灰色关联度评价方法(10)讲解
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(min) 0.0006, (max) 0.1857
0.0006 0.4 0.1857 01 (2000) 0.4191 0.1044 0.4 0.1857
同样可计算出表6-4中其余关联系数.
表6-4
年份t 2000 2001 2002 2003 2004 2005
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表6-1是某地区2000-2005年国内生产总值的统计 资料.现在提出这样的问题：该地区三次产业中, 哪一产业的变化与该地区国内生产总值(GDP)的 变化态势更一致？也就是哪一产业与GDP的关联 度最大呢？ 表6-1 某地区国内生产总值统计资料(百万元)
年份 国内生产总值 第一产业 第二产业 第三产业 2000 1988 386 839 763 2001 2061 408 846 808 2002 2335 422 960 953 2003 2750 482 1258 1010 2004 3356 511 1577 1268 2005 3806 561 1893 1352
0i (t )
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上式可变形为
(min) (max) 0i (t ) 0i (t ) (max) i 1, 2,3; t 2000, , 2005
(6.1)
0i (t )称为序列xi和序列x0在第t期的灰色关联系 数(或简称为关联系数). 由(6.1)式可以看出, 取值的大小可以控制(max) 对数据转化的影响, 取较小的值,可以提高关联 系数间差异的显著性,因而称 为分辨系数. 利用(6.1)对表6-3中绝对差值0i (t ) 进行规范化,取 0.4, 结果见表6-4,以01 (2000)计算为例：
N
(6.11)
对各比较序列与参考序列的关联度从大到 小排序，关联度越大，说明比较序列与参考序 列变化的态势越一致．
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从上边也可以看出,关联度的几何含义为比较序 列与参考序列曲线的相似与一致程度.如果两序 列的曲线形状接近,则两者关联度就较大,反之, 两者关联度就较小．
2. 用灰色关联分析进行综合评价
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xi (k )
xi(k ) 1 N
x ( k )
k 1 i
N
(6.4)
xi(k ) xi (k ) xi(1)
i 0,1,
(6.5)
,N
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, n; k 1, 2,
3.求差序列、最大差和最小差 计算(6.3)中第一列(参考序列)与其余各列(比较序 列)对应期的绝对差值,形成如下绝对差值矩阵： 0 n (1) 01 (1) 02 (1) (2) (2) (2) 01 02 0 n 0 n ( N ) N n 01 ( N ) 02 ( N ) 其中
年份t GDP x0(t) 一产业 x1(t) 二产业 x2(t) 三产业 x3(t) 2000 0.7320 0.8364 0.6828 0.7440 2001 0.7588 0.8819 0.6885 0.7878 2002 0.8597 0.9144 0.7812 0.9291 2003 1.0125 1.0444 1.0237 0.9847 2004 1.2356 1.1073 1.2833 1.2363 2005 1.4013 1.2156 1.5405 1.3182 首 页 上 页 下 页 尾 页
( X 0 , X1, x0 (1) x1 (1) x0 (2) x1 (2) , Xn) x0 ( N ) x1 ( N )
xn (1) xn (2) (6.3) xn ( N ) N ( n 1)
常用的无量纲化方法有均值化法(6.4)、初值化法 (6.5)等.
(6.7)
min 0i (k )
(min)
(6.8)
4.计算关联系数 对绝对差值阵中数据作如下变换：
(min) (max) 0i (k ) 0i (k ) (max)
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(6.9)
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得到关联系数矩阵：
01 (1) 02 (1) (2) (2) 01 02 01 ( N ) 02 ( N )
式中分辨系数 在(0,1)内取值,一般情况下依据 (6.10)中数据情况多在0.1至0.5取值, 越小越能 提高关联系数间的差异.关联系数 0i (k ) 是不超 过1的正数, 0i (k ) 越小, 0i (k ) 越大,它反映第i 个比较序列Xi与参考序列X0在第k个期关联程度.
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01 (t )
x0 (t ) x2 (t )
0.0492 0.0704 0.0785 0.0112 0.0477 0.1392
02 (t )
x0 (t ) x3 (t )
0.0119 0.0289 0.0694 0.0278 0.0006 0.0832
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01 (t )
0.4191 0.3796 0.5808 0.7055 0.3696 0.2881
02 (t )
0.6067 0.5178 0.4903 0.8761 0.6141 0.3510
03 (t )
0.8687 0.7257 0.5213 0.7338 1.000 0.4758
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第七章 灰色关联度评价法
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1. 灰色关联分析(GRA)方法
灰色关联分析是一种多因素统计分析方法,它是以 各因素的样本数据为依据用灰色联度来描述因素 间关系的强弱、大小和次序的.
如果样本数据列反映出两因素变化的态势(方向、 大小、速度等)基本一致,则它们之间的关联度较 大；反之关联度较小. 与其他传统的多因素分析 方法相比,灰色关联分析对数据要求较低且计算 量小,便于广泛应用. GRA分析的核心是计算关联度,下面通过一个例子 来说明计算关联度的思路和方法.
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重庆市科技投入状况分析及其与经济增长 的灰色关联研究 重庆作为我国长江上游富有活力的经济中心，科 技活动和科技进步的总体态势良好，对重庆市社 会经济发展的贡献越来越大，有力地推动了经济 增长和社会进步。 通过对重庆市1997～2003年科技投入状况的全面 分析，论证了科技投入与经济增长的灰色关联关系
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最后分别对各产业与GDP的关联系数序列求算术 平均可得
1 r01 (0.4191 0.3796 0.5808 0.7055 6 0.3696 0.2881) 0.4571 1 r02 (0.6067 0.5178 0.4903 0.8761 6 0.6141 0.3510) 0.5760 1 r03 (0.8687 0.7257 0.5213 0.7338 6 1.000 0.4758) 0.7209
0 (min) 0i (t ) (max)
因而
0i (t ) (min) 0 1 (max) (max)
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0i (t ) 显然 (max) 越大,说明两序列(xi和x0)的变化态势 (t )
一致性弱,反之,一致性强,因此可考虑将
03 (t )
2000 2001 2002 2003 2004 2005
接下来应该是三个绝对值序列分别求平均再进行 比较,就可以解决问题了.但仔细观察表6-3中的数 据会发现绝对差值数据序列的数据间存在着较大 的数量级差异(最大为0.1587,最小的为0.0006,相差 300多倍),不能直接进行综合,还需要对其进行一次 规范化. 设(max)和(min)分别表示表6-3中绝对值 0i (t ) 的最大数和最小数，则
0i
(max)
取
倒反向,为了规范化后数据在[0,1]内,可考虑
(min) / (max) 0i (t ) / (max)
由于在一般情况下, (min) 可能为零(即某个0i (t ) 为零)故将上式改进为
在0和1之间取值.
(min) / (max) 0i (t ) / (max)
0 n ( N ) N n
0 n (1) 0 n (2)
(6.10)
5.计算关联度
比较序列Xi与参考序列X0的关联程度是通过N个关 联系数(即(6.10)中第i列)来反映的,求平均就可得 到Xi与X0的关联度
1 r0i 0i (k ) N k 1
6.依关联度排序
0i (k ) x0 (k ) xi (k )
i 0,1, , n; k 1, 2, ,N
(6.6)
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绝对差值阵中最大数和最小数即为最大差和最小 差：
1i n 1 k N
max 0i (k )
1i n 1 k N
(max)
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r0i称为序列x0和xi(i=1,2,3)的灰色关联度.由于 r03 r02 r01, 因而第三产业产值与GDP的关 联度最大,其次是第二产业、第一产业. 可以看出,灰色关联分析需要经过以下几个步骤： 1.确定分析序列
在对研究问题定性分析的基础上,确定一个因变量 因素和多个自变量因素.设因变量数据构成参考序 ,各自变量数据构成比较序列 X i(i 1, 2, , n), 列 X0 n+1个数据序列成成如下矩阵：
灰色关联分析的目的是揭示因素间关系的强弱. 其操作对象是因素的时间序列.最终的结果表现 为通过关联度对各比较序列做出排序.综合评价 的对象也可以看作是时间序列(每个被评事物对 应的各项指标值),并且往往需要对这些时间序列 做出排序.因而可以借助于灰色关联分析来进行. 比较序列自然是由被评事物的各项指标值构成
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, X 1, (X0
其中
(1) x1 (1) x0 (2) x (2) x 0 1 ) , Xn ( N ) x1 ( N ) x0
(1) xn (2) xn (6.2) ( N ) N ( n 1) xn
两序列变化的态势是表现在其对应点的间距上.如 果各对应点间距均较小,则两序列变化态势的一致 性强,否则,一致性弱.分别计算各产业产值与GDP 在对应期的间距(绝对差值),结果见表6-3所示.
年份t
x0 (t ) x1 (t )
0.1044 0.1231 0.0547 0.0319 0.1284 0.1857
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的序列,那么参考序列是什么呢？考虑到要用 比较序列与参考序列的关联度来对各比较序列 排序,参考序列应该是一个理想的比较标准.受 到距离评价方法的启示,可选最优样本数据作为 参考序列,与其关联度越大则越好. 设用p个指标 x1 , x2 , , x p(不失一般性,设其均 为正向指标),对n个样本进行评价,无量纲化后 形成如下数据矩阵：
X i ( xi(1), xi(2),
, xi( N ))T , i 0,1, 2,
,n
N为变量序列的长度.
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2.对变量序列进行无量纲化 一般情况下,原始变量序列具有不同的量纲或数量 级,为了保证分析结果的可靠性,需要对变量序列 进行无量纲化.无量纲化后各因素序列形成如下矩 阵：
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这样的问题很有实际意义,一个自然的想法就是分 别将三次产业产值的时间序列与GDP的时间序列 进行比较,为了能够比较,先对各序列进行无量纲化, 这里采用均值化法.各序列的均值分别为：2716, 461.5,1228.83,1025.67,上表中每列数据除以其均值 可得均值化序列(如表6-2所示)
(min) 0.0006, (max) 0.1857
0.0006 0.4 0.1857 01 (2000) 0.4191 0.1044 0.4 0.1857
同样可计算出表6-4中其余关联系数.
表6-4
年份t 2000 2001 2002 2003 2004 2005
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表6-1是某地区2000-2005年国内生产总值的统计 资料.现在提出这样的问题：该地区三次产业中, 哪一产业的变化与该地区国内生产总值(GDP)的 变化态势更一致？也就是哪一产业与GDP的关联 度最大呢？ 表6-1 某地区国内生产总值统计资料(百万元)
年份 国内生产总值 第一产业 第二产业 第三产业 2000 1988 386 839 763 2001 2061 408 846 808 2002 2335 422 960 953 2003 2750 482 1258 1010 2004 3356 511 1577 1268 2005 3806 561 1893 1352
0i (t )
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上式可变形为
(min) (max) 0i (t ) 0i (t ) (max) i 1, 2,3; t 2000, , 2005
(6.1)
0i (t )称为序列xi和序列x0在第t期的灰色关联系 数(或简称为关联系数). 由(6.1)式可以看出, 取值的大小可以控制(max) 对数据转化的影响, 取较小的值,可以提高关联 系数间差异的显著性,因而称 为分辨系数. 利用(6.1)对表6-3中绝对差值0i (t ) 进行规范化,取 0.4, 结果见表6-4,以01 (2000)计算为例：
N
(6.11)
对各比较序列与参考序列的关联度从大到 小排序，关联度越大，说明比较序列与参考序 列变化的态势越一致．
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从上边也可以看出,关联度的几何含义为比较序 列与参考序列曲线的相似与一致程度.如果两序 列的曲线形状接近,则两者关联度就较大,反之, 两者关联度就较小．
2. 用灰色关联分析进行综合评价
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xi (k )
xi(k ) 1 N
x ( k )
k 1 i
N
(6.4)
xi(k ) xi (k ) xi(1)
i 0,1,
(6.5)
,N
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, n; k 1, 2,
3.求差序列、最大差和最小差 计算(6.3)中第一列(参考序列)与其余各列(比较序 列)对应期的绝对差值,形成如下绝对差值矩阵： 0 n (1) 01 (1) 02 (1) (2) (2) (2) 01 02 0 n 0 n ( N ) N n 01 ( N ) 02 ( N ) 其中
年份t GDP x0(t) 一产业 x1(t) 二产业 x2(t) 三产业 x3(t) 2000 0.7320 0.8364 0.6828 0.7440 2001 0.7588 0.8819 0.6885 0.7878 2002 0.8597 0.9144 0.7812 0.9291 2003 1.0125 1.0444 1.0237 0.9847 2004 1.2356 1.1073 1.2833 1.2363 2005 1.4013 1.2156 1.5405 1.3182 首 页 上 页 下 页 尾 页
( X 0 , X1, x0 (1) x1 (1) x0 (2) x1 (2) , Xn) x0 ( N ) x1 ( N )
xn (1) xn (2) (6.3) xn ( N ) N ( n 1)
常用的无量纲化方法有均值化法(6.4)、初值化法 (6.5)等.
(6.7)
min 0i (k )
(min)
(6.8)
4.计算关联系数 对绝对差值阵中数据作如下变换：
(min) (max) 0i (k ) 0i (k ) (max)
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(6.9)
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得到关联系数矩阵：
01 (1) 02 (1) (2) (2) 01 02 01 ( N ) 02 ( N )
式中分辨系数 在(0,1)内取值,一般情况下依据 (6.10)中数据情况多在0.1至0.5取值, 越小越能 提高关联系数间的差异.关联系数 0i (k ) 是不超 过1的正数, 0i (k ) 越小, 0i (k ) 越大,它反映第i 个比较序列Xi与参考序列X0在第k个期关联程度.
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01 (t )
x0 (t ) x2 (t )
0.0492 0.0704 0.0785 0.0112 0.0477 0.1392
02 (t )
x0 (t ) x3 (t )
0.0119 0.0289 0.0694 0.0278 0.0006 0.0832
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01 (t )
0.4191 0.3796 0.5808 0.7055 0.3696 0.2881
02 (t )
0.6067 0.5178 0.4903 0.8761 0.6141 0.3510
03 (t )
0.8687 0.7257 0.5213 0.7338 1.000 0.4758
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第七章 灰色关联度评价法
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1. 灰色关联分析(GRA)方法
灰色关联分析是一种多因素统计分析方法,它是以 各因素的样本数据为依据用灰色联度来描述因素 间关系的强弱、大小和次序的.
如果样本数据列反映出两因素变化的态势(方向、 大小、速度等)基本一致,则它们之间的关联度较 大；反之关联度较小. 与其他传统的多因素分析 方法相比,灰色关联分析对数据要求较低且计算 量小,便于广泛应用. GRA分析的核心是计算关联度,下面通过一个例子 来说明计算关联度的思路和方法.
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重庆市科技投入状况分析及其与经济增长 的灰色关联研究 重庆作为我国长江上游富有活力的经济中心，科 技活动和科技进步的总体态势良好，对重庆市社 会经济发展的贡献越来越大，有力地推动了经济 增长和社会进步。 通过对重庆市1997～2003年科技投入状况的全面 分析，论证了科技投入与经济增长的灰色关联关系
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最后分别对各产业与GDP的关联系数序列求算术 平均可得
1 r01 (0.4191 0.3796 0.5808 0.7055 6 0.3696 0.2881) 0.4571 1 r02 (0.6067 0.5178 0.4903 0.8761 6 0.6141 0.3510) 0.5760 1 r03 (0.8687 0.7257 0.5213 0.7338 6 1.000 0.4758) 0.7209
0 (min) 0i (t ) (max)
因而
0i (t ) (min) 0 1 (max) (max)
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0i (t ) 显然 (max) 越大,说明两序列(xi和x0)的变化态势 (t )
一致性弱,反之,一致性强,因此可考虑将
03 (t )
2000 2001 2002 2003 2004 2005
接下来应该是三个绝对值序列分别求平均再进行 比较,就可以解决问题了.但仔细观察表6-3中的数 据会发现绝对差值数据序列的数据间存在着较大 的数量级差异(最大为0.1587,最小的为0.0006,相差 300多倍),不能直接进行综合,还需要对其进行一次 规范化. 设(max)和(min)分别表示表6-3中绝对值 0i (t ) 的最大数和最小数，则
0i
(max)
取
倒反向,为了规范化后数据在[0,1]内,可考虑
(min) / (max) 0i (t ) / (max)
由于在一般情况下, (min) 可能为零(即某个0i (t ) 为零)故将上式改进为
在0和1之间取值.
(min) / (max) 0i (t ) / (max)
0 n ( N ) N n
0 n (1) 0 n (2)
(6.10)
5.计算关联度
比较序列Xi与参考序列X0的关联程度是通过N个关 联系数(即(6.10)中第i列)来反映的,求平均就可得 到Xi与X0的关联度
1 r0i 0i (k ) N k 1
6.依关联度排序
0i (k ) x0 (k ) xi (k )
i 0,1, , n; k 1, 2, ,N
(6.6)
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绝对差值阵中最大数和最小数即为最大差和最小 差：
1i n 1 k N
max 0i (k )
1i n 1 k N
(max)
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r0i称为序列x0和xi(i=1,2,3)的灰色关联度.由于 r03 r02 r01, 因而第三产业产值与GDP的关 联度最大,其次是第二产业、第一产业. 可以看出,灰色关联分析需要经过以下几个步骤： 1.确定分析序列
在对研究问题定性分析的基础上,确定一个因变量 因素和多个自变量因素.设因变量数据构成参考序 ,各自变量数据构成比较序列 X i(i 1, 2, , n), 列 X0 n+1个数据序列成成如下矩阵：
灰色关联分析的目的是揭示因素间关系的强弱. 其操作对象是因素的时间序列.最终的结果表现 为通过关联度对各比较序列做出排序.综合评价 的对象也可以看作是时间序列(每个被评事物对 应的各项指标值),并且往往需要对这些时间序列 做出排序.因而可以借助于灰色关联分析来进行. 比较序列自然是由被评事物的各项指标值构成
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, X 1, (X0
其中
(1) x1 (1) x0 (2) x (2) x 0 1 ) , Xn ( N ) x1 ( N ) x0
(1) xn (2) xn (6.2) ( N ) N ( n 1) xn
两序列变化的态势是表现在其对应点的间距上.如 果各对应点间距均较小,则两序列变化态势的一致 性强,否则,一致性弱.分别计算各产业产值与GDP 在对应期的间距(绝对差值),结果见表6-3所示.
年份t
x0 (t ) x1 (t )
0.1044 0.1231 0.0547 0.0319 0.1284 0.1857
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的序列,那么参考序列是什么呢？考虑到要用 比较序列与参考序列的关联度来对各比较序列 排序,参考序列应该是一个理想的比较标准.受 到距离评价方法的启示,可选最优样本数据作为 参考序列,与其关联度越大则越好. 设用p个指标 x1 , x2 , , x p(不失一般性,设其均 为正向指标),对n个样本进行评价,无量纲化后 形成如下数据矩阵：
X i ( xi(1), xi(2),
, xi( N ))T , i 0,1, 2,
,n
N为变量序列的长度.
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2.对变量序列进行无量纲化 一般情况下,原始变量序列具有不同的量纲或数量 级,为了保证分析结果的可靠性,需要对变量序列 进行无量纲化.无量纲化后各因素序列形成如下矩 阵：
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这样的问题很有实际意义,一个自然的想法就是分 别将三次产业产值的时间序列与GDP的时间序列 进行比较,为了能够比较,先对各序列进行无量纲化, 这里采用均值化法.各序列的均值分别为：2716, 461.5,1228.83,1025.67,上表中每列数据除以其均值 可得均值化序列(如表6-2所示)