黎曼几何

《数学专题讲选》期末论文

07数学 20075202 阮腾达

黎曼几何

本学期开设的数学专题选讲中，我最感兴趣的就是肖建波老师讲的黎

曼曲面专题。课后，我结合老师上课内容和查找相关资料，了解了黎曼几

何的产生及其内容概要。

古希腊数学家欧几里得的《几何原本》提出了五条公设。头四条公设分别为：

1.由任意一点到任意一点可作直线。

2.一条有限直线可以继续延长。

3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。

4.凡直角都相等。

第5条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一

侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。

长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字

叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几

何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。

也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不

能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论

了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题

始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能

不能证明？

几乎从欧几里得提出第五公设(也称平行公设)以来，数学家们就感到它不像公设，是能够加以证明的．尽管人们的尝试失败了——事实证明他们也必然要失败，数学家们却由此而建立了两种全新的几何学，即非欧几何！

建立非欧几何的荣誉，应该由高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基三人共同分享。不过在介绍他们的工作之前，我们先来看在这方面曾作过努力和贡献的几位数学家。

首先要提到的是意大利耶稣会士和帕维亚大学的教授萨谢利。他研究了一个四边形ABCD（如图1），∠A和∠B是直角，AD=BC。他证明了∠D=∠C，那么这两个角的大小只有三种可能：钝角、直角或锐角，萨谢利称之为钝角和锐角假定和锐角假定。他希望证明钝角和锐角假定是错误的，那么余下的直角假定就是第五公设的等价形式！萨谢利隐含的假定的矛盾性，但对于锐角假定，逻辑事实使他左右为难，最后毫无说服力地硬塞进一个“矛盾”。如果他不是那样迫不及待地塞进一个所谓“矛盾”，而是大胆地承认自己找不到矛盾，那么非欧几何的发现无疑应该归功于萨谢利。非欧几何已经碰到了他的鼻尖上，但他让它溜走了。

33年之后，法国数学家兰伯特也作了类似的研究，并写出了一本《平行线论》。他研究的则是有三个直角地四边形，讨论第四角的情况，同样也有相应三种假定。他也默认了直线是无限长这一假设，而否定了钝角假定，但他注意到了

钝角假定的一些结论适合球面图形。在锐角假定的问题上，他比萨谢利走得更远，当他在锐角假定下得不到矛盾时，他没有轻易否定这个假设，而是猜测锐角假定推出的几何也许能在虚半径的球上被证实，这一点他猜对了！

兰伯特是第一位怀疑第五公设可证性的人，但他最终还是没有跳出前人的框框，而与非欧几何失之交臂。

高斯是真正预见到非欧几何的第一人。他大约在1816年左右就对非欧几何有了比较明确的认识。但高斯十分小心谨慎，没有发表关于此类的任何文章，生怕引起世俗的反对。我们知道他的思想仅仅是通过他与好友间的通信、对别人著作的几份评论，以及他死后从稿纸中发现的几段札记。尽管如此，他却鼓励别人进行这方面的研究，而且，把这种几何称为非欧几何的就是他本人。

预见到非欧几何的第二人是J．鲍耶，他是奥地利军队的一名匈牙利军官。他父亲F．鲍耶是高斯的大学同学和朋友。老鲍耶也曾经对第五公设感兴趣，曾经花费了大量的时间研究过它。当他知道自己的儿子也对此着了迷时，曾告诫他不要在这上面耗费时间，因为它们可能“吞没一千个牛顿这样的天才”。但小鲍耶不听劝告，坚持自己的研究，并说：“我要白手起家创造一个奇怪的新世界。”1823年，小鲍耶基本上形成了自己的思想，但当他通过父亲写信向高斯征求意见时，高斯却在回信中说，他不能称赞鲍耶的工作，因为这样做将是称赞他自己在初年以前就开始做的事情。小鲍耶对此十分气恼，认为高斯想抢占他的成果。最后，小鲍耶把他的研究结果写成一本小册子，在1832年作为他父亲一部半哲学性著作的附录发表了。

要改变传统的观念去接受一种全新的东西总是那样困难，罗巴切夫斯基和鲍耶的著作在发表后若干年，整个数学界才对此给予更多的注意，几十年后，这一发现的真正内涵才被理解！

后来，德国数学家黎曼又修改了第五公设，把球面上的大圆作为直线，那么直线就是无界（或者说无端点）的了，但长度却是有限的。黎曼又修改了其他几条公理以适合球面，又构造了一种球面上的几何学，被称为“黎曼几何”。它也是非欧几何的一种。人类生活在地球上，认识到地球是圆的也有很长的历史，但直到黎曼才发展出一种适合于球面的几何学，这也许是一种反常的现象。

非欧几何的发现，是几何学的一次解放，也是数学思想的一次解放。几何学的公设，对数学来说，仅仅是一种假定，并非不证自明，也可说其物理上的真假根本用不着考虑。数学家们可以随心所欲地选取公设，只要它们之间不相互矛盾。数学从一种绝对的真理变成了人类思想的自由创造，而不是受我们自己生活于其中的世界摆布的什么事物，正如康托所说：“数学的本质在于其自由！”

公元1854年，黎曼发表了一篇关于球面(或椭球)几何的论文。文中对平行公设作了以下否定性陈述：“过不在直线上的任一点，不可能引一条直线与已知直线平行。”这相当于对平行公设(①原注：平行公设的一种陈述方法是——过不在直线上的任一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 )的否证．黎曼还决定看看如果改变欧几里得其他公设的陈述会怎么样，诸如“直线可无限延伸并产生无限长度”改为“直线没有边界，但并非无限长”。也就是说，它没有端点但却具有有限的长度。

德国数学家黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几