小波变换原理与应用

15
3.小波变换的基本原理与性质
小 波 变 换
幅度
时间
尺度
时间
16
3.小波变换的基本原理与性质
17
3.小波变换的基本原理与性质
小波变换的定义： 小波变换是一种信号的时间——尺度（时间——频 率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时 频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口 大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可 以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较 低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具 有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于 分析非平稳的信号和提取信号的局部特征，所以小波 变换被誉为分析处理信号的显微镜。在处理分析信号 时，小波变换具有对信号的自适应性，也是是一种优 于傅里叶变换和窗口傅里叶变换的信号处理方法。
连续小波变换实现过程 首先选择一个小波基函数，固定一个尺度因子，将它 与信号的初始段进行比较 ； 通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺度 下的小波与所对应的信号段的相似程度）； 改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两个 步骤完成一次分析； 增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析； 循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。
2.小波变换与傅里叶变换的比较
（1）克服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系 数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频 率指标j， 在不同时刻 k，小波系数也是不同的。 （2）克服第二个不足：由于小波函数具有紧支撑 的性质即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同 时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息。 从而克服了上面所述的第二个不足。 （3）克服第三个不足：通过与加窗傅立叶变换的 “时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的 “时间—频率窗”的笛卡儿积。小波变换的“时间--频 率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号 时变宽。这正是时间--频率分析所希望的。根据小波变 换的 “时间—频率窗” 的宽度可变的特点，为了克服 上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频 8 信息，问题就迎刃而解了。
来自百度文库
4
1.小波的发展历史——工程到数学
1988： Inrid Daubechies作为小波的创始人，揭示 了小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系， 使离散小波分析变成为现实。 Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学 家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要 贡献在信号处理领域中，自从Inrid Daubechies完善了 小波变换的数学理论和Stephane Mallat构造了小波分解 和重构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得 到了广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号 处理、图像信息处理等。

0



CWTf ( a, b) a (
t b 1 ) dtda a a2
26
3.小波变换的基本原理与性质
连续小波变换的性质 叠加性（线性） 时移不变性 尺度特性 微分特性 内积定理 能量守恒特性 冗余性
27
3.小波变换的基本原理与性质
离散小波变换DWT（ discrete wavelet transform，DWT ） 定义 对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间进行均 匀离散取值 （要求采样率满足尼奎斯特采样定理）
11
3.小波变换的基本原理与性质
平稳信号
f ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) f ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n )
E x(t ) xf ( x)dx m x R x (t1 , t 2 ) E x(t1 ) x(t 2 ) R x ( ), t 2 t1 2 E x (t )
8
-5 0 5 morlet---a=1/4
10
0
2
4
6
8
-5
0
5
10
22
3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
平移因子对小波的作用
平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析， 伸缩因子通过收缩和伸张小波，使得每次遍历分析实 现对不同频率信号的逼近
23
3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
3.小波变换的基本原理与性质
小波是什么？ 小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时 间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味 着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变 的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。
9
3.小波变换的基本原理与性质
小波的“容许”条件 用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件 的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波 变换的可逆性。
A x(t )
2
x(t ), m,n (t ) B x(t )
2 m,n
2
A, B R
x(t ) Cm,n m,n (t )
nZ
29
3.小波变换的基本原理与性质
正交小波变换与多分辨分析 多分辨分析也称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。 它构造了一组正交基，使得尺度空间与小波空间相互正交。随着 尺度由大到小的变化，可在各尺度上由粗及精地观察目标。这就 是多分辨率分析的思想。在离散小波框架下，小波系数在时间-尺 度空间域上仍然具有冗余性，在数值计算或数据压缩等方面仍然 希望这种冗余度尽可能的小。在小波变换发展过程中，Stromberg、 Meyer、Lemarie、Battle和Daubechies等先后成功的构造了不同形 式的小波基函数的基础上，是Meyer和Mallat将小波基函数的构造 纳入到了一个统一的框架中，形成了多分辨分析理论。多分辨率 分析理论不但将在那时之前的所有正交小波基的构造统一了起来， 而且为此后的小波基的构造设定了框架。
2
1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程 师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信 号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能 得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后 ，小波分析才开始蓬勃发展起来。 小波变换是近十几年新发展起来的一种数学工具, 是继一百多年前的傅里叶(Fourier)分析之后的又一个 重大突破,它对无论是古老的自然学科还是新兴的高新 应用技术学科均产生了强烈的冲击。
3
1.小波的发展历史——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提 出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小 波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和 重构算法）
DWTx (m, n) x(t ), m,n (t ) 2
j ln 2
1 2 3 4 5 6

m 2

R
x(t ) (2 m t n)dt
1 2 3 4 5 6
kTs
28
3.小波变换的基本原理与性质
离散小波变换的可逆问题——框架理论 DWT的可逆问题蕴含的是DWT的表达能够完整的表达 待分析信号的全部信息，这就需要数学上的框架理论 作为支撑了，如果对于所有的待分析信号满足框架条 件，那么DWT就是可逆的
幅度 A
0
|Y(f)|
0.3 0.2 0.1 0
-0.5 -1
0
0.5
1 时 间 t/s
1.5
2
0
10
20 30 频 率 f/Hz
40
50
13
3.小波变换的基本原理与性质
时频表示主要目的在于实现对非平稳信号的分析，同 样的可以应用于平稳信号的分析
14
3.小波变换的基本原理与性质
为什么选择小波 小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不 同于FT方法，与STFT方法比较具有更为明显的优势
6
2.小波变换与傅里叶变换的比较
傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里 程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世 纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得 到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是 傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重 要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有 物理意义。遗憾的是，这种理论具有一定的局限性。 用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全 部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率 成分的变化情况。 傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变 成分。 由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足， 7 这就导致了小波分析。
18
3.小波变换的基本原理与性质
小波变换原理
19
3.小波变换的基本原理与性质
关于小波有两种典型的概念：连续小波变换，离散小 波变换 连续小波变换定义为
* CWTf (a, b) x(t ), a,b (t ) x(t ) a ,b (t )dt R
CWTf (a, b) x(t ), a ,b (t ) x(t ) a ,b (t )dt x(t ) a (
sin(t)---a=1 1 0 -1 1 1 0 -1 -10 1 0 -1 -10 1 0 -1 -10 时间 t morlet---a=1
0
2 4 6 sin(2t)---a=1/2
8
-5 0 5 morlet---a=1/2
10
幅度 A
0 -1 1 0 -1
0
2 4 6 sin(4t)---a=1/4
( x) ( )
C
( ) d

2
小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域， 在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质， 并且完全不含有直流趋势成分，即满足
(0) ( x)dx 0


10
3.小波变换的基本原理与性质
信号的信息表示 时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、 方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度 分布（工程上常常采用其分布参数） 频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频 率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号， 需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT 时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方法， 信息为瞬时频率、瞬时能量谱 信号处理中，对不同信号要区别对待，以选择哪种或 者哪几种信号表示方法
数学中的显微镜小波
小波变换原理及其应用案例介绍
Wavelet Transform Theory and Applications Introduction
饶利强 电机与电器
1
主要内容
1. 小波的发展历史 2.小波变换与傅里叶变换的比较 3.小波变换的基本原理与性质 4.几种常用的小波简介 5.小波变换的应用领域 6.小波分析应用前景 7.小波变换的去噪应用 8.小波分析面临的主要问题
24
3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
25
3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
小波逆变换 如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换 的逆变换是存在的
1 x(t ) C
1 C

0



CWTf (a, b) a ,b (t )
1 2
1 dtda 2 a
5
2.小波变换与傅里叶变换的比较
小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的， 但小波分析与傅里叶分析存在着极大的不同，与 Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的 局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸 缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细 化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。 小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信 号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。
R R
1 2
t b )dt a
可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸 缩因子b的函数
20
3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
FT
信号
连续正弦波或余弦波
傅立叶分解过程
CWT
信号
不同尺度和平移因子的小波
小波分解过程
21
3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
伸缩因子对小波的作用


非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号
12
3.小波变换的基本原理与性质
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于 非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时 间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于 非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失 去意义
信 号 x(t)的 时 域 波 形 1 0.5 0.5 0.4 信 号 x(t)的 单 边 频 谱