玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)简介.

玻色-爱因斯坦凝聚（BEC ）
玻色-爱因斯坦凝聚现象最早由爱因斯坦预言。

因为玻色子遵循的统计规律，玻色气体中的原子在温度趋近绝对零度时将全部凝聚到能量的基态上。

理想情况下的BEC 完全由玻色气体原子的统计性质造成，而与原子间的相互作用无关。

实验上实现BEC ，需要对玻色气体进行束缚、稀释和冷却，其中的冷却过程在技术上难度最大，也是BEC 实验的关键。

1995年在铷原子气中实现了第一个BEC 系统。

2000年在实验上发现了BEC 中的超流现象，这是继液氦系统之后的第二种超流系统。

与液氦系统相比，BEC 系统具有极弱的相互作用，因而在理论上更容易分析。

同时，BEC 系统的各种物理参数如密度、动能等都在实验上可调。

另外，利用具有自旋的BEC 系统可以进行与自旋有关的超流现象研究，如存在自旋-轨道耦合的BEC 超流及不伴随净质量流的自旋超流等。

相关的理论和实验工作仍在不断取得进展。

本文先通过讨论理想玻色气体在低温下的性质阐明BEC 的量子统计来源，再介绍实验上实现BEC 的束缚、冷却和观测技术，然后介绍与BEC 超流有关的理论和实验方法，最后会简单提及与自旋有关的BEC 超流现象。

1.BEC 的起源：玻色子的统计性质
根据量子力学，玻色子在一个量子态上的数目不受任何限制。

以此为基础利用统计系综的方法可以得到理想玻色气体在均匀势场中的粒子数按能级的分布： 1
11-=
-βεεe z a （1） 据此可计算粒子数密度： z z V e z d m h n -+-=⎰∞-111)2(2012/12/33βεεεπ （2） 其中2/32)2(1h
mkT n e z πα==-。

右边第二项为基态的粒子数密度。

当温度较高时，1<<z ，（2）式中右边第二项可以忽略，即所有原子都处在0>ε的激发态上。

随着温度降低，使z 接近1时，该项不可忽略，意味着有宏观数目的原子凝聚到基态上。

这便是玻色-爱因斯坦凝聚（BEC ）。

将开始有粒子凝聚到基态的温度称作BEC 的临界温度c T ，由条件 ⎰∞
--=012/12/331)2(2βεεεπe z d m h n （3） 可确定c T 。

对于均匀势场中的理想玻色气体，基态粒子数密度与温度的关系满足： ])(1[)(2/30c
T T n T n -= （4） 可以从另一个角度去理解发生BEC 的条件。

定义热波长2/12
)2(mkT
h πλ=，表征温度T 下分子热运动对应的平均德布罗意波的大小，则1<<z 的等价形式为13>>λn ，即原子的热波长远大于原子间平均距离，原子波函数重叠程度大，这时玻色子的统计性质就明显地体现出来。

实际气体会被束缚在一定的势场中，基态粒子数密度对温度的变化关系会有所不同，例如在三维谐振子势中的理想玻色气体基态粒子数密度随温度的变化满足： ])(1[)(30c
T T n T n -= （5） 除外场外，实际的BEC 系统还应考虑粒子间相互作用的影响、粒子数目并非无穷多等因素。

另外值得一提的是，在BEC 临界温度上下，理想玻色气体的热容连续，但热容的导数不连续，从相变的观点看，这是一种三级相变。

（有相互作用力的系统实际为二级相变）
2.实现BEC 的实验方法：原子束缚和冷却
2.1磁束缚
ε。

提供一个磁束缚的基本原理是原子具有磁矩因而在磁场中产生附加能量：B
=μ
-
⋅
空间上不均匀的磁场便可以产生相应的梯度力。

实际我们总是将玻色气体限制在磁场中心区域，因此需使原子在磁场中心处的能量低于磁场边缘处的能量。

因为气体存在的区域没有电流，所以可实现的只有磁场强度中心低、边缘高的磁场分布，因此被束缚的总是磁矩反平行于磁场方向的原子。

2.2激光冷却
激光冷却的基本原理是原子在一定频率激光作用下的跃迁吸收和不需要激光作用的自发辐射。

使用一定频率的激光照射原子，设置激光频率使之略低于受激吸收的本征频率。

当原子逆着激光照射方向运动时，由于光的多普勒效应，原子实际接收到的光频率可以达到受激跃迁的本征频率，从而使原子吸收光子跃迁到较高能级；反之，当原子顺着激光方向运动时，其接收到激光的频率反而更远离本征频率，受激吸收不能发生。

吸收光子后跃迁到较高能级的原子会发生自发辐射，发射出的光子的动量方向是完全随机的。

这两个过程总的效果是原子逆着激光运动时获得顺着激光方向的动量，从而逆着激光方向的速度变小，但在顺着激光方向运动时并不会被加速。

在每个自由度上设置一对相对照射的激光，便可以使原子在该自由度上的速度变小。

仅仅通过激光冷却通常不足以使气体降到足够发生BEC的温度，但可以使用激光冷却进行气体在被磁阱束缚前的预冷。

图1 激光冷却示意图
2.3磁光阱（MOT）和稀释制冷
磁光阱，顾名思义，是由磁阱和激光（辐射场）共同构成的系统，它是目前实现BEC 的主要实验设备。

磁阱的束缚作用已在前文提及，激光的作用除束缚外（原子在辐射场中也会产生一定的附加能量，从而有相应的梯度力），还可以使原子发生能级间共振跃迁。

其中，原子在塞曼子能级间的跃迁是实现原子在磁光阱中的稀释制冷的主要原理。

稀释制冷的基本思路是筛除气体中温度高（动能大）的原子，保留温度低的原子，这样就实现了整体的进一步降温。

为了简化讨论，只考虑磁矩有两个投影方向（与磁场平行和反平行）的原子。

如前文所述，当提供中心弱、边缘强的磁场时，磁矩与磁场反平行的原子会被束缚而磁矩与磁场平行的原子则会逸出。

被束缚的原子也服从一定的速率分布，速率大的原子会更靠近边缘。

同时，因为边缘处磁场磁场更强，所以塞曼分裂的能极差更大，对应共振跃迁的激光频率就越大。

因此，可以通过适当选择激光频率使一定磁场强度处的原子发生跃迁。

我们知道，塞曼能级是由原子的磁量子数标记的，上、下能级分别对应原子磁矩反平行和平行于磁场。

因而，跃迁的结果是使原子的磁矩反向。

前面已经提过，磁阱只对磁矩反平行磁场的原子有束缚的作用，所以磁矩一旦反向，这部分原子就会从磁阱中逸出。

实际操
作中通常会采用逐步稀释降温的办法，即逐渐减小激光频率，按运动速率从高到低筛取逸出的原子，最终剩下运动速率慢的部分原子，也就完成了降温。

稀释制冷可以使磁阱中玻色气体的温度降到10nK--100nK量级，达到BEC发生的临界温度。

图2 磁光阱示意图
图3 稀释制冷示意
图中红色和蓝色分别表示热原子和冷原子。

通过反转原子的磁矩，使得边缘处磁场能变低，热原子逸出，
冷原子继续被束缚在磁场中心处。

2.4 BEC的观测：
进行BEC观测的一种常用方法称作“time-of-flight experiment”。

具体思路为：在磁光阱中完成降温后，撤除束缚磁场。

这时玻色气体将自由扩散。

原子在一定时间后距原来磁场中心的距离将与其速率大小成正比。

因此，能量低的基态原子将集中在靠近中心的区域，而能量想对较高的激发态原子则距中心较远。

最终会得到一个原子数密度在空间上的分布，它反映了原子数密度的速率分布。

如图4，中心峰的尖锐程度可以反映发生凝聚的比例。

通过对该分布曲线的分析还可以得到玻色气体的温度。

图4 撤除束缚后原子在空间的分布
三维图里点的高度代表原子数密度，颜色从红至白表示原子温度递减。

从左至右体系平均温度依次降低，中心峰依次变尖锐，说明凝聚到基态的原子比例增加。

3.BEC中的超流：理论和实验
3.1超流概述
超流是重要的宏观量子现象，其主要表现为流体在一定的临界速率以下流动阻尼降为零。

最初在He 4液体中被观察到。

下面简要介绍朗道超流的唯象理论，其中的一个重要结论是超流临界速率的“朗道判据”（Landau Criteria ）。

考虑在管道中以速度v 流动的流体。

若它能发射元激发，则意味着流体动能损失，即流动存在阻尼。

所以流体是否存在阻尼的条件就转化为元激发是否能发射。

为此考虑流体参考系，设元激发的波数为q ，该参考系中元激发的能量为)(0q ε，则管道系元激发的能量为q v q q v ⋅+=)()(0εε，在任何参考系中若元激发能够发生，都必须满足能量大于零的要求，所以有0)(>q v ε；而发生超流意味着在给定的流速v 下上述条件对所有的q 不能满足。

于是可以得到超流的朗道判据： min 0)||)
((q q v v c ε=< （6）
由式（6）容易看出，体系是否能发生超流，超流的临界速率是多少，与元激发的能谱形式)(0q ε密切相关。

若得到0=c v ，则意味着超流不可能发生；若元激发为声子，则c v 为流体中的声速。

以上图像还有另一种等价形式。

即考虑一个质量为0m ，在流体中以速度v 运动的流体的元激发q 。

若元激发能够发生，则必须同时满足动量和能量守恒条件：
q mv v m f i +=0 （7） )(2
121022q mv mv f i ε+= （8） 容易证明，当物体的速度小于min 0)||)((
q q v c ε=时，这两个条件不能同时被满足，也就是说元激
发不能发生，流体处于超流态。

3.2 BEC超流的理论方法：Gross-Pitaevskii方程和Bogoliubov激发
从3.1已经知道判断超流是否可能发生和计算临界速率的关键在于知道体系的元激发能谱。

对于BEC系统，可以通过求解一定近似下的薛定谔方程来得到能谱。

因为BEC的原子密度低，原子间的相互作用近似为s-波等效接触相互作用：
（9）同时采用平均场近似，可以列出外场)
(r
V下的薛定谔方程，即Gross-Pitaevskii方程，简称G-P方程：
（10）其中，
（11）右边第三项，可以通过把（9）式中的1r取作r并对所有的2r乘以概率幅积分得到。

为了计算元激发能谱，我们对波函数作微扰：
（12）总波函数满足：
（13）微扰项满足：
（14）取试探波函数：
（15）
（16）代入后得到代数方程：
（17）矩阵具体形式为：
（18）其中，
（19）将矩阵对角化以后可以得到两组解，对应可得元激发能谱，称作Bogoliubov激发。

其具体形式取决于)
(r
V的形式。

这里简单给出均匀外市场（0
V）的结果：
r
)
(
（20）其中，
（21）即自由电子能谱。

在长波极限下，有近似：
（22）是声子能谱，相应的临界速度为声速。

3.3 BEC中超流的观察
2000年，R. Onofrio 和C. Raman等人在钠原子气体的BEC中观察到了超流的直接证据。

实验简述如下。

在BEC中的“运动物体”为一束波长514nm的激光，它的频率略高于
钠原子能级跃迁的本征频率，对原子产生等效的排斥力。

在原位相衬成像图片中可以看到原子（亮区）和光束（黑点）的位置。

（图4）当BEC 处在超流状态时，可以预期激光束的运动不会改变原子密度的分布，那么照片中的原子密度分布应完全对称；若超流被破坏，则激光束在气体中运动时将改变原子密度的分布，运动方向一侧的原子密度将大于另一侧，照片中也可以看到这种不对称。

实验结果表明，当激光束运动的速率小于某个临界值时，BEC 原子密度分布保持对称，但是随着激光束运动速率增大，BEC 原子的分布出现不对称，且其不对称的程度随激光束速率的增大而增大。

在这一实验中，定义了“平均不对称度”来定量描述这种不对称的程度：)n )/(n n -(n 2A b f b f +=。

其中f n ，b n 分别是激光束运动“前方”和“后方”的最大原子密度。

图 显示了该实验中的部分数据，“点”和“叉”分别代表两种不同密度钠原子BEC （前者<后者）的“不对称度”A 随激光束的移动速率的关系。

可以看到对两种密度的钠原子BEC 而言，都存在超流--不超流的转变，且能明显看到临界速率的存在。

且密度小的BEC 临界速率也较小。

在该实验中，还测得临界速率约为BEC 中声速的十分之一。

图4 相衬照片中的BEC 来自Phys.Rev.Lett 85, 2228 (2000)
图中亮区为原子，黑点为激光束。

图6 R. Onofrio 实验中的一份A-V 图，来自Phys.Rev.Lett 85, 2228 (2000)
3.4 存在自旋-轨道耦合的BEC超流；自旋超流
BEC是有自旋的系统，它的超流中也可能具有与自旋相关的新奇的物理现象。

这里简单介绍一下存在自旋-轨道耦合的BEC超流和净质量流为零的自旋超流。

考虑自旋-轨道耦合的BEC超流时，需要在系统的哈密顿量中添加自旋-轨道耦合项。

理论计算表明，这时伽利略协变性不再满足。

具体而言，在不同的参考系下观察，发生超流的临界速率不同。

例如，流体在静止管道中流动（对BEC而言，准确地说是原子气在磁阱中运动，flowing velocity）的临界速率和物体（激光束）在静止流体中运动的临界速率（dragging velocity）不相同。

前文所述的这两个图像不再等价。

这一结论已被实验所证实。

在适当的条件下可能实现净质量流为零的自旋超流。

例如，将BEC置于有一定梯度的磁场中，则同一位置处自旋相反的原子所受的磁场力大小相等，方向相反，将具有大小相等、方向相反的平均动量。

若两个自旋方向的原子数目相当，则向两边流动的原子数目相当，净质量流抵消为零，但由于向两个方向流动的原子自旋相反，总的自旋流为单种原子自旋流的两倍，这样就得到了净质量流为零的自旋超流。

这一设想目前还未在实验上实现。

4.小结
BEC作为一种重要的宏观量子现象，具有简单而深刻的量子力学根源，包含了丰富的
物理内容，在理论和实验两方面都具有美感。

BEC是继液氦之后又一种超流体系，与液氦体系相比又具有许多无可替代的优点。

BEC超流的理论和实验工作仍在不断取得进展，也还具有巨大的开拓空间。

我们期待着更普适的BEC理论被建立，现有的理论预言能够被实验所验证，也期待着未来有更多有关BEC的奇妙现象被发现。

参考文献
[1]Pethick - Bose-Einstein condensation in dilute gases (second edition)
[2]Qizhong Zhu1 and Biao Wu Superuidity of Bose-Einstein Condensates
[3]Pathria_R.K._Beale_P.D.Statistical_mechanics
[4]R. Onofrio, C. Raman, J. M. Vogels, J. R. Abo-Shaeer, A. P. Chikkatur, and W. Ketterle Phys.Rev.Lett 85, 2228 (2000)
[5]R. Onofrio, C. Raman, J. M. Vogels, J. R. Abo-Shaeer, A. P. Chikkatur, and W. Ketterle Phys.Rev.Lett 83, 2502 (1999)。