定认识这种“语言”.那这个图形的到底有什么秘密呢？

我是地球人,I am a man on the earth…﹌﹋

▼ ♀ ♂

﹠★◎

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毕达哥拉斯,(公元前572-前492年) ,古希腊著名的数学家、哲学家、天文学家。

毕达哥拉斯

相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，从朋友家的地板中发现了这个秘密.

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29

A B

C

S A +S B =S C

2

22c a a =+ 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

毕达哥拉斯定理：

“勾股定理”在国外，尤其在西方

被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理

”．

相传这个定理是公元前500多年时

古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的

。他发现勾股定理后高兴异常，命令

他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟

大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛

定理”．　

毕达哥拉斯

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31赵爽

弦图•赵爽:东汉末至三国时代吴国人.

•为《周髀算经》作注，并著有

《勾股圆方图》。这是我国对

勾股定理最早的证明。

“赵爽弦图”表现了我

国古人对数学的钻研精神

和聪明才智，它是我国古

代数学的骄傲。 正因为如此，这个图案被选为2002年在北京召开的

国际数学家大会的会徽。

c

b

a

=

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这就是本届大会会徽的图案．

这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．

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•1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。

•1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。

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37二、二次不定方程 解的形式

为简单起见，我们先求方程〔1〕满足下述条件(2)的解

0,0,0,(,,)1(2)

x y z x y z >>>=注：〔2〕中的条件 (,,)1x y z =可以改写为(,) 1.x y =定理1：(,,)(1)(2)x y z 若是方程满足条件的解，则有

(1),x y 有不同的奇偶性；

(2),3x y 中有且仅有一个能被整除；

(3),,5x y z 中有且仅有一个能被整除.

3,4,5;5,12,13;8,15,17;7,24,25.

例如：