知识讲解 物理学中微元法的应用(2)

物理学中微元法的应用

编稿：李传安 审稿：张金虎

【高考展望】

随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。 【知识升华】

“微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。

【方法点拨】

应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。 【典型例题】

类型一、微元法在运动学、动力学中的应用

例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物

体的位移与时间的关系式为2

012

x v t at =+

，试推导。 【思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元，t ∆极短，写出v t -图像下微元的面积的表

达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移。

【解析】作物体的v t -图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间t ∆极短，速度可以看成是不变的，设第i 段的速度为i v ，则在t ∆时间内第i 段的位移为i i x v t =∆，物体在t 时间内的位移为i i x x v t =∑=∑∆，在v t -图像上则为若干个微小矩形面积之和。

当把运动分得非常非常细，若干个矩形合在一起就成了梯形OAPQ ，如图丙所示。图线与轴所夹的面积，表示在时间t 内物体做匀变速直线运动的位移。

面积12S S S =+，又0P v v at =+，所以2012

x v t at =+

【总结升华】这是我们最早接触的微元法的应用。总结应用微元法的一般步骤：（1）选取微元，时间t ∆极短，认为速度不变，“化变为恒”，（2）写出所求量的微元表达式，微元段的意义是位移，写出位移表达式i i x v t =∆，（3）对所求物理量求和，即对微元段的位移求和， i i x x v t =∑=∑∆。

举一反三

【变式1】加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面的夹角为θ，则火车加速行驶的加速度大小为（ ）

A.cos g θ

B. tan g θ

C.

cos g θ D. tan g

θ

【答案】B

【解析】如图所示，取水面上质量为m ∆的水元为研究对象，其受力如图所示，

应用正交分解或平行四边形定则，可求得质量为m ∆的水元受到的合力为

=tan F mg θ∆合，根据牛顿第二定律可知

=F ma ∆合， 则tan a g θ=，方向与启动方向相同。

【变式2】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳子与 水平方向成θ角时，求物体A 的速度。 【答案】0

cos A v v θ

=

【解析】设物体A 在θ角位置t ∆时间向左行驶x ∆距离，滑轮右侧绳长缩短L ∆，如图，

当绳水平方向的角度变化很小时，有cos L x θ∆=∆，两边同除以t ∆得

c o s L x t t

θ∆∆=∆∆，当这一小段时间趋于零时，收绳的平均速率就等于瞬时速率 即收绳速率0cos A v v θ= 所以物体A 的速率为0

cos A v v θ

=

. 类型二、微元法在功和能中的应用

例2、(2015 北京卷) 真空中放置的平行金属板可以用作光电转换装置，如图所示。光照前两板都不带电。以光照射A 板，则板中的电子可能吸收光的能量而逸出。假设所有逸出的电子都垂直于A 板向B 板运动，忽略电子之间的相互作用。保持光照条件不变。a 和b 为接线柱。

已知单位时间内从A 板逸出的电子数为N ，电子逸出时的最大动能为E km 。元电荷为e 。 (1)求A 板和B 板之间的最大电势差U m ，以及将a 、b 短接时回路中的电流I 短。 (2)图示装置可看作直流电源，求其电动势E 和内阻r 。

(3)在a 和b 之间连接一个外电阻时，该电阻两端的电压为U 。外电阻上消耗的电功率设为P ；单位时间内到达B 板的电子，在从A 板运动到B 板的过程中损失的动能之和设为ΔE k 。

请推导证明:P =ΔE k 。

(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明)

【答案】(1)

km E e Ne (2) km E e km

2

E Ne (3)外电阻两端的电压为U ，则电源两端的电压也是U 。

【解析】(1)由动能定理，E km =eU m ，可得

km

m E U e

=

短路时所有逸出电子都到达B 板，故短路电流 I 短=Ne

(2)电源的电动势等于短路时的路端电压，即上面求出的U m ，所以 km

m E E U e

== 电源内阻 km

2

=E E r I Ne =

短 (3)外电阻两端的电压为U ，则电源两端的电压也是U 。 由动能定理，一个电子经电源内部电场后损失的动能