2主阶跃信号与冲激信号

t
2. 定义2： (Dirac)函数
为了对它有个直观认识,首先将它看作一个普通函数 如右图所示矩性脉冲函数:
pn
(t)
0, n
/
t 2,
1 或t 1 nn
1 t 1
nn
(t)
lim
n
pn
(t)
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
(t)
lim
0
p(t)
lim
0
1
t
2
t
本节介绍
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分 有不连续点的一类函数,统称为奇异信号或奇异函 数。
主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
6．单位斜变信号
1． 定义
r(t)
0 t
t0 t0
2．延迟的单位斜变信号
0 r(t t0 ) t t0
t t0 t t0
后，使得间断点的导数 也存在。如
4. 冲激函数的性质 为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 义函数。就时间t 而言， t 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于
t 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1．抽样性 2．奇偶性 3．冲激偶 4．标度变换
1. 抽样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t) f (t) f (0) (t)
(t) f (t)d t f (0)
f (t) f (0)
(1)
t o
分 t 0和 t讨 0论
t 0 (t) 0 ,f (t) (t) 0 (注意：仅当 t 0 时)
t :
:
( a t) f (t)dt
(
)
f
1 a
d
1 a
1 a
(
)
f
1 a
d
1 a
f (0)
而 1 (t) f (t)dt 1 f (0)
a
a
at 1 t
a
四.总结： r(t) (t)， (t) 之间的关系
r(t)
(t)
(t)
1 O1
1 tO
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作
用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特 殊的方式定义（由狄拉克最早提出）
(t)d t 1
(t) 0
t 0
(t)dt
0 (t )d t
0
➢ 函数值只在t = 0时不为零；
(t)
➢ 积分面积为1；
(1)
➢ t =0 时， t ，为无界函数。 o
f
(t)
Kt
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0
0t
其它
f (t) K t[ (t) (t )]
f (t) K
O
t
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
3)阶跃函数的积分
t
( )d t (t)
8．单位冲激信号
1. 定义1 2. 定义2 3. 冲激函数与阶跃函数关系 4. 冲激函数的性质
1. 定义1： (Dirac)函数
又因为 (t)只在t 0有值 ，故 (t) (t)
3.冲激函数的导数,也称冲激偶
s(t )
(t)
1
1
(1)
o
s(t )
1 2 1 2
O
1 2 1 2
t
0
t
O
t
(t)
t
O
冲激偶的性质
(t) f (t)d t f (0)
利用分部积分运算
(t) f (t)dt
(1)
t
t
O
r(t) 求 ↓↑积
(t)
导 ↓↑分
(t)
(-<t< )
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
（5）冲激偶
f (t) (t) f (0) (t)
(t) (t)
f (t) (t)d t f (0)
(t)d t 0
（2）奇偶性 (t) (t)
t
(t)d t (t)
t t0, t t0
t0 0
1
O
t0
t
(t t0 )
1
由变量 t t0 0 可知 t t0 , 即时
间为，t0时函数有断点，跳变点
t0 O
t
宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
3. 阶跃函数性质： （1）可以方便地表示某些信号, 如任意阶梯信号,三角脉冲信号:
f (t) 2 (t) 3 (t 1) (t 2)
由变量t -t0=0 可知起始点为 t0
r(t) 1
O1
t
r(t t0 ) 1
O t0 t0 1 t
7. 单位阶跃信号
1. 定义
(t)
(t)
0 1
t 0 0点无定义或 1
t 0
2
2. 延迟的单位阶跃信号
1
O
t
(t t0 )
(t
t0
)
0 1
(t
t0
)
0 1
t t0, t t0
t0 0
积分结果为0
t 0 t 0 , f t t f 0 t (注意：仅当 t 0 时)
积分为 0 f (0) (t)dt f (0) 0 (t)dt f (0)
0
0
即
(t) f (t)dt f (0)
对于移位情况：
f (t) (t t0) f (t0) (t)
(t t0 ) f (t)d t f (t0 )
p(at) 1 (t)
a
用两边与f(t)的乘积的积分值相等证明， 分a>0 、a<0两种情况
(1)
a 0, 令at
(at) f (t)dt
f
d
1
f (0)
a a a
而 1 (t) f (t)dt 1 f (0)
a
a
两边相等
at 1 t
a
(2) a 0, 令 a t
思考题:
1) 0 sin(t ) (t 1)dt ?
3
4
1
2) 2 ( t)d ? 1
3) t ( 1)2 ( )d ? 1
2. 奇偶性：偶函数
(t) (t)
(t) f (t)d t f (0)
t
(t) f (t)dt
( ) f ( )d( )
( ) f ( )d f (0)
f (t) (t) f (t) (t)dt
f (0)
X
4. 对(t)的尺度变换
at 1 t
a
冲激信号尺度变换的证明
从 (t)定义看：
pt
pat
1
1
O
2
t
2
2a
O
2a
t
a
p(t)面积为1， t 强度为1
p(at)面积为 1 ， at 强度为 a
1 a
0时, p(t) (t),
2
(t)
(1)
(t t0)
时移的冲激函数
(1)
o
t
o t0
t
若面积为k，则强度为k。
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数
取0极限，都可以认为是冲激函数。
3.冲激函数与阶跃函数的关系
0,
(t)
def
lim
n
n
(t)
1, 2 1,
t0 t0 t0
冲激函数与阶跃函数关系：
提示：引入冲激函数之
（3）尺度变换
(at) 1 t
f (t) (t)d t f (0)
a
f (t) (t) f (0) (t) f (0) (t)
（4）微积分性质
（6）卷积性质
(t) d (t)
dt
t
(
)
d
(t)
f t t f t