序列的收敛性与子序列的收敛性

序列的收敛性与子序列的收敛性

摘要:

本文研究序列的收敛性与子序列的收敛性之间的关系情况，分析和推导Bolzano-Welerstrass 定理和一些结论，得出序列和子序列的收敛的几种判定方法并应用于控制收敛定理的一个重要推广，这对于我们进一步了解序列与子序列之间的关系有着一定的意义。 关键词: 序列；子序列；收敛；极限

1 引言

在数学分析里，对于序列的研究主要是极限问题，但没有较系统地讨论序列的收敛性与子序列的收敛性的关系;本文主要分析序列与子序列之间的关系，从中得出一些定理和结论，这对于我们对序列收敛性判定和研究序列与子序列间的关系具有很大的帮助。

2 序列和子序列的定义及其相互关系

2.1 序列和子序列的定义

定义：若函数f 的定义域为整个全体正整数集合N +，则称 :f N R +→ 或 (),f n n ∈N + 为序列。

因为正整数集合N +的元素可按照由大到小的顺序排列，故序列)(n f 也可以写为

1234,,,,

,,

n

a a a a a 或者简单地记为{}n a ，其中n a 称为该序列的通项。序列可分为有界序列，无界序列，单调序列，常序列或周期序列等。从序列{}n a 中将其项抽出无穷多项来，按照它们在原来序列中的顺序排成一列： 1n a ，2n a ， ，k n a ， 又得一个新的序列{}

k n a ，称为原来序列的子序列。

易见{}

k n a 中的第k 项是{}n a 中的第k n 项，所以总有k n k >，事实上{}n a 本身也是{}n a 的一个子序列，且是一个最大的子序列（k n =k 时）。

2.2序列与子序列之间的若干关系

定理1（Bolzano-Welerstrass ）：若序列{}n a 有界，则必存在收敛子序列

{}k

n a ，若序列{}n a 无界，则必存在子序列{}k n a ，使k

n a

∞→（或k n a -∞→）.

证明：（1）不妨设{}n a 中有无限多个不同的项，否则结论显然成立．用有限覆盖定理(见注释①)来证明结论．

设序列{}n a 为一有界序列，则存在,m M ，使 n m a M ≤≤ ()1,2,n =

下面先证明在[],m M 中存在一点c ，使该点任一邻域内有{}n a 中的无穷多项．

用反证法,若此断言不成立，则对任意[],a m M ∈都存在一邻域

()

,a a a a δδ-+，0a δ≠在此邻域内它有

{}

n a 中的有限项，

()[]{},,,a a a a a m M δδA =-+∈构成[],m M 的一开区间覆盖．由有限覆盖定理,

存在有限子覆盖，即存在*j a ()1

,2,,j k = ，使 []()*

***1

,,j

j

k j j a a

j m M a a δδ=⊂-+

依反证假设，

()**

**1

,j

j

k j

j a a j a

a δδ=-+ 中至多含有{}n

a 的有限项与

()1,2,n m a M n ≤≤= 矛盾．

据以上证明，存在()11,1n a c c ∈-+，又在11,22c c ⎛

⎫-+ ⎪⎝

⎭中，存在一项2n a 使

21n n >，否则与c 的任何邻域中有{}n a 的无穷项矛盾，同样我们可以在

11,33c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭中找到一项3

n a ，使32n n >> 在11,c c k k ⎛

⎫-+ ⎪⎝⎭

中找到一项k n a 使1k k n n ->> ，最终得到一个序列{}

k n a 满足：

（i ） {}

k n a 是{}n a 的子序列

（ii ） 1k n a c k

-<

于是，由（i ）和（ii ）知，k n a 是n a 的收敛子序列．

（2）另外对于无界序列{}n a ，则可以利用序列无界定义，类似（1）后面一部分可以证明出存在子序列{}

k n a ∞→.

例1：对于有界序列(){

}

1k

-，它存在子序列()

{

}21k

-收敛于1，当k →∞.

例2：对于无界序列{}n ，它的一切子序列都发散到+∞.

以上是关于序列与其子序列在序列有界和无界的情况下进行的关系探讨，进一步对于单调有界序列分析，我们有如下定理：

定理2：若{}n a 为单调有界序列，{}

k n a 为{}n a 的一个子序列，且有k n a a →，

()k →∞则有

n a a → ()n →∞．

证明：由于{}n a 是单调有界序列，可根据序列单调有界定理(见注释②)知道，

{}n a 收敛，而lim n n a →∞存在，现假设记为b ，即l i m n n a b →∞

=，由定义，对0ε∀>，∃1N ，使当1n N >时候，有

2

n a b ε

-<

由于{}

k n a 是{}n a 的子序列，且k n a a → ()k →∞，故对上述0ε>，∃2N >0，使当k n >k >2N 时，就有

2

k n a a ε

-<

又取{}12max ,N N N =，当k N >时，就有2k n N >，于是有：

2

k n a b ε

-<

由

k k k k n n n n b a b a a a b a a a -=-+-<-+-=k k n n a b a a -+-2

2

ε

ε

<

+

=ε

即有 a b =成立，所以lim n x a a →∞

=成立.