七年级上册有理数复习拓展提高1

有理数
一、常考题型检测 考点1:正数和负数
注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点
②对于正数和负数,不能简单理解为带“＋”号的数是正数,带“—”号的数是负数
例1：向北走2000米与向南走１000米,若规定向北走为正,则向北走2000米可记作 ，向南走１0００米,原地不动分别可记作 易错点:
1、—a 一定是负数吗?
2、下列说法错误的是（ ）
A 、0是自然数
B 、0是整数
C 、0是偶数
D 、海拔０米表示没有海拔 考点2、有理数 1、有理数的分类
注意：1、有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数,如圆周率就不是有理数了。

ﻩ２、０是整数不是分数
例1、把下列各数填在相应的集合内： π,4
1
,-３,2，-1,－0.５8，0，-３.14，0.６18,１０ 整数集合：{ …｝ 分数集合:｛ …｝ 非负数集合：{ …} 有理数集合：｛ …｝ 例2、下列说法正确的是( )
A 有理数分为正数和负数
B 有理数一定表示负数 Ｃ 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数 Ｄ 有理数包括整数和分数 2、数轴(重点) 数轴的含义：
(1)数轴是一条直线，可以向两边无限延伸
（2)数轴的三要素：( ）、( ）、（ ）、这三者缺一不可
(3）数轴一般取右(或向上）为正方向,数轴的原点的选定,正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。

(4）同一数轴的单位长度必须一致ﻩ
例1：如图所示，在数轴上,点依次表示1．５，-２,2，-2．5。

说出个点与原点的位置关系以及与原点的距离是多少个单位长度？
1.5
A -2.5
-3-1
3
1
例2:有理数在数轴上的位置如图所示,求
c
c
b b a ++a 的值 ３.相反数（重点）
定义:（1）只有符号不同．．．．的两个数叫做相反数．．．。

(２）在数轴上分别位置原点的两侧,到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。

例1、有理数
3
1
的相反数是( ) (Ａ)31 （B ）3
1
- （C)3 （D) –3
例2、ａ的相反数是 , 的相反数是 , ０的相反数是 4、绝对值（难点）
绝对值的定义:数轴上表示ａ的点与原点的距离叫做a 的绝对值,记为 ∣a ∣,读作：ａ的绝对值
因为数的绝对值是表示两点之间的距离,所以一个数的绝对值不可能是负数。

即：任何数的绝对值都是正数(0的绝对值是0）
绝对值的代数定义：1)一个正数的绝对值是它本身
２)一个负数的绝对值是它的相反数 3）０的绝对值是0 绝对值的计算规律:
（1） 互为相反数的两个数的绝对值相等 （2） 若b a =，则或;
（3） 若0,0,0===+b a b a 则 例1、如果｜ | = ,下列成立的是（ ） A <0 ≦0 ＞0 ≧0 例2、 的绝对值是8。

例３、若11=-b ,则 ,若==+a a 则,06 。

例４、若5,3==b a ，则b a +等于( )
A 、2
B 、８ Ｃ、2或8 D 、81--或 例5、已知()0122
=++-b ab
a
b
0c
(1) 求的值 (2) 求2008
2008
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a b 的值
例６、计算：
=-+⋯⋯+-+-+-99
1100131412131121 例７、根据0≥a ，解答下列问题
（1)当x 为何值时, 2-x 有最小值?最小值是多少？ （2)当x 为何值时, 43--x 有最大值?最大值是多少？ 易错点：
1、画数轴时,缺少要素
２、已知a a -=，则a 的值是（ ）
A 、正数 Ｂ、负数 C 、非正数 D 、非负数 ３、相反数和倒数的定义相混淆 考点3、有理数的加减(重难点）
例1、如果两个有理数的和是正数,那么这两个数（ )。

（1）都是正数
（2）一个是正数，一个是零
（3）两个数异号，且正数的绝对值较大 D.以上三种情况都有可能 例２、简单计算
(1)()13 4.52⎛
⎫-+- ⎪⎝⎭； (2)()()4.5 6.7+++； (3)()2517++; (4）5121313⎛⎫⎛⎫
-
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
例３、从图（１)中找规律,并在图(２)填上合适的数
ﻩ
例4、下列说法正确的是( )
A.两数相减，被减数一定大于减数
B.0减去一个数仍得这个数
(1)
-6-2
-8-19
-11
-5
(2)
-4
-14
12
C.互为相反的两个数差为0
D.减去一个正数,差一定小于被减数 考点４ 有理数的乘除、乘方
例1、“！”是一种运算符号，并且值为！
！
则200920104321!4;321!3;21!2;1!1⋯⋯⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯== 考点５、近似数与科学计数法
① 近似数:一个与实际数比较接近的数，称为近似数。

② 科学计数法：把一个数记作ａ×10n
形式(其中1≤ a ≤10,n 为整数。

） 题型１ 近似值
例１ 光的速度大约是30０ 000 00０，用科学计数法表示为（ )。

A.9103⨯ 8103⨯ 7103⨯ 9
103.0⨯ 题型2: 精确度
例1 、 下列说法正确的是（ ）
A 、近似数25.０的精确度与近似数25的一样
B 、近似数0．230与近似数0.0２3的精确度一样
C 、近似数４千万与近似数４0００万的精确度一样 题型3: 求近似数
例1、 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值： （1)1.999（精确到0.０１); （2)0．0304９(保留２个有效数字); （3)６７２94(精确到万位)； (4）5８6４（保留2个有效数字） 二、易错题型: １、计算﹣１
2０13
与(﹣1）
20１３
２、关于﹣(﹣a ）２
的相反数,有下列说法：①等于a 2;②等于（﹣a)2
；③值可能为0；④值一定是正数.其中正确的有（ ）
３、下列不是有理数的是（ ） A.-３.１4 B.0 Ｃ.3
7
D.π 4、下列各判断句中错误的是( ） A ．数轴上原点的位置可以任意选定
B.数轴上与原点的距离等于８个单位的点有两个
C.与原点距离等于－2的点应当用原点左边第２个单位的点来表示
Ｄ.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间,一定还存在着表示有理数的点。

５、一个数和它的倒数相等，则这个数是( ） 6、正数–a 的绝对值为；负数–b 的绝对值为
7、如果规定符号“*”的意义是a*(），求2＊(-3)＊4的值。

8、已知1４,(２)2
=4,求的值。

三、拓展题型 １、有理数的巧算 （1）利用运算律
5025249⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛- ()⎪⎭
⎫
⎝⎛---⨯⨯⨯⨯514131215432
（２)裂项相消
例1：计算2010
20091
431321211⨯+
⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯ 变式一:计算：2009
20071
751531311⨯⋅
⋅⋅+⨯+⨯+⨯ 归纳小结：
b
a a
b b a 11+=+；
()11111+-=+n n n n ； ()m n n m n n m +-=+1
1 练习:
1、设三个互不相等的有理数，既可表示为a b a ,,1+的形式，又可表示为b a
b
,,0的形式,求20001999b a +的值 2、已知n m ,互为相反数，b a ,互为负倒数，x 的绝对值等于3，
求()()()2003
2001
231ab x
n m x ab n m x -++++++-的值
2、绝对值
1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。

脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。

去绝对值符号法则:()()()
0000
<=>⎪⎩
⎪
⎨⎧-=a a a a a a 2、恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离; (1)去绝对值符号法则
例1：已知3,5==b a 且a b b a -=-那么=+b a 。

变式一：已知,3,2,1===c b a 且c b a >>，那么()=-+2
c b a 。

(2)绝对值的非负性
例1:已知130a b ++-=,则__________a b 变式：、已知022=-+-a ab ，求()()()()
()()200620061
2211111+++⋅⋅⋅+++++++b a b a b a ab 的值
拓展练习：
1、若m 是有理数,则m m -一定是（ )
A.零 B ．非负数 Ｃ．正数 Ｄ．负数
2、满足b a b a +=-成立的条件是（ ）(湖北省黄冈市竞赛题）
A.0≥ab
B.1>ab
C.0≤ab
D.1≤ab 3、若0>ab ,则
ab
ab b
b a
a -
+
的值等于 。

3、数轴与绝对值结合考查(数形结合) 1、利用数轴能形象地表示有理数;
例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方,有理数b 在原点的左方,那么( )
A ．b ab < Ｂ．b ab > Ｃ．0>+b a D.0>-b a
变式一:如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有( ) A ．１ Ｂ．2 C.3 D ．４ ２、利用数轴能直观地解释相反数;
例2：如果数轴上点A 到原点的距离为3,点Ｂ到原点的距离为5，那么Ａ、B 两点的距离为 。

变式：已知数轴上有A 、B 两点，A 、Ｂ之间的距离为１，点A 与原点O 的距离为３，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。

3、利用数轴解决与绝对值相关的问题。

例4: 有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为（ )
Ａ．c b a -+32 Ｂ.c b -3 C.c b + D ．b c -
变式：已知有理数c b a ,,在数轴上的对应的位置如下图:则b a c a c -+-+-1化简后的结果是（ )
A ．1-b B.12--b a C.c b a 221--+ D ．b c +-21
有理数的巧算
【赛点解析】
1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算,在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧,不仅可以简化运算,提高解题速度，而且可以养成勤于动脑,善于观察到良好习惯。

2、有理数的相关概念和性质法则
⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质
3、常用运算技巧
⑴巧用运算律 ⑵凑整法 ⑶拆项法（裂项相消） ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑹错位相减法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法
【专题精讲】
【例1】计算下列各题
⑴ 32
333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544
-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-
⑵ 12713
923(0.125)(1)(8)()35
-⨯-⨯-⨯-
【例2】计算:1234567891011122005200620072008--++--++--+++--+
【例3】计算：⑴111111261220309900++++++ ⑵1111
133********
++++
⨯⨯⨯⨯ 反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可
以用裂项相消法求值。

①
111
(1)1n n n n =-++ ②
1111()()n n k k n n k =-++ ③
1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ④ 1111
()(1)(1)211
n n n n =--+-+
【例4】（第1８届迎春杯)计算:11112481024
++++
【例5】计算：11212312341235859
()()()()23344455556060606060
++++++++++++++++
【例６】(第8届“希望杯”)计算：
11111111111111(1)()(1)()23200923420102320092010232009
--+-+++---+--+++
【例7】请你从下表归纳出333331234n +++++的公式并计算出:33333123450++++
+的值。

1234
5
2
46810369
1215
4
8
121620
510152025
【实战演练】
1、用简便方法计算:999998998999998999999998⨯-⨯=
２、(第10届“希望杯”训练题)11
111
(1)(1)(1)(1)(1)20042003100210011000
-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-=
３、已知199919991999200020002000200120012001
,,199819981998199919991999200020002000
a b b ⨯-⨯-⨯-=-=-=-
⨯+⨯+⨯+则abc =
４、计算：11
1
111315131517
293133
++
+
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
5、(“聪明杯”试题）2
12424824()139261839n n n n n n
⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅=⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅
6、11111
(1)(1)(1)(1)(1)132435
1998200019992001
+
+++
+⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为( ）
Ａ.１ B.２ Ｃ．3 Ｄ．4 提示:2
2
(1)21n n n +=++ 7、
481216
40
13355779
1921
-+-+-
=⨯⨯⨯⨯⨯
８、计算:2
3
201012222S =+++++
9、计算111
112123123100
+++⋅⋅⋅+
++++++⋅⋅⋅+的值．
10、计算：1111
32010241111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
223234
232010
+++
+
+++++++++的值。

七年级上学期复习要点归纳
第一章有理数
自然数：像0，1,2，3,4，5,6···这样的数叫做自然数(提示:自然数包含0)。

正整数:像···1,２,3,4，5··１00,1０1···这样的数叫做正整数。

负整数:···-１0099··-543２1这样的数叫负整数。

0既不是正数也不是负数。

整数：正整数,0,负整数统称为整数。

正分数：像1215
,,,0.1,5.32
237
这样的数叫正分数。

负分数：像
521
0.5,,,,150.25
237
-----这样的数叫负分数。

分数:分数包括正分数和负分数。

分数不包括０,有限小数、无限循环小数都是分数。

有理数定义分有理数按性质分
典型例题一：１，-0.１,-789，２5，2π，０，－20，-３．14，200%，６/7
正整数集{ …｝
负整数集｛…}
正分数集｛…}
负分数集｛…｝
正有理数集{ …｝
负有理数集｛…}
自然数集｛…｝
有理数集｛…}
非负数：包含0和正数非正数:包含0和负数
典型例题二：最小的自然数,最大的负整数为,最小的正整数位,最大的非正数为,没有最大的正整数和最小的负整数。

判断对错：整数一定是自然数(),自然数一定是整数（）。

数轴：数轴三要素:原点，正方向和单位长度。

负数都在原点左边，正数都在原点右边。

数轴上的点到原点的距离都是非负数。

原点的右边离原点越远的点表示的数越大,原点的左边离原点越远的点表示的数越小。

典型例题三：在数轴上点Ａ表示—4 的点，现在把A点移动3个单位长度,现在Ａ点的位置。

在数轴上点Ａ表示－4 的点,点B表示-5的点,那么点A和点B之间的距离为单位长度。

相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数(0)。

相反数几何定义：在数轴上距离原点距离相等的两个点互为相反数。

相反数等于它本身的数是0,相反数大于它本身的数是负数。

设a表示一个有理数,—a一定是负数吗？
①当ａ为正数时,—a表示负数，②当a为0时,—a表示0
③当a为负数时,—a表示正数.
典型例题四:点a距原点的距离为４,那么a点为.１．6 的相反数为,
２x的相反数为—b的相反数是.如果——5,那么。

数轴上表示互为相反数的两个数的点之间的距离为１0，这两个数为。

如果—ａ，那么表示a 的点在数轴上的什么位置。

符号化简：有多少个+号不影响结果(+号可省略），“—”号的个数为奇数个时只取一个“—”号。

“—”号的个数为偶数个时,不影响结果。

典型例题五：化简下列各数: —(—68)
—（+０.75) —［—(—６）] —(+3.8）
绝对值：数轴上表示数啊a 的点与原点的距离叫做数ａ 的绝对值,计做a。

—3和3到原点的距离是一样的,所以
333-==。

绝对值出来是一个非负数。

一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值等于０,；互为相反数的两个数绝对值相等。

非负数的绝对值是它本身。

①如果a>0，那么
a
， ②如果０,那么
a
=0 ③如果a<0,那么
a
＝—ａ
典型例题六:①如果ａ的绝对值3a =,那么.
②如果10a -=,那么。

如果14a -=，那么
③如果
130a b -++=，那么1。

④写出绝对值小4的所有整数,其中正整数为。

比较大小：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

在数轴上，越往右边数越大。

典型例题七：画出数轴并在数轴上标出,—4,３.5，13-,1
2
-,１．5，３.5，并用<连接。

有理数加法（默写3条法则)：
加法运算规律：小学学过的加法交换律、结合律,在有理数的范围内同样适用，即:两个数相加，交换加数的位置和不变,式子表示为。

三个数相加，先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。

用式子表示()(）。

式子中的字母可以是正数也可以是负数。

典型例题八：
① —2.48+(+4.33)+（—7.52)+（—4.33） ② 23+(－17)＋6＋（-2２） ③
1251143643⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ④133232584545⎛⎫⎛⎫
+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2.检修小组从A 地出发，在东西方向的道路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负,一天中行驶记录如下（单位:）：—4，＋7,—9，＋8，＋5,—3,—３. （１)求收工时距Ａ地多远?
(2）若每千米耗油０.5升，问从出发到收工共
有理数减法:减去一个数等于加上这个数的相反数，字母ａ—(—b)。

典型例题九:
①较小的数减去较大的数,所得的差一定是( ）
Ａ.0 B.正数ﻩ C ．负数 D ．０或负数 ②—50—28+（—2４）—(—２２）
1110.2513232⎛⎫⎛⎫
-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
—19.8—（—2０.３)—20.２—10.8 ()2123 2.44
335⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+----- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭⎝
⎭
乘法法则（默写):
倒数:乘积是1的两个数互为倒数(1a b ⨯=).(与互为相反数区分开来，互为相反数的符号不同;互为倒数符号相同,分子分母调换位置)(0没有倒数,倒数是它本身的数是1和—1)。

125-的相反数为125 125-的倒数为511
- 典型例题十:223
-的倒数的绝对值是. ()()8250.04-⨯+⨯- 6341745⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()11148234⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
—2.5的倒数为 多个数乘法规律:几个不是0 的数相乘，负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时，积是负数。

乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置，积相等。

乘法结合律:三个数相乘，先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘，积相等。

（）（)
乘法分配率：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。

即ａ（)
典型例题十一:
11112462⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭ ()1115777127333⎛⎫-⨯+⨯--⨯ ⎪⎝⎭ ()2449
525
⨯- 521a b a b ⊗=+-,则()46-⊗的值为 除法法则（默写）：除法是乘法的逆运算。

如果a b ÷(ｂ不等于0)的商是负数,那么a 与b( 异号)
1(1)(5)5⎛⎫-÷-⨯- ⎪⎝⎭ 111313223
⎛⎫⎛⎫-÷-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()11210012⎛⎫-÷-÷- ⎪⎝⎭
两数的积是１，已知一数是327-,求另一个数 加减乘除混合运算：先乘除后加减，同级运算从左往右依次计算。

典型了例题十二：
()116666⎛⎫⨯-÷-⨯ ⎪⎝⎭ 23142344⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5721129336⎛⎫⎛⎫--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 7377184812⎛⎫⎛⎫-÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
乘方：求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方，乘方的结果叫做幂,在n a 中,a 叫做底数,n 叫做指数。

()26-中，底数是—6，指数是2,运算结果为３6，读作:负6的平方。

在2
6-中，底数是6，指数是2，运算结果是—36，读作6的平方的相反数。

负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是０．
由20a
=可得,０. 由()220a -=可得，2 由()()
24210a b -++=可得,2，—１ 典型例题十三: ()()2311-+- 512⎛⎫- ⎪⎝⎭
()3422-⨯- 41- 乘方混合运算的规则：1.先乘方，在乘除,最后加减；
2.同级运算,从左到右依次进行
3.如有括号，先做括号内的运算;按小括号、中括号、大括号依次进行。

典型例题十四:
()()2343526⨯--⨯-+ ()2411236⎡⎤--⨯--⎣
⎦ 科学记数法:把一个大于10的数表示成10n
a ⨯的形式(其中a 大于或等于1且小于10,ｎ是正整数）。

典型例题十五：
用科学记数法表示：125０00００000；—10２5０００00;
把原数写在横线上：62.0310-⨯75.810⨯;
0.0１58(精确到０.001)，３０4.35（精确到个位)
1.804(精确到0.1）,1.804(精确到0.01）。

乘方：求n 个相同的因数的积的运算,叫做乘方。

乘方的结果叫做幂。

在n a 中，a 叫做底数,n 叫做指数。

典型例题:()42-其中底数为，指数为，幂是,读作。

42-其中底数为,指数为，幂是，读作。

用幂的形式可表示为.
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。

显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0. 典型例题十六:
①若29x =，则x 的值是,若38a =-，则a 的值是。

②如果()2110x b -++=,那么20032004x b +=。

有理数的混合运算规律：
1. 先乘方，再乘除,最后加减；
2. 统计运算，从左到右进行
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

典型例题十七:
3
342293⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭ ()()3101224-⨯+-÷ ()()()422104332⎡⎤-+--+⨯⎣⎦ ()2411236⎡⎤--⨯--⎣
⎦
()2232--- ()()()421110.5223⎡⎤---⨯⨯--⎣
⎦ 16x +-的最小值是,此时2015x =．。