垂直与弦的直径

． 2或14
2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长．
A
3 工程项目管理规划
M． N
O
B
C
3.在⊙ O中，直径CE⊥AB于D，OD=4㎝， 弦AC= 10 ㎝ ，求⊙ O的半径.
EE
OO
AA
DD
BB
CC
3 工程项目管理规划
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦 长为8㎝,那么⊙o的半径是 5㎝
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON2 HN2 , 即OH 3.92 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
3 工程项目管理规划
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两
条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B
∴AM=BM, A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
D
3 工程项目管理规划
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备：
C
① 经过圆心
A M└
B ② 垂直于弦
3 工程项目管理规划
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ）
3 工程项目管理规划
练习:如图，CD为圆O的直径，弦AB交 CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝， CE=3㎝，求弦AB的长.
A F
EC
D
O
B
3 工程项目管理规划
提高练习:
1．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，
CD=16，则AB和CD的距离为
3 工程项目管理规划
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，
桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4
米。
C
A
·D B O
3 工程项目管理规划
练习：半径为５的圆中，有两条平行弦 AB 和CD，并且AB =６,CD=８，求AB 和CD间的距离.
C
.E
D
O
A FB (1)
A FB
C
.E D
O
(2)
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
3 工程项目管理规划
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
(1) B
3 工程项目管理规划
•O
A
B
(2) D
水面宽 AB=16 .求水深.
C
D
B
O
3 工程项目管理规划
E
D
5. 如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂 足为P，若 CP=7cm，AB=28cm ，你能求出这面 镜子的半径吗？
C
7
P
B
14
A
O
3 工程项目管理规划
求作弧AB的四等分点.
C m
F
E
A
n G
B
D
3 工程项目管理规划
圆 破镜重
●O
③ 平分弦
பைடு நூலகம்
④ 平分弦所对的优弧
D
⑤ 平分弦所对的劣弧
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他
三个结论。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。
3 工程项目管理规划
C
垂径定理及推论
A M└
B
条件 结论
●O
命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两D条弧.
做这类问题是，思考问题一定要 全面，考虑到多种情况.
3 工程项目管理规划
挑战自我
1. 如图，⊙O 与矩形 ABCD 交于 E , F ,G ,H ， AH=4, HG=6,BE=2.求EF的长.
A4H 6 G
D
M
2
BE
·N
F
C
0
3 工程项目管理规划
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱 顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形 并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
C
AC=4 ,OA= 13 .
3 工程项目管理规划
2.如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦AC=8， D是A⌒C的中点，连结CD，求CD的长.
B
O
A
E
C
D
3 工程项目管理规划
3.如图为一圆弧形拱 桥，半径OA = 10m，拱 高为4m，求拱桥跨度AB A 的长.
4.一条排水管的截面如图所示
已知排水管的半径 OB=10 ，
m
n
C
A
B
·O
作图依据：
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
3 工程项目管理规划
感谢下 载
3 工程项目管理规划
•O
A
B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 （7）平分弦的直径垂直于弦
•O ACB
(4)
3 工程项目管理规划
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 _______A_B__⊥__C_D__（__或__A_C__=_A_D__，__或__B_C_=__B_D_）_________________， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）
解:连接OC.
设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
OE CD,
C
CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
E 根据勾股定理, 得 OC 2 CF 2 OF 2 ,即
F
●
O
R 2 3002 R 902.
D 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
3 工程项目管理规划
练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
Ｃ
Ｅ
Ｏ
Ｄ
Ａ
Ｂ
3 工程项目管理规划
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面
B
B
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 理创造条件。
3 工程项目管理规划
3 工程项目管理规划
1、已知： ⊙O的半径为6厘米，弦
AB与半径OA的夹角为30°.求：弦AB的长.
2、在直径为650毫
米的圆柱形油槽内装
入一些油后，截面如
O
6O
A 30°
B
E
M
A
B
C
(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,
交点为 M , 求 弦 AB 的长.
3 工程项目管理规划
例1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧
CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足
为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④ ②⑤ ③④ ③⑤
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且
①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
3 工程项目管理规划
船能过拱桥吗
解:如图,用AB 表示桥拱AB, 所在圆的圆心为O,
半径为Rm,
AB
经过圆心O作弦AB的垂线OD,ADB为垂足,与 相交 于点C.根 AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5. 据 拱垂高径. 定A理D,D是12 AABB的 中12 点7,.2C是3.6, 2 的中点,CD就是 由OD题设O得C DC R 2.4.
图所示.若油面宽AB
＝600毫米，求油的
最大深度.
A
O B
3 工程项目管理规划
试一试
挑战自我填一填
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（√）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等于1㎝或9㎝
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC, B
M
A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M, O N
N,且OM=2,0N=3,则A6B= ,
2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O
到AB的距离是____2_______cm，AB=___4______cm.
A
C
D
E
。
O
B 第1题图
。
O
A
H
B
第2题图
3 工程项目管理规划
选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1） AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其
中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的
个数为 （ A ）
A
A、3 B、2 C、1 D、0
。 O
C
D
B
3 工程项目管理规划
1. 平分已知弧 AB .
你会四等分弧AB吗? A
B
3 工程项目管理规划
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为
30 °,求弦 AB 的长.
如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O
A
┌E
D
B
D
600
C
3 工程项目管理规划
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 的油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O
A
A
┌E
D
B
D
600
C
3 工程项目管理规划
D
600
B
O ø650
C
M
E
C
D
A
.
O
B
A
O.
A
E C
D