机械设计及阿基米德螺旋线

一阿基米德螺旋线

很多人都知道飞蛾扑火这个故事。但是，为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。飞蛾的历史远比人类悠久。在亿万年前，没有人造火光，飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远，它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时，它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。可是，如果光源离得很近，不能将它们发出的光线看作平行光时，飞蛾再按照固有的习惯飞行，飞出的路线就不是直线，而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如图2)。这在数学上称为阿基米德螺线。通俗的说，阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。举一个形象一点的例子：时钟上的指针在作匀速转动，假如有一只小虫子从时钟的中心，沿指针作匀速爬动，那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线（如图3）。

阿基米德螺旋线的标准极坐标方程为：ρ=at+P0

式中：

a—阿基米德螺旋线系数，mm/°，表示每旋转1度时极径的增加（或减小）量；

t—极角，单位为度，表示阿基米德螺旋线转过的总度数；ρo—当t=0°时的极径，mm。

阿基米德螺线的简单画法

有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，如图4，用一根线缠在一个线轴上，在其游离端绑上一小环，把线轴按在一张纸上，并在小环内套一支铅笔，用铅笔拉紧线，并保持线在拉紧状态，然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹，就得到了阿基米德螺线。

二蜗轮蜗杆的材料

由于蜗杆传动啮合摩擦较大，且由

于蜗轮滚刀的轮齿尺寸不可能做

得和蜗杆绝对相同，被加工出来的

蜗轮齿形难以和蜗杆齿精确共轭，

必须跑合才能逐渐理想；因此，材

料副的组合必须具有良好的减磨

和跑合性能以及抗胶合性能。所以

蜗轮常采用青铜或者铸铁做齿圈，

并且可能与淬硬并经磨削的钢制蜗杆相匹配。

1 蜗杆材料一般用合金钢或碳钢制成，大部分蜗杆的齿面经渗碳淬火等热处理获得较高的硬度，由于考虑蜗杆的齿数少，工作长度短，受力次数多等原因所致，因此，蜗杆的材料不用有色金属做。

2 蜗轮轮齿一般用铜合金或者铸铁制成，蜗轮的材料为铸造锡青铜（用于滑动速度大于等于3的重要传动），铸造铝铁青铜（一般用于滑动速度小于等于4的传动）等。其强度远远不如钢制蜗杆，且蜗杆螺牙成螺旋状强度较大。因此蜗轮轮齿是蜗杆传动中的薄弱环节。

三渐开线与延伸渐开线的区别与联系

渐开线是在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）

作纯滚动时，此动直线上一点

的轨迹。将一个圆轴固定在

一个平面上，轴上缠线，拉

紧一个线头，让该线绕圆轴

运动且始终与圆轴相切，那

么线上一个定点在该平面上

的轨迹就是渐开线。

直线在圆上纯滚动时，直线上一点K的轨迹称为该圆的渐开线，该圆称为渐开线的基圆，直线称为渐开线的发生线。渐开线的形状仅取决于基圆的大小，基圆越小，渐开线越弯曲；基圆越大，渐开线越平直；基圆为无穷大时，渐开线为斜直线。渐开线方程为：

x=r×cos(θ+α)+(θ+α)×r×sin(θ+α)

y=r×sin(θ+α)-(θ+α)×r×cos(θ+α)

z=0 式中，r为基圆半径；θ为展角，其单位为弧度

而延伸渐开线是在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）

作纯滚动时，与圆心同居于动直线的一侧，并与动直线固连的一点的轨迹。二者的共同点都是直线沿基圆做纯滚动，不同点是：渐开线为直线上的一点所形成的；延伸渐开线为直线外一定点所形成的，也叫长幅渐开线

四锥面包络圆柱蜗杆（zk蜗杆）

锥面包络圆柱蜗杆(ZK蜗杆)这是一种非线性螺旋曲面蜗杆。它不能在车

床上加工，只能在铣床上铣制并在磨床上磨削。加工时，除工件作螺旋运动外，

刀具同时绕其自身的轴线作回转运动。这时，铣刀(或砂轮)回转曲面的包络面

即为蜗杆的螺旋齿面。

ZK蜗杆主要是在改进阿基米德蜗杆磨削加工中产生的。磨削时，将梯形砂轮或片

状锥形砂轮安置

在蜗杆齿槽内，

使刀具轴线与蜗

杆轴线在空间交

错成一个等于蜗

杆分度圆柱上的

导程角γ。在蜗

杆与刀具的相对运动中所得到的砂轮回转面的包络面即为蜗杆螺旋面，它是非线性的，在各个剖面上的廓线都是曲线，因此通常也称为曲纹面蜗杆。由于砂轮的母线为直线，易于修正，故蜗杆的磨削及蜗轮滚刀制造也比较容易，因此这类蜗杆传动在生产中日益得到广泛的应用。在我国许多工厂在生产阿基米德蜗轮滚刀和磨削阿基米德蜗杆时，都是用类似加工ZK蜗杆的方法，用略加修形的锥形砂轮来加工的。