2021版新高考数学：利用导数证明不等式含答案

第四节利用导数证明不等式

(对应学生用书第53页)

考点1单变量不等式的证明

单变量不等式的证明方法

(1)移项法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；

(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数；

(3)最值法：欲证f(x)＜g(x)，有时可以证明f(x)max＜g(x)min.

所以⎩⎪⎨⎪⎧ae ＝1e ，ae －b ＝1

e －1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1e2，b ＝1.

(2)证明：由(1)知f (x )＝1

e2·e x －ln x .

因为f ′(x )＝e x －2－1

x 在(0，＋∞)上单调递增，又f ′(1)＜0，f ′(2)＞0，所以f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(1，2).

当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 从而当x ＝x 0时，f (x )取极小值，也是最小值． 由f ′(x 0)＝0，得e x 0－2＝1

x0，则x 0－2＝－ln x 0. 故f (x )≥f (x 0)＝e x 0－2－ln x 0＝1

x0＋x 0－2＞21

x0·

x0－2＝0，所以f (x )＞0. 考点2 双变量不等式的证明

破解含双参不等式证明题的3个

关键点

(1)转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式．

(2)巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值．

(2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥

5－1

2.

[解](1)当a＝0时，f(x)＝ln x＋x，则f(1)＝1，所以切点为(1，1)，又因为

f′(x)＝1

x＋1，所以切线斜率k＝f′(1)＝2，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y

－1＝0.

(2)证明：当a＝－2时，f(x)＝ln x＋x2＋x(x＞0).

由f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，

得ln x1＋x21＋x1＋ln x2＋x2＋x2＋x1x2＝0，

从而(x1＋x2)2＋(x1＋x2)＝x1x2－ln (x1x2)，

令t＝x1x2(t＞0)，令φ(t)＝t－ln t，得φ′(t)＝1－1

t＝

t－1

t，

易知φ(t)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以

φ(t)≥φ(1)＝1，所以(x1＋x2)2＋(x1＋x2)≥1，因为x1＞0，x2＞0，所以x1＋x2≥

5－1

2成立．

考点3证明与正整数有关的不等式问题

函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的．