1)数学问题中的数学文化

（四）

第二章若干数学问题中的数学文化

一、毕达哥拉斯学派和他们的“万物皆数”

1. 毕达哥拉斯（Pythagoras约前572年—前500年）

毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。

毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，但致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。

相传“哲学”（希腊原词ϕτλοσοφτα，意为“智力爱好”）和“数学”（希腊原词µαθηµατιχα，意为“可学到的知识”）这两个词是毕达哥拉斯本人所创。

2. 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献

1）数学证明的起始

泰勒斯——毕达哥拉斯——欧几里得

证明是要有假设的： “公设”和“公理”。

许多人推测，欧几里得《几何原本》前两卷的大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。

2）数学抽象的提出

从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。

3）毕达哥拉斯定理

即“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股定理。

《周髀算经》卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四、经隅五”，这是勾股定量的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”

中国数学史上最先完成勾股定理证明：公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦图，相当于运用面积的“出入相补”方法，证明了勾股定理。如图

西方文献中称此定理为毕达哥拉斯定理。

曾经有人编书，收集了勾股定理的370种证法。

3. 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说

1）“万物皆数”学说

①数，是世界的法则和关系

毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它，即正分数。

们的比n

m

②任意两条线段都是可公度的

“可公度的”，意即有公共的度量单位。

2）实例

① 形数

三边形数 四边形数 五边形数 六边形数；如图

“形数”体现了数与形的结合。

[思]：找出三边形数 四边形数 五边形数 六边形数等各种“形数”的规律。

毕达哥拉斯学派加强了数学概念中的理论倾向。

毕达哥拉斯学派相信，造物主是按照数学来创造世界的，自然现象可以通过数学来理解。

② 多个场合下的小整数比

ⅰ产生谐音的各个弦的长度成小整数比

绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数比，就会发出谐音。例如，1︰2时短弦的音高8度，2︰3时短弦音高5度，3︰4时短弦音高4度；当三根弦的长度之比为3︰4︰6时，就得到谐音。

ⅱ同名正多边形复盖平面的情形（即铺正多边形地砖的情形） 只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形，如下图

毕达哥拉斯学派确信： “宇宙的和谐在于数”，神是以数的规律创造世界的。

二、

与第一次数学危机

对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是毕达哥拉斯学派自己的

。

1）一个不能表成整数比的数

根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对角线长度若记为c ，则222112c =+=，推出22c =。如图

下边我们证明，当22c =时，c 不能表成整数比。

如果不然，有两个正整数m 和n ，使n c m =（不妨设n m

是既约分数即（m , n ）=1）

。 两端平方得 222n m =，即222m n =

由此知2n 是偶数，由于偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，∴n 是偶数。因n m

既约，所以m 不能再是偶数，于是m 是奇数。于是222m n =的左端，因m 是奇数而不能被4整除，右端却因n 是偶数而可

以被4整除。这个矛盾说明开始的假设n

c m =是错误的。从而c 不能表

成两个整数的比。证完。[注]：这是“反证法”的开始。

2）不可公度的线段

设正方形的边长为a ，对角线长为d ，如图，

根据毕达哥拉斯定理222d a =。

如果存在第三个线段长为t ，使得a 和d 都是t 的整数倍，例如a mt =,d nt =,这里m ，n 是整数。

由222d a =得22222n t m t =，从而222n m =，又可以类似于上一个证明导出矛盾，所以不可能存在长度为t 的线段，于是a 与d 就是不可公度线段。

3）危机产生，封锁消息

希帕苏斯泄露秘密，被抛进大海。

4）无理数

象22c =这样的数c ，和其它一些不能表成整数比的数。

2. “两个量的比相等”的新定义——部分地消除了危机 两个量的比相等，即a c b d

= 约公元前370年，希腊数学家欧多克索斯和阿契塔的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量的任何相同的倍数，第二个和第四个量的任何其他的相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个量的倍数的相应关系”。

这种定义，也被欧几里得在《几何原本》中采用。

3. 无理数与数系的扩张——危机的解决

1）有理数的稠密性

定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在数轴上，每一个不管处于什么位置，也不论是多么小的区间（a ，b ）中都存在着这个数集中的点。

定理：有理数集在数轴上是稠密的。

2）数轴

① 古代观点： 数轴 有理数

② 现代观点：数轴 实数

3）数系的扩张——危机的解决

① 自然数系

② 有理数系

③ 实数系

实数系具有连续性。有理数系具有稠密性，却不具有连续性。

数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。数系的稠密性，通俗说成“到处都有”、“密密麻麻”，数系的连续性，通俗说成“一个挨一个”、“针插不进，水泼不进”。连续性，这是一个很好的性质。但是对“数系的连续性”的概念，给出严格的数学定义，就不那么容易了。

[思]：能说任何两个有理数之间都有无理数吗？为什么？

三、反证法与无理数

1. 反证法

1）反证法的威力

2）反证法的步骤