定积分的应用

第十章 定积分的应用

§1 平面图形的面积

1．求由抛物线2y x =与22y x =-所围图形的面积。 解 设所围图形面积为S 。如图10-1。

解方程组22

2y x y x ⎧=⎨=-⎩

，得两曲线两交点坐标为A(-1,1),B(1,1)，则积分区间为[-1，1]。图形面积为11122221118

(2)[(2)].3

s x dx x dx x x dx ---=--=--=⎰⎰⎰

2.求由曲线ln y x =与直线1

,10,010

x x y ===所围图形的面积。

解 设所围图形总面积为S,

110

110111

1

10

10

1

(ln )ln (ln )

(ln )

(99ln1081).10

s x dx xdx x x x x x x =-+=--+-=

-⎰⎰

3.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比. 解 设分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积,

则 : 34238cos 8)28(44

222

22

1+=-=--=⎰⎰--πθθπ

πd dy y y s ,

34

62348812-=--

=-=ππππs s .

29233

4634

22

1-+=-

+=

ππππs s . 4.

求内摆线)0(sin ,cos 33>⋅=⋅=a t a y t a x 所围图形的面积.

解 设所围图形的全部面积为S.取积分变量为 t,当t 由2

π

变到0时,就得到曲线在第一象限的部分.

2

2220

42

2

2

3

22

8

3

)224613522413(

12)sin 1(sin 12)sin (cos sin 12)()(4a a dt

t t a dt t t a

dt t x t y s ππππ

ππ=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-⋅=-⋅='=⎰

⎰⎰

5. 求心形线)0()cos 1(>+=a a r θ所围图形的面积.

解 设所围图形的面积为S.取积分变量为 θ,当θ由0变到π时,即得到曲线在x 轴上方部分.

由极坐标系下面积的积分表达式有:

2022

0220223]2sin 41sin 223[)cos cos 21(2

12)cos 1(212a a d a d a s πθθθθθθθθπππ=

++=++⋅=+⋅

=⎰⎰ .

6.

求三叶形曲线)0(sin 3>=a a r θ所围图形的面积.

解 设三叶玫瑰线围成的区域面积为S,取积分变量为θ,当θ由0变到6

π

时,就得到曲线在第一象限的部分的一半.(如图10-6)

2602

60226022602260

24]22sin [2)2cos 1(2sin 3sin 3sin 26

a a d a d a d a d a s πθθϕϕϕ

ϕθθθθπππ

ππ=-=-====⎰⎰⎰⎰ .

§2 由平行截面面积求体积

1. 如图10-7所示直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截,试求截得的锲形体的体积.

解 设垂直与x 轴的截面面积函数为A(x),立体体积为V . 按图中的坐标系和数据可得出椭圆柱面的方程为:

.116

1002

2=+y x 由相似三角形边长比的关系知 ,105X h = 所以x h 2

1

= , 又A(x)=1001421100142222x x x x h y -

=⋅-⨯⨯=⋅⋅ 所以 V=

⎰

10

4x 100

12

x -dx=-43400)1001(340050)1001()1001(10

0232221

1002=

--=⨯--⎰x x d x 2. 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积. (1) ;,0,sin 轴绕x x x y π≤≤=

解 2

)2cos 1(2

sin 0

2

π

π

ππ

π

=-=

=⎰

⎰dx x xdx v 2]2sin 21[20ππ

=-x x .

(2) ;,20),0)(cos 1(),sin (轴绕x t a t a y t t a x π≤≤>-=-=

解

3

2320

22

320

22

220

25)cos cos 3cos 31()cos 1()]sin ([)cos 1(a

dt t t t a dt

t a a t t a d t a v πππππ

π

π

=-+-=-=--=⎰⎰⎰.

（3） )0()cos 1(>+=a a r θ，绕极轴；

解 )0()cos 1(>+=a a r θ为心脏线方程，其极轴（x 轴）之上部分的参数方程为

{

,

cos )cos 1(,

sin )cos 1(θθθθ+=+=a x a y πθ≤≤0 .

3

2330

32

3

22320

2

3

8

)cos 21)(cos sin _cos sin 2(sin a d a

dx

y dx y v πθθθθθθθππππ

ππ

π=+⋅++=-

=

⎰

⎰

⎰

.

（4）.122

22=+b

y a x 绕y 轴。

解 .12222=+b y a x 得22

1a x b y -= ，

πππ22202

2

34

)1(2ab dx a

x b dx y v a

a

a =-==⎰⎰- .

3.已知球半径为 r,验证高为 h 的球缺体积v )).(3

(2r h h

r h ≤-=π

解 设球缺体积为v,半径为r,高为h,则由旋转体体积公式有

)3(31)(232222h r h x x r dx x r dx y v r

h r r

h r r

h r -=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

-=-==---⎰⎰ππππ 。

§3 平面曲线的弧长与曲率 1. 求下列曲线的弧长。 （1）;40,2

3≤≤=x x y