9-积分习题课

C﹨{0}不是单连通的;
O 1 (ln z ) 在原点与负 -i z 1 实轴上不成立，即 ln z 不是 在区域D上的原函数。 z 以上两点不符合定理条件，导致错误发生。
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x
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错误解法二
因为1/z在单连通
C2
y i
D
x
区域D= C\{z| Im(z)=0,Re (z) ≤ 0} 1 内解析, (ln z ) 在D内成立, z
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由积分的参数计算公式计算可知，积分(1)(2)相等； 但不能利用复合闭路定理得到积分(1)等于积分(2)， 因为被积函数处处不解析。
解2
对被积函数作恒等变形,利用复合闭路定理
2
z |z| 1 (1) dz dz 4 dz 0 2 2 | z| 2 z | z| 2 z | z| 2 z z 1 1 (2) dz 16 dz 16 dz 0。 2 2 | z| 4 z | z| 4 z | z| 2 z
4. 路径无关、原函数积分计算公式
f 在单连通区域D内解析,
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(1)

l1
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz;
l2 z1
z2
l1 , l2均以z1 , z2 D为起讫点, l1 , l2 D。
(2)

z2
z1
f ( z)dz ＝F( z) z ， F ( z) f ( z)在D内成立。 1
内解析， ( 2) F ( z ) f ( z )在单连通区域内成立 , (3)积分
曲线C D; 后者只要求被积函数在积分区间上连续。
下面用例3(2)来说明定理3.2.7的条件稍不满足，
就可能产生错误。
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错误解法一 因为1/z在区域 D = C﹨{0} 内解析, 1 且 (ln z ) , C2 D, 所以 z i 1 1 i i。 C2 z dz i z dz ln z i ln i ln(i) y D i C2 错误分析： ①区域 D =
2z 1 例4 计算 2 dz C : 包含圆周 z 1在内的 C z z 任意正向简单闭曲线 . 1 1 解 原式 ( )dz C z 1 z 1 1 y dz dz C1 C2 z 1 C1 C2 z C 1 1 C1 C2 dz 0, dz 0 C1 z 1 C2 z x o 1 1 1
又解
v y2 2 x y v 2 xy ( x) 偏 y 2 v 积 x v 2 y ' ( x) 2 y x 分 x 2 x 法 ' ( x) x ( x ) c 2 2 2 y x v( x, y) 2 xy c 2 2 1 2 1 2 2 2 f ( z ) ( x y xy ) i ( x 2 xy y c) 2 2
练习
1.
计算下列积分值 z I dz 2 ( z i)(9 z ) z 2
1 2. I dz 2 (9 z ) c C为不经过z = 3i, z = -3i 任意简单正向闭曲线：
3. z3 z I dz 3 ( z 4) z i 5
1. ; 2. 0, , ,0; 3. 24i 5 3 3
v u v u 2x y 2 y x y x x y v v dv dx dy (2 y x)dx (2 x y )dy x y ( x, y ) v( x, y) (2 y x)dx (2 x y)dy c
原式
C1 z z 1 2i 2i 4i C2
dz
dz
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例5
解

C1 C2
1 计算 2 dz C : 包含圆周z 1在内的 C z z 任意正向简单闭曲线 . 1 1 原式 ( )dz C z 1 z y 1 1 C dz dz
i 1 1 i dz dz ln z i ln i ln( i ) i。 所以 C2 z i z
O -i
1 (ln z ) 错误分析：虽然1/z在单连通区域D内解析， z 在D内也成立, 但 C2 D,
以上一Fra Baidu bibliotek不符合定理条件，导致错误发生。
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2 2
i 2 i 即f ( z ) (1 ) z 2 2

1 x ( z z ), 2
1 y ( z z) 2i
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v v dx dy 又解 dv 凑 x y 全 (2 y x)dx (2 x y )dy 2 ydx 2 xdy xdx ydy 微 x2 y2 分 2dxy d ( ) 2 2 法 x2 y2 v( x, y) 2 xy c 2 2 1 2 1 2 2 2 f ( z ) ( x y xy ) i ( x 2 xy y c) 2 2
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例2
计算 zdz, zdz的值, 其中
C1 C2
C1是单位圆z 1的上半圆周, 顺时针方向; C2 是单位圆z 1的下半圆周，逆时针方向.
解:
1 C ee ,0 ,: 1 )) C :: zz 0 ., 11
i i
zdz e
z z (1) dz ; (2) dz。 | z| 2 z | z| 4 z z 解1 f ( z ) 在逆时针圆周曲线上连续， z | z | a 的参数方程为：z aeit , t : 0 2 , -it 2 2 z ae it |z|a z dz 0 aeit ae idt ai0 (cost i sin t )dt 0
C1 0 C2
0
i
ie d i dt i
i
0

i i, 0. 2 ) C : z e 2)C z e , : 0. 22 :
zdz e
i
ie d i dt i
i
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又解 f ' ( z) ux ivx ux iu y
不 定 积
(2 x y ) i ( x 2 y )
2( x iy) i( x iy)
(2 i)(x iy)
2 i z
分
法
2i 2 f ( z ) (2 i ) zdz z ic 2 1 2 1 2 2 2 f ( z ) ( x y xy ) i ( x 2 xy y c) 2 2
( 0, 0 )
u x xy y
2
2
f (i) 1 i
xdx (2 x y)dy c
o 0
x
y
x2 y2 2 xy c 2 2
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曲线积分法
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1 2 1 2 故 f ( z ) ( x y xy ) i ( x 2 xy y c) 2 2 1 f (i ) 1 i代入上式得，c 2 1 2 1 2 1 2 2 f ( z ) ( x y xy ) i ( x 2 xy y ) i 2 2 2 i 1 1 2 1 2 2 ( x iy ) ( x iy ) i (1 i ) z i 2 2 2 2
z 1

C1 C2
z

1 1 原式 dz dz C2 z 1 C1 z 2i 2i 0
C1
1 1 dz 0, dz 0 C 2 z z 1
C1
C2
1
o
x
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例6 解
由下列条件求解析函数 f ( z) u iv
第三章
习题课
复变函数积分的计算
基本公式
1. 复积分的实积分计算公式

C
f ( z )dz

C
udx vdy i vdx udy 。
C
2. 复积分的参数计算公式 β C f ( z )dz α f ( z (t )) z ' (t )dt。 C： z z (t ), t : , f 在光滑曲线C上连续。 3. Cauchy积分定理、复合闭路定理 f ( z )dz 0; f 在 上连续，在 内部解析。
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1 dz 其中积分曲线Ck (k=1,2)是 z
-i
且 C1 D1 , 所以 i 1 1 i C1 z dz i z dz ln z i
C2
y i
O
D1
C1
x
ln i ln(i) i。
2
-i
(2) 设 C＝C1 C , 则曲线C是逆时针方向的光滑 1 1 闭曲线。由例3.2.1 C C dz C dz 2i, 1 2 z z 由积分曲线可分性

C2
1 dz z
1 1 C1 z dz C z dz i 2i i。
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注 : 定理3.2.7与微积分中的Newton Leibniz
定理很相似,只是条件 比 Newton Leibniz 定 理
要强得多 , 前 者 要 求(1) 被 积 函 数 在 单 连 通 区 域D
0
例3
计算积分 C
k
(1) C1为右半圆周:|z|=1,Re (z) ≥ 0,起点为－i , 终点为i。 2 y x i D1 (2) C2为左半椭圆 y 2 1, C2 2 Re (z) = x ≤0, 起点为－i, 终 x C1 O 点为i。 解 被积函数1/z在区域C﹨{0}内解析， (1)取单连通区域D1= C ﹨ { z | I m (z)=0, Re (z) ≤ 0}, 1 则被积函数1/z在区域D1内解析, (ln z ) 在D1内成立， z
z2
5. Cauchy积分公式及高阶导数公式
n! f ( z) ( n) dz f ( z0 ), n 0， 1,2, n 1 2i C ( z z0 )
f 在C的上及其内部解析, C包围z0。
6. 调和函数构造解析函数
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例题解析
例1 (P101 Ex.11) 下列积分是否相等？可否利用 复合闭路定理得到积分（1）等于积分（2）？
作业
P99
4;7(6)(9);8(4);12;14;21;29(2);31
再见！