数学全国版教案 八升九-3中点的联想(一)

《动态数学思维》教案
一、导入
1.师生谈话
师：在几何的学习中，尤其是在通过添加辅助线的几何证明中提到“中点”同学们会联想到哪些知识？
讨论回答或提问回答（教师注意掌握提问时间，不易过长）
生1：等腰三角形中底边上有中点时，可以利用“三线合一”.
生2：出现“中点”还可以想中位线，或者是“直角三角形斜边中线等于斜边一半”.
生3：还有“倍长中线”.
……
师：同学们回答的还是比较全面的，下面，我们通过本节课的动画导入看看我们需要学习的知识.
2.播放导入
师：通过同学们的总结以及动画导入，我们了解了四种有关中点的联想，它们分别是……
生：三线合一、倍长中线、中位线、斜边中线.
3.出示“聚焦课标”中的“三线合一”内容
师：本节课我们先通过例题学习“三线合一”与“倍长中线”的用法，首先了解一下“三线合一”的基本图形.
聚焦课标
1.三线合一
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
①已知等腰三角形底边中点（点P），可将其与顶点连接，构造“三线合一”.
①图②图
②已知等腰三角形，可由顶点向底边作垂线，构造“三线合一”.
师：①已知等腰三角形底边中点（点P），可将其与顶点连接，构造“三线合一”；②已知等腰三角形，可由顶点向底边作垂线，构造“三线合一”.
师：下面我们一同学习本节课的例1.
4.出示例1
二、教学新授----典例呈现
题型一三线合一的应用（1）
例1 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC的中点，P为BC上任一点，作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F.
求证：DE=DF且DE⊥DF.
参考图
答案：
证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴∠C=∠DAE=45°，AD=CD=1
2
BC，AD⊥BC.
∵PF⊥AC，∠C=45°，
∴∠FPC=∠C=45°，
∴PF=FC.
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEDF是矩形，
∴AE=PF.
∴AE=FC.
在△ADE和△CDF中，
AE=FC，∠EAD=∠C，AD=CD，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，∠1=∠3，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°.
即DE=DF且DE⊥DF.
1.分析题目
师：哪位同学谈谈对题目的理解
生：在求证两线段的关系时，通常为转化为证明两三角形全等，而本题中既有等腰三角形又有底边的中点，从而可以通过连接三角形顶点与底边中点. 师：A同学说的非常好，也就是说“已知等腰三角形底边中点，可将其与顶点连接，构造“三线合一”.
2.根据班级学员实际情况，可请一名学生详细的说一下证明思路
3.独自书写证明过程，教师巡视
4.出示本节“拓展延伸”题目
拓展延伸
如图，两个等腰直角△ABC与△DEB，点E，B，C在同一条直线上，P为EC中点.猜想PD与P A的关系并证明.
参考图
答案：
解：猜想：PD=P A，且PD⊥P A.证明如下：
延长线段ED和CA交于点O，连接OP.
在等腰直角△EDB中，∠EDB=90°，BD=ED，∠E=45°，
在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，
∵∠C=∠E=45°，
∴△EOC为等腰直角三角形，OE=OC，∠EOC=90°.
∵P为EC的中点，
∴OP=EP=PC，∠COP=1
2
∠EOC=45°.
EP=OP，∠E=∠POA，DE=AO，∵∠ODB=180°-∠EDB=90°，∠BAO=180°-∠BAC=90°，
又∵∠DOA=90°，
∴四边形OABD是矩形，
∴OA=BD=DE.
在△DPE和△APO，
∴△DPE≌△APO，
∴PD=P A，∠2=∠1.
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°.
即PD⊥P A，P A=PD.
1.简单分析题目
师：大家看看这个题目，与例1所求证的相同，也是说明两线段的关系，在观察这个图形，你有什么发现呢？
生：与例1的图形有些类似，但又有不同
师：因此我们可以如何处理呢？
生：可以还原为例1的图形，∠E与∠C都等于45°，从而分别延长ED 与CA就可以还原为例1的图了.
2.提问，教师巡视时在例1的证明上不熟练的学生回答思路
3.出示例1“以渔得鱼”，学生独立解答
以渔得鱼
如图1，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB，EF的中点均为O，连接BF，CD.
（1）求证：BF=CD；
（2）将图1中Rt△DEF绕点O旋转得到图2，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论.
图1 图2
题型二三线合一的应用（2）
例2 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD 于点E，延长AE交BC于F.
求证：∠ADB=∠CDF.
参考图
答案：
证明：过点A作AH⊥BC于点H，交线段BD于点G，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AH⊥BC，
∴∠C=∠1=∠CAH=45°，∠2+∠BAE=90°.
∵AE⊥BD，
∴∠2+∠BAE=90°，
∴∠2=∠3.
在△ABG和△CAF中，
∠2=∠3，AB=AC，∠1=∠C，
∴△ABG≌△CAF，
∴AG=CF.
∵D是AC的中点，
∴AD=DC，
在△ADG和△CDF中，
AD=CD，∠DAG=∠C，AG=CF，
∴△ADG≌△CDF，
∴∠ADB=∠CDF.
1.出示例2，分析
师：例1中我们利用等腰三角形“三线合一”的性质证明了线段间的关系，同样地，也可以利用等腰三角形“三线合一”的性质以及通过证明三角形全等来求证两角的数量关系.
2.提问如何作辅助线
生：过点A作底边的垂线.
师：好，我们按着这位同学的想法，作出这样的辅助线，那么有全等三角形出现吗？
生：易证△ABG和△CAF全等.
3.请学生详细的说明一下△ABG和△CAF全等的思路
4.继续分析
师：通过证明两三角形全等，可以得到∠ADB=∠CDF吗？
生：还不可以，但是可以利用△ABG和△CAF全等的性质，再次证明含有∠ADB与∠CDF的两个三角形全等.
师：哪一对三角形呢？
生：△ADG和△CDF.
5.教师总结思路
师：通过大家力量，我们可以将证明∠ADB=∠CDF的思路总结如下：
①过点A作AH垂直于BC，垂足为H，交BD于G；
②利用等角的余角相等及等腰三角形性质可证明△ABG≌△CAF；
③利用△ABG≌△CAF的性质可证明△ADG≌△CDF；
④利用△ADG≌△CDF的性质可证∠ADB=∠CDF.
6.利用教师总结思路，学生独自书写过程，教师巡视书写情况
7.出示例2“以渔得鱼”，请学生说明证明思路
以渔得鱼
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，M是边AC上两点，且AD=CM，AE⊥BD于点E，延长AE交BC于F.
求证：∠ADB=∠CMF.
参考图
答案：
证明：过点A作AH⊥BC于点H，交线段BD于点G，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AH⊥BC，
∴∠C=∠1=∠CAH=45°，∠2+∠BAE=90°.
∵AE⊥BD，
∴∠2+∠BAE=90°，
∴∠2=∠3.
在△ABG和△CAF中，
∠2=∠3，AB=AC，∠1=∠C，
∴△ABG≌△CAF，
∴AG=CF.
在△ADG和△CDF中，
AD=CM，∠DAG=∠C，AG=CF，
∴△ADG≌△CDF，
∴∠ADB=∠CDF.
三、知识检验
2.如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD=BD，CD⊥AC，则有（）
A. AB=2AC
B. AB=3
2 AC
C. AB=3AC
D. AB=5
3 AC
4.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为________.
5.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD
交BD的延长线于E，且AE=1
2 BD.
求证：BD是∠ABC的角平分线.
四、课堂小结
在求证两线段之间关系或角度之间关系时，我们可转化为证明相应的三角形全等，特别地，在等腰三角形中可利用“三线合一”的性质
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
①已知等腰三角形底边中点（点P），可将其与顶点连接，构造“三线合一”.
②已知等腰三角形，可由顶点向底边作垂线，构造“三线合一”.
第二课时
复备内容及讨论记录教学过程
一、导入
师：上节课我们学习了在等腰三角形中利用“三线合一”的性质证明线段、
角的关系，本节课，接下来我们继续探究有关中点的联想.首先，请同学看
一下这样一个题目.
考点情境
我们知道，在同一个三角形中较长的边对应的角较大（大边对大角），同样的，在同一个三角形中较大的角对应的边较长（大角对大边）.例如，如图
1，在△ABC中，AB＞AC，那么∠C＞∠B.若在△ABC中，AB＞AC，AD为
BC边的中线，如图2，试比较∠DAB与∠DAC的大小.
图1 图2
图2参考图
答案：
解：∠DAB＜∠DAC，理由如下：
延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，
在△ACD和△EBD中，
AD=DE，
∠ADC=∠EDB，
CD=BD，
∴△ACD≌△EBD，
∴AC=BE，∠DAC=∠E.
在△ABE中，AB＞AC=BE，
①图②图
②遇到两平行线所截得的线段的中点时，可延长中线或类中线，构造“8”字形全等三角形.
二、教学新授----典例呈现
师：下面，我们一同学习如何利用“倍长中线”证明相关结论
题型三倍长中线的应用（1）
例3已知△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，∠EDF=90°.
图1 图2 图2参考图
（1）如图1，若E，F分别在AC，CB边上，猜想AE2，BF2和EF2之间的等量关系为______________.
（2）若E，F分别在CA，BC的延长线上（如图2），判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明结论.
答案：
（1）BF2+AE2=EF2
（2）证明：延长ED至点G，使ED=DG，连接BG和FG.
在△ADE和△BDG中，
AD=BD，∠ADE=∠BDG，DE=DG，
∴△ADE≌△BDG，
∴AE=BG，∠EAD=∠DBG.
又∵DE⊥DF，DE=DG，
∴EF=FG.（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵∠EAD=∠1+∠BCA，∠DBG=∠1+∠2，
∴∠2=∠BCA =90°.
在Rt△FBG中，BG2+FB2 =FG2，
∴AE2+FB2=EF2.
1.出示例3，分析
师：对（1）中问题，同学们应该是比较熟悉了，请一位同学直接说一下证明思路吧
2.学生直接回答并简单说明证明思路
3.教师简答总结（1）
师：对于猜想不在同一三角形中三线段平方的关系时，通常该三线段平方关系定与勾股定理有关，也就是要将其三线段转化到同一直角三角形中进行说明.
4.分析（2）中问题
师：若E，F分别在CA，BC的延长线上（如图2），判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明结论.
生：依然成立，方法与（1）中相同
师：此类证明问题前后方法基本一致，那么在这个问题中，我们将哪个线段当作“中线”呢？也就是我们要倍长哪一条线段？
生：将ED看作“中线”，并将其倍长相对比较简单.
师：也就是说，我们要倍长ED后，证明相应三角形全等，进而达到将AE，BF和EF三线段转化到同一直角三角形的目的.
5.学生独自证明后，回答
6.出示例3“以渔得鱼”，学生尝试证明（教师也可简单分析后，学生解答，难点在于二次全等证明）
以渔得鱼
如图所示，等腰直角△ABC与等腰直角△BEF具有公共的顶点B，且点B，F，C在同一条直线上，点P为CF的中点，连接P A，PE.猜想线段P A，PE 的关系并加以证明.
（2）将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.
图1 图2
图1参考图图2参考图
答案：
（1）MD=FM，MD⊥FM；
（2）解：猜想结论不变，MD=FM，MD⊥FM.证明如下：
延长DM交线段CE于点N，连接DF和FN.
在正方形ABCD中，AD∥BE，AD=CD，
∴∠DAM=∠NEM，∠ADM=∠ENM.
∵M是AE的中点，
∴AM=EM.
在△ENM和△ADM中，
∠NEM=∠DAM，∠ENM=∠ADM，EM=AM，
∴△ENM≌△ADM，
∴EN=AD=CD.
在正方形CGEF中，CE是对角线，
∴∠DCF=∠FCE=∠FEN=45°，∠CFE=90°，CF=EF.
在△CDF和△ENF中，
CD=NE，∠DCF=∠NEF，CF=EF，
∴△CDF≌△ENF，
∴CF=EF，∠1=∠2.
∵∠2+∠CFN=90°，
∴∠1+∠CFN=90°.
又∵DF=FN，DM=NM，
∴DM=FM，DM⊥FM.
1.出示例4，分析（1）
师：根据“遇到两平行线所截得的线段的中点时，可延长中线或类中线，构造“8”字形全等三角形”的方法，谁能谈一谈如何探究线段MD、MF的关系？
生：延长DM至EF，可构造“8”字形全等三角形”.
2.请学生回答证明方法
3.分析（2）
师：（2）中哪条线段可作为“中线”，哪一组线段又可作为相应的平行线呢？生：DM可作为“中线”，AD与BE可作为相应的一组平行线.
师：我们可以通过延长DM交线段CE于点N，连接DF和FN，构造“8”字形全等三角形”，这样可以探究线段MD、MF的关系吗？
生：还不可以，还要通过二次全等证明.
师：非常好，我们已经多次提到“倍长中线”的两个难点，一为发现“中线”；二为二次全等证明.
4.出示例4的“以渔得鱼”（可相互讨论）
师：利用例4的解答方法，同学们思考下面的“以渔得鱼”题目.
以渔得鱼
如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°.
图1 图2
（1）探究PG与PC的关系为______________________.
（2）若将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线
BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.
图1参考图图2参考图
答案：
（1）PG⊥PC，PG=3PC；
（2）解：猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长GP交AD于点H，连结CH，CG．
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP．
由题意可知AD∥FG．
∴∠GFP=∠HDP，∠PGF=∠PHD，
∴△GFP≌△HDP．
∴GP=HP，GF=HD.
∵GF=GB，
∴HD=GB.
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°．
∴∠3=60°．
∴∠HDC=∠3，
∴△HDC≌△GBC．
∴CH=CG，∠1=∠2．
∴∠1+∠HCB=∠2+∠HCB=120°．
即∠HCG=120°．
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°．
在Rt△PCG中，CG=2PC，PG=22
GC PC
=3PC．
即PG⊥PC，PG=3PC．
5.教师小结
师：遇到两平行线所截得的线段的中点时，可延长中线或类中线，构造“8”字形全等三角形.另外，需注意其两个难点：一为确定“中线”；二为二次全等证明.总之，“题中有中线，莫忘加倍延”.
三、知识检验
1.如图，在△ABC中，D为BC中点，AC=5，AD=7，则AB边的取值范围是（）
A.2＜AB＜12
B. 9＜AB＜19
C. 3＜AB＜17
D. 10＜AB＜14
3.如图，在△ABC中，点D，E为边BC的三等分点，有如下四个结论：①BD=DE=EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+ AE，其中正确结论的序号_______________.（填序号）
6.如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，分别以AB边，AC边为直角边各向形外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，求证：EF=2AD.
拓展创新
在△ABC中，点P为BC的中点.
（1）如图1所示，求证：AP＜1
2
(AB+AC)；
（2）延长AB至点D，使得BD=AC，延长AC至点E，使得CE=AB，连接DE，BE，如图2所示，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明.
图1 图2
图1参考图图2参考图
答案：
（1）证明：延长线段AP至点D，使PD=AP，连接BD和CD.
∵BP=PC，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD.
在△ABD中，AP＜AB+BD，
即2AP＜AB+AC.
∴AP＜1
2
(AB+AC).
（2）
方法一：延长AP至点F，使PF=AP，连接BF，CF和DF.
∵BP=PC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴∠1=∠DAC=60°，BF=AC=BD，
∴△BDF是等边三角形，BD=DF，∠BDF=60°.
∵BD=AC,CE=AB，
∴AD=AB+BD=CE+AC=AE.
又∵∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，AD=DE，∠BDE=60°.
∵∠BDF=∠BDE=60°，
∴点F在线段DE上.
在△ADF和△EDB中，
AD=DE，∠D=∠D，BD=DF，
∴△ADF≌△EDB，
∴AF=BE.
即2AP=BE.
方法二：过点B作BF∥AE交DE于点F，连接CF和BF.
∴∠1=∠BAC=60°.
∵DB=AC，AB=CE，
∴AD=AE，△AED是等边三角形.
∵∠D-∠1=∠2=∠AED=60°，
∴△BDH是等边三角形，
∴BD=DF=BF=AC，
∴四边形ABFC是平行四边形.
∵P是BC的中线，
∴AF，BC互相平分，即A，P，F三点共线，AF=2AP.
在△ADF的△EDB中，
AD=ED，∠D=∠D，DF=DB，
∴△ADF≌△EDB，
∴AF=BE，
∴BE=2AP.
四、课堂小结
常用辅助线添加方法——倍长中线
①△ABC中，AD是BC边中线.
方法一：直接倍长延长AD至点E，使DE=AD，连接BE或CE.若同时连接，则得到平行四边形.
方法二：间接倍长
作CF⊥AD于点F，作BE⊥AD的延长线于E.
延长MD到点N，使DN=MD，连接CN.
②倍长类似中线
2、凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中，构造全等三角形、平移线段.
3、等腰直角三角形较特殊，既有直角三角形的性质又有等腰三角形的性质，所以可考虑连接底边（斜边）中点.
AP=BP=CP，且AP⊥BC，△ABP和△ACP都是等腰直角三角形.
知识检验答案
1. B
2. A
3. ①②③④
4. 1
5.
参考图
证明：延长线段AE和BC交于点F，
∵AE⊥BD，即∠FEB=90°，∠ACB=90°，
∴∠1+∠E=∠2+∠E，即∠1 =∠2.
∵AC=BC，
△ACF≌△BCD，
∴AF=BD.
又∵AE=1
2
BD，∴AE=
1
2
AF，即E是AF的中点.
又∵AE⊥BD，
∴AB=BF，
∴∠2=∠3.
6.
参考图
证明：延长线段AD至点G，使DG=AD，连接BG.
∵DG=AD，∠GDB=∠ADC，DB=DC，
∴△GDB≌△ADC，
∴BG=AC=AF，∠1=∠2.
∴∠ABG=∠2+∠3=∠1+∠3=180°-∠A=∠EAF.
∵AB=AE，∠ABG=∠EAF，BG =AF，
∴△ABG≌△EAF，
∴EF=AG=2AD.
拓展创新：
参考图
（1）证明：延长线段AP至点D，使PD=AP，连接BD和CD.
∵BP=PC，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD.
在△ABD中，AP＜AB+BD，
即2AP＜AB+AC.
∴AP＜1
2
(AB+AC).
（2）参考图
证明：过点B作BF∥AE交DE于点F，连接CF和BF.
∴∠1=∠BAC=60°.
∵DB=AC，AB=CE，
∴AD=AE，△AED是等边三角形.
∵∠D-∠1=∠2=∠AED=60°，
∴△BDH是等边三角形，
∴BD=DF=BF=AC，
∴四边形ABFC是平行四边形.
∵P是BC的中线，
∴AF，BC互相平分，即A，P，F三点共线，AF=2AP. 在△ADF的△EDB中，
AD=ED，∠D=∠D，DF=DB，
∴△ADF≌△EDB，
∴AF=BE，
∴BE=2AP.。