向量代数与空间解析几何.PPT
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微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第七章
向量代数与空间解析几何
6
空间曲线在坐标面上的投影
H( x, y) = 0 , z = 0
R( y, z) = 0 , x = 0
T( x, z) = 0 . y = 0
(4) 平面及其方程
平面的方程 一般方程 一般方程. 截距式方程 截距式方程.
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第七章
向量代数与空间解析几何
23
分别为△ 各边的中点, 例 8 设 D, E, F 分别为△ ABC 各边的中点 AD, BE, CF 为各边的中线 这三条中线交于 求证 为各边的中线, 这三条中线交于G, 求证:
CG = 2GF . 1 证明 Q CF = (CA + CB ), 2 E CG = λ CF =
π 的面积最大. ∴当 sin 2θ = 1 , 即 θ = 时, △ADB 的面积最大 4
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第七章
向量代数与空间解析几何
21
r r r r r r r |a|b +|b|a r 和 a与 b的夹角平 例 7 证明向量 c = r |a|+|b| 分线向量共线. r 分线向量共线 b rr 由平面几何知识可知, 证明 由平面几何知识可知 eb r r r 向量 a与 b的夹角平分线向量 d 就 r r r r r a r ea r与 b的单位向量 是 a的单位向量 ea rr eb 的和 的和, r r r r r r r r r a b |a|b +|b|a r + er = r + r = ∴d = ea b r r |a| |b| | a || b |
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第七章
向量代数与空间解析几何
10
r r r r r r r r r 例 1 已知向量 a = i , b = j − 2k , c = 2i − 2 j + k , r r r r r r a b 共面. 求一单位向量 θ , 使 θ ⊥ c , 且 θ 、 、 共面 r 解 设 θ = ( x , y , z ), 则由题设得 r | θ | = 1 r r θ ⊥ c . r r r θ ⊥ a × b r r r i j k r r r r Qa × b = 1 0 0 = 2 j + k,
0 1 −2
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第七章
向量代数与空间解析几何
11
x2 + y2 + z2 = 1 ∴ 2 x − 2 y + z = 0 , 2 y + z = 0 2 1 2 解得 x = ± , y = ± , z = m , 3 3 3 r 2 2 2 ∴θ = ± ( , ,− ). 3 3 3
第七章
向量代数与空间解析几何
1
【向量代数与空间解析几何】习题课 向量代数与空间解析几何】
一、主要内容
二、典型例题分析
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第七章
向量代数与空间解析几何
2
一、主要内容
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第七章
向量代数与空间解析几何
3
1、向量代数 、
(1) 向量的概念 向量 向量的模 单位向量 零向量 自由向量 相等 向径. 向量 负向量 平行向量 向径 (2) 向量的线性运算 数乘. 加减法 数乘 (3) 向量的表示法 向量的分解式 在三个坐标轴上的分向量
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第七章
向量代数与空间解析几何
22
r r r r r r r r |a|+|b | |a|b +|b|a |a|+|b | r r = r r ⋅ r = r r c. | a || b | |a|+|b| | a || b | r r |a|+|b | Q r r 表示一个数 表示一个数, | a || b | r r 共线, ∴向量 c与 d 共线 r r r 的夹角平分线向量共线. 即向量 c和 a与 b的夹角平分线向量共线
第七章Leabharlann Baidu
向量代数与空间解析几何
19
r π r 例 6 已知向量 AB = a , AC = b , ∠ADB = , 2 r r r r
| a ⋅ b || a × b | r 2 (1) 求证 S ∆ADB = ; 2|b | r r (2) 当 a 与 b 的夹角 为何值时△ADB 的面积最大 的夹角θ 为何值时△ 的面积最大?
第七章
向量代数与空间解析几何
5
2、空间解析几何 、
(1) 空间直角坐标系 (2) 曲面 二次曲面. 旋转曲面 柱面 二次曲面 (3) 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程、 空间曲线的一般方程、参数方程
x = x(t ) y = y(t ); z = z(t )
F( x, y, z) = 0 , G( x, y, z) = 0
解 (1) S ∆ADB
1 = | AD || BD | 2 1 r r = | a | cos θ ⋅ | a | sin θ 2
1 r 2 = | a | sin θ cos θ . 2
A
B
θ
D C
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第七章
向量代数与空间解析几何
20
r r r r r r r r Q| a ⋅ b | = | a || b | cos θ , | a × b | = | a || b | sin θ , r r r r |a⋅b | |a×b | ∴ cos θ = r r , sin θ = r r , | a || b | | a || b | r r r r r r r r 1 r 2 | a ⋅ b | | a × b | | a ⋅ b || a × b | ∴ S ∆ADB = | a | ⋅ r r ⋅ r r = r 2 . 2 | a || b | | a || b | 2|b | 1 r 2 1 r 2 (2) Q S ∆ADB = | a | sin θ cos θ = | a | sin 2θ , 4 2
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第七章
向量代数与空间解析几何
12
r r 的夹角. a 与 b 的夹角
r r r r r r r r 例 2 设 (a + 3b) ⊥ (7a − 5b), (a − 4b) ⊥ (7a − 2b) , 求
r r r r r r r r 解 Q(a + 3b) ⊥ (7a − 5b), (a − 4b) ⊥ (7a − 2b), r r r r r r r r ∴(a + 3b) ⋅ (7a − 5b) = 0, (a − 4b) ⋅ (7a − 2b) = 0, r 2 r 2 r r 即 7 | a | +16a ⋅ b − 15 | b | = 0, r 2 r 2 r r 7 | a | −30a ⋅ b + 8 | b | = 0. r 2 r r 两式相减, 两式相减 得 46a ⋅ b = 23 | b | , r r 1 r 2 ∴a ⋅b = | b | . 2
r r r 由两向量平行的条件, 由两向量平行的条件 得 v = t (a × b ). r r r i j k r r r r r 而 a × b = 2 − 3 1 = −7 i − 5 j − k ,
1 −2 3 r r r = ( −7t ,−5t ,− t ), ∴ v = t (a × b )
向量代数与空间解析几何
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二、典型例题分析
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第七章
向量代数与空间解析几何
9
题型 1 向量的运算
(1) 利用向量的运算求其他向量 (如例 1 ~ 3); 利用向量的运算求其他 的运算求其他向量 如例 (2 ) 利用向量的运算求极限 (如例 4); 利用向量的运算求极限 如例 (3 ) 利用向量的运算解答几何问题 (如例 5 ~ 8). 利用向量的运算解答几何问题 如例
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第七章
向量代数与空间解析几何
16
r r r r | a + xb | − | a − xb | r (| a | ≠ 0) . 例 4 求极限 lim x→0 x r r r2 r2 r r r r | a + xb | − | a − xb | | a + xb | − | a − xb | 解 lim r r = lim r r x→0 x→0 x(| a + xb | + | a − xb |) x r r r r r r r r (a + xb) ⋅ (a + xb) − (a − xb) ⋅ (a − xb) r r = lim r r x→0 x(| a + xb | + | a − xb |) r r 4xa ⋅ b r r = lim r r x→0 x(| a + xb | + | a − xb |) r r 2a ⋅ b = r . |a|
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第七章
向量代数与空间解析几何
14
r r r 例 3 已知向量 a = (2,−3,1), b = (1,−2,3), c = (2,1,2) , r r r r 求与 a , b 同时垂直且在 c 上的投影为 1 的向量 v. r r r 解 Q v 同时垂直于 a , b ,
r r r ∴ v // a × b .
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第七章
向量代数与空间解析几何
13
r r 代入上式, 代入上式 得 | a | = | b |,
1 r 2 r r ∧r |b | a⋅b r r = 2r r = 1 , ∴ cos(a , b ) = r | a || b | | b || b | 2 π r∧ r 从而 (a , b ) = . 3
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第七章
向量代数与空间解析几何
4
向量的坐标表示式 向量的坐标 向量的模与方向余弦 的坐标表示式. 的坐标表示式 (4) 数量积、向量积、混合积 数量积、向量积、 数量积、向量积、 数量积、向量积、混合积的坐标表示式 两向量平行、垂直的条件 两向量平行、垂直的条件.
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C
λ
D G F B
2
(CA + CB ),
A
GA = µ DA 1 = µ ( − CB + CA), 2
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第七章
向量代数与空间解析几何
24
1 CA = CG + GA = (CA + CB ) + µ ( − CB + CA) 2 2 r λ λ µ ∴ ( + µ )CA + ( − )CB = 0. 2 2 2 不共线, ∵ CA 与 CB 不共线
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第七章
向量代数与空间解析几何
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π r∧ r r r 例 5 设向量 | p | = 2, | q | = 3, ( p, q ) = , 求以向量 3 r r r r r r a = 2 p − q , b = p + 3q 为邻边的平行四边形的对角线的
长. 解 由向量加减法的平行四边形法则 平行四边形 由向量加减法的平行四边形法则, r r r r 的对角线向量为 a + b 与 a − b , r r r r ∴所求对角线的长为 | a + b | 与 | a − b | , r r r r r r r r ∴| a + b | = | (2 p − q) + ( p + 3q) | = | 3 p + 2q | r r r r = (3 p + 2q) ⋅ (3 p + 2q) r 2 r r r2 = 9 | p | +12 p ⋅ q + 4 | q |
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第七章
向量代数与空间解析几何
15
r r v ⋅ c = −14t − 5t − 2t = −21t . r r r v ⋅c rv = Q Pr jc r = 1, |c |
2 2 + 12 + 2 2 1 解得 t = − , 7 ∴ − 21t = 1,
5 1 r ∴所求向量为 v = (1, , ). 7 7
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第七章
2
向量代数与空间解析几何
18
π = 9× 2 + 12× 2× 3cos + 4× 32 = 6 3, 3 r 2 r r r2 r r r r 同理 | a − b | = | p − 4q | = | p | +8 p ⋅ q + 16 | q | = 2 31.
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点法式方程. 点法式方程
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第七章
向量代数与空间解析几何
7
(5) 空间直线及其方程
空间直线的方程
对称式方程. 对称式方程 参数方程 参数方程.
一般方程. 一般方程
线面关系 线线关系 夹角 点到线面的距离 两直 线共面的条件. 线共面的条件
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第七章
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向量代数与空间解析几何
6
空间曲线在坐标面上的投影
H( x, y) = 0 , z = 0
R( y, z) = 0 , x = 0
T( x, z) = 0 . y = 0
(4) 平面及其方程
平面的方程 一般方程 一般方程. 截距式方程 截距式方程.
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23
分别为△ 各边的中点, 例 8 设 D, E, F 分别为△ ABC 各边的中点 AD, BE, CF 为各边的中线 这三条中线交于 求证 为各边的中线, 这三条中线交于G, 求证:
CG = 2GF . 1 证明 Q CF = (CA + CB ), 2 E CG = λ CF =
π 的面积最大. ∴当 sin 2θ = 1 , 即 θ = 时, △ADB 的面积最大 4
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r r r r r r r |a|b +|b|a r 和 a与 b的夹角平 例 7 证明向量 c = r |a|+|b| 分线向量共线. r 分线向量共线 b rr 由平面几何知识可知, 证明 由平面几何知识可知 eb r r r 向量 a与 b的夹角平分线向量 d 就 r r r r r a r ea r与 b的单位向量 是 a的单位向量 ea rr eb 的和 的和, r r r r r r r r r a b |a|b +|b|a r + er = r + r = ∴d = ea b r r |a| |b| | a || b |
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10
r r r r r r r r r 例 1 已知向量 a = i , b = j − 2k , c = 2i − 2 j + k , r r r r r r a b 共面. 求一单位向量 θ , 使 θ ⊥ c , 且 θ 、 、 共面 r 解 设 θ = ( x , y , z ), 则由题设得 r | θ | = 1 r r θ ⊥ c . r r r θ ⊥ a × b r r r i j k r r r r Qa × b = 1 0 0 = 2 j + k,
0 1 −2
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x2 + y2 + z2 = 1 ∴ 2 x − 2 y + z = 0 , 2 y + z = 0 2 1 2 解得 x = ± , y = ± , z = m , 3 3 3 r 2 2 2 ∴θ = ± ( , ,− ). 3 3 3
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向量代数与空间解析几何
1
【向量代数与空间解析几何】习题课 向量代数与空间解析几何】
一、主要内容
二、典型例题分析
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向量代数与空间解析几何
2
一、主要内容
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第七章
向量代数与空间解析几何
3
1、向量代数 、
(1) 向量的概念 向量 向量的模 单位向量 零向量 自由向量 相等 向径. 向量 负向量 平行向量 向径 (2) 向量的线性运算 数乘. 加减法 数乘 (3) 向量的表示法 向量的分解式 在三个坐标轴上的分向量
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22
r r r r r r r r |a|+|b | |a|b +|b|a |a|+|b | r r = r r ⋅ r = r r c. | a || b | |a|+|b| | a || b | r r |a|+|b | Q r r 表示一个数 表示一个数, | a || b | r r 共线, ∴向量 c与 d 共线 r r r 的夹角平分线向量共线. 即向量 c和 a与 b的夹角平分线向量共线
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19
r π r 例 6 已知向量 AB = a , AC = b , ∠ADB = , 2 r r r r
| a ⋅ b || a × b | r 2 (1) 求证 S ∆ADB = ; 2|b | r r (2) 当 a 与 b 的夹角 为何值时△ADB 的面积最大 的夹角θ 为何值时△ 的面积最大?
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5
2、空间解析几何 、
(1) 空间直角坐标系 (2) 曲面 二次曲面. 旋转曲面 柱面 二次曲面 (3) 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程、 空间曲线的一般方程、参数方程
x = x(t ) y = y(t ); z = z(t )
F( x, y, z) = 0 , G( x, y, z) = 0
解 (1) S ∆ADB
1 = | AD || BD | 2 1 r r = | a | cos θ ⋅ | a | sin θ 2
1 r 2 = | a | sin θ cos θ . 2
A
B
θ
D C
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20
r r r r r r r r Q| a ⋅ b | = | a || b | cos θ , | a × b | = | a || b | sin θ , r r r r |a⋅b | |a×b | ∴ cos θ = r r , sin θ = r r , | a || b | | a || b | r r r r r r r r 1 r 2 | a ⋅ b | | a × b | | a ⋅ b || a × b | ∴ S ∆ADB = | a | ⋅ r r ⋅ r r = r 2 . 2 | a || b | | a || b | 2|b | 1 r 2 1 r 2 (2) Q S ∆ADB = | a | sin θ cos θ = | a | sin 2θ , 4 2
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12
r r 的夹角. a 与 b 的夹角
r r r r r r r r 例 2 设 (a + 3b) ⊥ (7a − 5b), (a − 4b) ⊥ (7a − 2b) , 求
r r r r r r r r 解 Q(a + 3b) ⊥ (7a − 5b), (a − 4b) ⊥ (7a − 2b), r r r r r r r r ∴(a + 3b) ⋅ (7a − 5b) = 0, (a − 4b) ⋅ (7a − 2b) = 0, r 2 r 2 r r 即 7 | a | +16a ⋅ b − 15 | b | = 0, r 2 r 2 r r 7 | a | −30a ⋅ b + 8 | b | = 0. r 2 r r 两式相减, 两式相减 得 46a ⋅ b = 23 | b | , r r 1 r 2 ∴a ⋅b = | b | . 2
r r r 由两向量平行的条件, 由两向量平行的条件 得 v = t (a × b ). r r r i j k r r r r r 而 a × b = 2 − 3 1 = −7 i − 5 j − k ,
1 −2 3 r r r = ( −7t ,−5t ,− t ), ∴ v = t (a × b )
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二、典型例题分析
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题型 1 向量的运算
(1) 利用向量的运算求其他向量 (如例 1 ~ 3); 利用向量的运算求其他 的运算求其他向量 如例 (2 ) 利用向量的运算求极限 (如例 4); 利用向量的运算求极限 如例 (3 ) 利用向量的运算解答几何问题 (如例 5 ~ 8). 利用向量的运算解答几何问题 如例
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r r r r | a + xb | − | a − xb | r (| a | ≠ 0) . 例 4 求极限 lim x→0 x r r r2 r2 r r r r | a + xb | − | a − xb | | a + xb | − | a − xb | 解 lim r r = lim r r x→0 x→0 x(| a + xb | + | a − xb |) x r r r r r r r r (a + xb) ⋅ (a + xb) − (a − xb) ⋅ (a − xb) r r = lim r r x→0 x(| a + xb | + | a − xb |) r r 4xa ⋅ b r r = lim r r x→0 x(| a + xb | + | a − xb |) r r 2a ⋅ b = r . |a|
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14
r r r 例 3 已知向量 a = (2,−3,1), b = (1,−2,3), c = (2,1,2) , r r r r 求与 a , b 同时垂直且在 c 上的投影为 1 的向量 v. r r r 解 Q v 同时垂直于 a , b ,
r r r ∴ v // a × b .
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13
r r 代入上式, 代入上式 得 | a | = | b |,
1 r 2 r r ∧r |b | a⋅b r r = 2r r = 1 , ∴ cos(a , b ) = r | a || b | | b || b | 2 π r∧ r 从而 (a , b ) = . 3
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向量的坐标表示式 向量的坐标 向量的模与方向余弦 的坐标表示式. 的坐标表示式 (4) 数量积、向量积、混合积 数量积、向量积、 数量积、向量积、 数量积、向量积、混合积的坐标表示式 两向量平行、垂直的条件 两向量平行、垂直的条件.
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λ
D G F B
2
(CA + CB ),
A
GA = µ DA 1 = µ ( − CB + CA), 2
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1 CA = CG + GA = (CA + CB ) + µ ( − CB + CA) 2 2 r λ λ µ ∴ ( + µ )CA + ( − )CB = 0. 2 2 2 不共线, ∵ CA 与 CB 不共线
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π r∧ r r r 例 5 设向量 | p | = 2, | q | = 3, ( p, q ) = , 求以向量 3 r r r r r r a = 2 p − q , b = p + 3q 为邻边的平行四边形的对角线的
长. 解 由向量加减法的平行四边形法则 平行四边形 由向量加减法的平行四边形法则, r r r r 的对角线向量为 a + b 与 a − b , r r r r ∴所求对角线的长为 | a + b | 与 | a − b | , r r r r r r r r ∴| a + b | = | (2 p − q) + ( p + 3q) | = | 3 p + 2q | r r r r = (3 p + 2q) ⋅ (3 p + 2q) r 2 r r r2 = 9 | p | +12 p ⋅ q + 4 | q |
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15
r r v ⋅ c = −14t − 5t − 2t = −21t . r r r v ⋅c rv = Q Pr jc r = 1, |c |
2 2 + 12 + 2 2 1 解得 t = − , 7 ∴ − 21t = 1,
5 1 r ∴所求向量为 v = (1, , ). 7 7
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18
π = 9× 2 + 12× 2× 3cos + 4× 32 = 6 3, 3 r 2 r r r2 r r r r 同理 | a − b | = | p − 4q | = | p | +8 p ⋅ q + 16 | q | = 2 31.
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点法式方程. 点法式方程
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7
(5) 空间直线及其方程
空间直线的方程
对称式方程. 对称式方程 参数方程 参数方程.
一般方程. 一般方程
线面关系 线线关系 夹角 点到线面的距离 两直 线共面的条件. 线共面的条件
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