河北衡水中学高考调研内部学案(数学)
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－5,10] 4 [ ( ) －
当 x＝2 时，yx 2 0 ,] m a ＝10.故函数的值域是[－1
【 答 案 】 2,10] 1 [ ( ) －6，＋∞) 2 [ ( ) －6,3] 3 [ ( )
思考题 1
3 已知二次函数图像的顶点是(－2， 2)与 x 轴的两
个交点之间的距离为 6，则这个二次函数的解析式为________．
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授人以渔
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课时作业
高考调研
【 解 析 】
2
新课标版 · 高三数学（理）
方 法 一 ： 设 二 次 函 数 为
3 y＝a(x＋2 ) ＋2，
2
3 即 y＝a x ＋4a x ＋4a＋2. 由|x1－x2|＝ x1＋x22－4x1x2 ＝ 3 4 －44＋2a＝
f(k1)f(k2)<0 .
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1． 若 函 数 A．f2 > ( ) B．f3 > ( ) f3 ( ) f2 ( )
f(x)＝a x 2＋bx＋c 满 足 f4 ( ) ＝f1 ( ) ，则(
)
C．f3 ( ) ＝f2 ( ) D．f3 ( ) 与 f2 ( ) 的 大 小 关 系 不 确 定
a＝ － 1，∴f(x)＝ － x(x－2 )＝ － x2＋2x. 1 ) ( , ，
(顶 点 式 )由 已 知 ， 可 得 顶 点 为 f(x)＝a(x－1 ) 2＋1 .
∴可 设 其 解 析 式 为 又 由 f0 ( ) ＝0， 可 得
【答案】
a＝ － 1，∴f(x)＝ － (x－1)2＋1 .
(k，h) ．
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2．二次函数的单调性 b (－2a，＋∞) 当 a>0 时， 上 为 增 函 数 ； 在 减函数；当 a<0 时，与之相反．
b (－∞，－2a) 上为
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【思路】 这些函数都是二次函数且解析式都相同，但是各 自函数的定义域都是不同的， 应该通过“配方”借助于函数的图 像而求其值域．
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【解析】 1 ( ) 配 方 ， 得
y＝(x＋2)2－6， 由 于
x∈R，
故当 x＝－2 时，yn m i ＝－6，无最大值． 所以值域是[－6，＋∞)．(图①)
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2 ( ) 配 方 ， 得
y＝(x＋2)2－6. x＝－2 时，ynm i ＝－6. ．(图②)
因为 x∈[－5,0]， 所 以 当
当 x＝－5 时，yx 6 ] , m a ＝3.故函数的值域是[－3 3 ( ) 配 方 ， 得 y＝(x＋2)2－6.
[m ， n ]
b 1 ( ) 若 － 2a∈[m，n]，则 f(x)x a x fm，fn ，f(x)nm m a ＝m i ＝f(－
b 2a)． b 2 ( ) 若－ 2a ∉ [m ， n] ，则 f(x)x a x { m a ＝m m n { i f(m)，f(n)}． f(m) ， f(n)} ， f(x)nm i ＝
|OA |· | OB|
) c B．－a D．无 法 确 定
c c 解析 ∵|OA |· | OB|＝|OA· OB|＝|x1x2|＝|a|＝－a(∵a<0，c> 0 ) ．
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3．设函数 f(x)＝mx2－mx－1，若 f(x< ) 0 数 m 的取值范围是________．
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1．二 次 函 数 的 解 析 式 的 三 种 形 式 1 ( ) 一 般 式 ： y＝a x 2 ＋b x ＋c(a≠0 )； 对 称 轴 方 程 是
b x＝－2a
答案 C
5 解析 ∵f4 ( ) ＝f1 ( ) ，∴对称轴为2，∴f2 ( ) ＝f3 ( ) ．
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2 .如 图 所 示 ， 是 二 次 函 数 等 于( c A.a c C．± a
答案 B
y＝a x 2＋b x ＋c 的 图 像 ， 则
1 2 2 5 【答案】 y＝－6x －3x＋6
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例2
求 下 列 函 数 的 值 域 ：
1 ( ) y＝x2＋4x－2，x∈R； 2 ( ) y＝x2＋4x－2，x∈[－0 5 ] , ；
3 ( ) y＝x2＋4x－2，x∈[－6， －3 ]； 4 ( ) y＝x2＋4x－2，x∈2 0 ] [ , ．
x1＝ － 2－3＝ － 5，x2＝－2＋3＝1， y＝a(x＋5 ( ) x－1 )． 1 a＝ － 6.
∴设 二 次 函 数 解 析 式 为
－ 2， x＝ 将 3 代 入 上 式 解 得 y＝ 2
1 1 2 2 5 ∴y＝ － 6(x＋5 ( ) x－1 )＝ － 6x －3x＋6.
答案 (－0 4 ] ,
的解集为 R， 则 实
4．已知 y＝c o ( s
x－a)2－1，当 c o s x＝－1 时，y 取最大值，
当c o s x＝a 时，y 取最小值，则 a 的范围是________．
答案 0≤a≤1
－a≤0， 由题意知 －1≤a≤1，
解析
∴0≤a≤1.
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2
6 －a＝6，
1 得 a＝ － 6. ∴二 次 函 数 的 解 析 式 为 1 2 2 5 y＝ － 6x －3x＋6.
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方 法 二 ： 由 题 意 得 设 图 像 与 x轴 的 两 交 点 为
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A(x1,0 ) ，B(x2,0 ) ，(x1<x2)，
a>0， fk<0 .
要 条 件 是
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4 ( ) 方 程 有 位 于 区 间 a>0， Δ>0， b k 1 < － <k 2 ， 2a fk2>0， fk1>0 .
(k1，k2)内 的 两 个 不 等 实 根 的 充 要 条 件 是
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5 ( ) 方 程 有 两 个 不 等 实 根
x1<x2 且 k1<x1<k2<x2<k3 的 充 要 条 件
是
a>0， fk1>0， fk2<0， fk3>0 .
6 ( ) 在(k1，k2)内 有 且 仅 有 一 个 实 根 的 一 个 充 分 条 件 是
3．二 次 函 数 与 一 元 二 次 方 程 、 一 元 二 次 不 等 式 之 间 的 内 在 联 系 1 ( ) f(x)＝a x 2＋b x ＋c(a≠0 ) 的 图 像 与 x轴 交 点 的 横 坐 标 是 方 程
ax2＋bx＋c＝0 的 实 根 ．
2 ( ) 若 x1，x2 为 f(x)＝0 的 实 根 ， 则 f ( x) 在 x 轴 上 截 得 的 线 段 长
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a＝－1， ⇒b＝2， c＝0，
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方 法 二 ： (双 根 式 )∵对 称 轴 方 程 为
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x＝1， 2 0 . ,
∴f2 ( ) ＝f0 ( ) ＝0，f(x)＝0 的 两 根 分 别 为 ∴可 设 其 解 析 式 为 又∵f1 ( ) ＝1， 可 得 方 法 三 ： f(x)＝a x (x－2 )．
；
顶 点 为
2 b 4ac－b (－2a， 4a )
．
2 ( ) 两 根 式 ： x轴 的 交 点 为 3 ( ) 顶 点 式 ：
y＝a(x－x1)(x－x2)； 对 称 轴 方 程 是
x1＋x2 x＝ 2 ；与
(x1,0)，(x2,0) ．
y＝a(x－k)2＋h； 对 称 轴 方 程 是
x＝k ； 顶 点 为
应 为 |x1－x2|＝
b2－4ac |a| .
a<0， ， 恒 有 Δ<0 时
3 ( ) 当
a>0， Δ<0
时 ， 恒 有
f(x> ) 0 ；当
f(x< ) 0 .
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4 ． 设 f ( x) ＝ a x 2＋b x ＋c(a> 0 ) ， 则 二 次 函 数 在 闭 区 间 上 的 最 大 、 最 小 值 的 分 布 情 况
因为 x∈[－6，－3]， 所 以 当
x＝－3 时，yn m i ＝－5. ．(图③)
当 x＝－6 时，yx 5 0 ,] m a ＝10.故函数的值域是[－1
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4 ( ) 配 方 ， 得 因为 x∈2 0 ] [ ,
y＝(x＋2)2－6. ，所以当 x＝0 时，yn m i ＝－2. ．(图④)
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5．二 次 方 程
a x 2 ＋b x ＋c＝0 ( a> 0 ) 实 根 的 分 布 k的 不 等 实 根 的 充 要 条 件 是
1 ( ) 方 程 有 两 个 均 小 于 常 数
Δ>0， a>0， b －2a<k， fk>0 .
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2 ( ) 方 程 有 两 个 均 大 于 常 数
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k的 不 等 实 根 的 充 要 条 件 是
Δ>0， a>0， b －2a>k， fk>0
. k和 一 个 大 于 常 数 k的 不 等 实 根 的 充
3 ( ) 方 程 有 一 个 小 于 常 数
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例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，且 f0 ( ) ＝0， f1 ( ) ＝1，求 f(x)的 解 析 式 ．
【解析】 方法一：(一般式)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， c＝0， a＋b＋c＝1， 则 b － ＝1 2a ∴f(x)＝－x2＋2x.
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5．若方程 x2－2mx＋4＝0 的 两 根 满 足 一 根 大 于 于 1，则 m 的取值范围是________．
1，一根小
5 答案 (2，＋∞)
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请注意！
从近两年的新课标高考试题来看， 二次函数图像的应用与其 最值问题是高考的热点， 题型多以小题或大题中关键的一步的形 式 出 现 ， 主 要 考 查 二 次 函 数 与 一 元 二 次 方 程 及 一 元 二 次 不 等 式 三 者的综合应用.
f(x)＝－x2＋2x
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探 究 1 根 据 已 知 条 件 确 定 二 次 函 数 解 析 式 ， 一 般 用 待 定 系 数 法 ， 选 择 规 律 如 下 ：
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另 外 ， 当 二 次 函 数 开 口 向 上 时 ， 自 变 量 的 取 值 离 开 对 称 轴 越 远 ， 则 对 应 的 函 数 值 越 大 ； 反 过 来 ， 当 二 次 函 数 开 口 向 下 时 ， 自 变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越小．
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第 5 课时
二 次 函 数
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1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质． 2．会求二次函数在闭区间上的最值． 3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的 联系去解决有关问题．
当 x＝2 时，yx 2 0 ,] m a ＝10.故函数的值域是[－1
【 答 案 】 2,10] 1 [ ( ) －6，＋∞) 2 [ ( ) －6,3] 3 [ ( )
思考题 1
3 已知二次函数图像的顶点是(－2， 2)与 x 轴的两
个交点之间的距离为 6，则这个二次函数的解析式为________．
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【 解 析 】
2
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方 法 一 ： 设 二 次 函 数 为
3 y＝a(x＋2 ) ＋2，
2
3 即 y＝a x ＋4a x ＋4a＋2. 由|x1－x2|＝ x1＋x22－4x1x2 ＝ 3 4 －44＋2a＝
f(k1)f(k2)<0 .
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1． 若 函 数 A．f2 > ( ) B．f3 > ( ) f3 ( ) f2 ( )
f(x)＝a x 2＋bx＋c 满 足 f4 ( ) ＝f1 ( ) ，则(
)
C．f3 ( ) ＝f2 ( ) D．f3 ( ) 与 f2 ( ) 的 大 小 关 系 不 确 定
a＝ － 1，∴f(x)＝ － x(x－2 )＝ － x2＋2x. 1 ) ( , ，
(顶 点 式 )由 已 知 ， 可 得 顶 点 为 f(x)＝a(x－1 ) 2＋1 .
∴可 设 其 解 析 式 为 又 由 f0 ( ) ＝0， 可 得
【答案】
a＝ － 1，∴f(x)＝ － (x－1)2＋1 .
(k，h) ．
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2．二次函数的单调性 b (－2a，＋∞) 当 a>0 时， 上 为 增 函 数 ； 在 减函数；当 a<0 时，与之相反．
b (－∞，－2a) 上为
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【思路】 这些函数都是二次函数且解析式都相同，但是各 自函数的定义域都是不同的， 应该通过“配方”借助于函数的图 像而求其值域．
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【解析】 1 ( ) 配 方 ， 得
y＝(x＋2)2－6， 由 于
x∈R，
故当 x＝－2 时，yn m i ＝－6，无最大值． 所以值域是[－6，＋∞)．(图①)
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2 ( ) 配 方 ， 得
y＝(x＋2)2－6. x＝－2 时，ynm i ＝－6. ．(图②)
因为 x∈[－5,0]， 所 以 当
当 x＝－5 时，yx 6 ] , m a ＝3.故函数的值域是[－3 3 ( ) 配 方 ， 得 y＝(x＋2)2－6.
[m ， n ]
b 1 ( ) 若 － 2a∈[m，n]，则 f(x)x a x fm，fn ，f(x)nm m a ＝m i ＝f(－
b 2a)． b 2 ( ) 若－ 2a ∉ [m ， n] ，则 f(x)x a x { m a ＝m m n { i f(m)，f(n)}． f(m) ， f(n)} ， f(x)nm i ＝
|OA |· | OB|
) c B．－a D．无 法 确 定
c c 解析 ∵|OA |· | OB|＝|OA· OB|＝|x1x2|＝|a|＝－a(∵a<0，c> 0 ) ．
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3．设函数 f(x)＝mx2－mx－1，若 f(x< ) 0 数 m 的取值范围是________．
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1．二 次 函 数 的 解 析 式 的 三 种 形 式 1 ( ) 一 般 式 ： y＝a x 2 ＋b x ＋c(a≠0 )； 对 称 轴 方 程 是
b x＝－2a
答案 C
5 解析 ∵f4 ( ) ＝f1 ( ) ，∴对称轴为2，∴f2 ( ) ＝f3 ( ) ．
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2 .如 图 所 示 ， 是 二 次 函 数 等 于( c A.a c C．± a
答案 B
y＝a x 2＋b x ＋c 的 图 像 ， 则
1 2 2 5 【答案】 y＝－6x －3x＋6
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例2
求 下 列 函 数 的 值 域 ：
1 ( ) y＝x2＋4x－2，x∈R； 2 ( ) y＝x2＋4x－2，x∈[－0 5 ] , ；
3 ( ) y＝x2＋4x－2，x∈[－6， －3 ]； 4 ( ) y＝x2＋4x－2，x∈2 0 ] [ , ．
x1＝ － 2－3＝ － 5，x2＝－2＋3＝1， y＝a(x＋5 ( ) x－1 )． 1 a＝ － 6.
∴设 二 次 函 数 解 析 式 为
－ 2， x＝ 将 3 代 入 上 式 解 得 y＝ 2
1 1 2 2 5 ∴y＝ － 6(x＋5 ( ) x－1 )＝ － 6x －3x＋6.
答案 (－0 4 ] ,
的解集为 R， 则 实
4．已知 y＝c o ( s
x－a)2－1，当 c o s x＝－1 时，y 取最大值，
当c o s x＝a 时，y 取最小值，则 a 的范围是________．
答案 0≤a≤1
－a≤0， 由题意知 －1≤a≤1，
解析
∴0≤a≤1.
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2
6 －a＝6，
1 得 a＝ － 6. ∴二 次 函 数 的 解 析 式 为 1 2 2 5 y＝ － 6x －3x＋6.
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方 法 二 ： 由 题 意 得 设 图 像 与 x轴 的 两 交 点 为
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A(x1,0 ) ，B(x2,0 ) ，(x1<x2)，
a>0， fk<0 .
要 条 件 是
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4 ( ) 方 程 有 位 于 区 间 a>0， Δ>0， b k 1 < － <k 2 ， 2a fk2>0， fk1>0 .
(k1，k2)内 的 两 个 不 等 实 根 的 充 要 条 件 是
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5 ( ) 方 程 有 两 个 不 等 实 根
x1<x2 且 k1<x1<k2<x2<k3 的 充 要 条 件
是
a>0， fk1>0， fk2<0， fk3>0 .
6 ( ) 在(k1，k2)内 有 且 仅 有 一 个 实 根 的 一 个 充 分 条 件 是
3．二 次 函 数 与 一 元 二 次 方 程 、 一 元 二 次 不 等 式 之 间 的 内 在 联 系 1 ( ) f(x)＝a x 2＋b x ＋c(a≠0 ) 的 图 像 与 x轴 交 点 的 横 坐 标 是 方 程
ax2＋bx＋c＝0 的 实 根 ．
2 ( ) 若 x1，x2 为 f(x)＝0 的 实 根 ， 则 f ( x) 在 x 轴 上 截 得 的 线 段 长
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a＝－1， ⇒b＝2， c＝0，
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方 法 二 ： (双 根 式 )∵对 称 轴 方 程 为
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x＝1， 2 0 . ,
∴f2 ( ) ＝f0 ( ) ＝0，f(x)＝0 的 两 根 分 别 为 ∴可 设 其 解 析 式 为 又∵f1 ( ) ＝1， 可 得 方 法 三 ： f(x)＝a x (x－2 )．
；
顶 点 为
2 b 4ac－b (－2a， 4a )
．
2 ( ) 两 根 式 ： x轴 的 交 点 为 3 ( ) 顶 点 式 ：
y＝a(x－x1)(x－x2)； 对 称 轴 方 程 是
x1＋x2 x＝ 2 ；与
(x1,0)，(x2,0) ．
y＝a(x－k)2＋h； 对 称 轴 方 程 是
x＝k ； 顶 点 为
应 为 |x1－x2|＝
b2－4ac |a| .
a<0， ， 恒 有 Δ<0 时
3 ( ) 当
a>0， Δ<0
时 ， 恒 有
f(x> ) 0 ；当
f(x< ) 0 .
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4 ． 设 f ( x) ＝ a x 2＋b x ＋c(a> 0 ) ， 则 二 次 函 数 在 闭 区 间 上 的 最 大 、 最 小 值 的 分 布 情 况
因为 x∈[－6，－3]， 所 以 当
x＝－3 时，yn m i ＝－5. ．(图③)
当 x＝－6 时，yx 5 0 ,] m a ＝10.故函数的值域是[－1
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4 ( ) 配 方 ， 得 因为 x∈2 0 ] [ ,
y＝(x＋2)2－6. ，所以当 x＝0 时，yn m i ＝－2. ．(图④)
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5．二 次 方 程
a x 2 ＋b x ＋c＝0 ( a> 0 ) 实 根 的 分 布 k的 不 等 实 根 的 充 要 条 件 是
1 ( ) 方 程 有 两 个 均 小 于 常 数
Δ>0， a>0， b －2a<k， fk>0 .
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2 ( ) 方 程 有 两 个 均 大 于 常 数
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k的 不 等 实 根 的 充 要 条 件 是
Δ>0， a>0， b －2a>k， fk>0
. k和 一 个 大 于 常 数 k的 不 等 实 根 的 充
3 ( ) 方 程 有 一 个 小 于 常 数
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例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，且 f0 ( ) ＝0， f1 ( ) ＝1，求 f(x)的 解 析 式 ．
【解析】 方法一：(一般式)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， c＝0， a＋b＋c＝1， 则 b － ＝1 2a ∴f(x)＝－x2＋2x.
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5．若方程 x2－2mx＋4＝0 的 两 根 满 足 一 根 大 于 于 1，则 m 的取值范围是________．
1，一根小
5 答案 (2，＋∞)
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新课标版 · 高三数学（理）
请注意！
从近两年的新课标高考试题来看， 二次函数图像的应用与其 最值问题是高考的热点， 题型多以小题或大题中关键的一步的形 式 出 现 ， 主 要 考 查 二 次 函 数 与 一 元 二 次 方 程 及 一 元 二 次 不 等 式 三 者的综合应用.
f(x)＝－x2＋2x
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探 究 1 根 据 已 知 条 件 确 定 二 次 函 数 解 析 式 ， 一 般 用 待 定 系 数 法 ， 选 择 规 律 如 下 ：
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另 外 ， 当 二 次 函 数 开 口 向 上 时 ， 自 变 量 的 取 值 离 开 对 称 轴 越 远 ， 则 对 应 的 函 数 值 越 大 ； 反 过 来 ， 当 二 次 函 数 开 口 向 下 时 ， 自 变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越小．
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第 5 课时
二 次 函 数
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2014•考纲下载
1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质． 2．会求二次函数在闭区间上的最值． 3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的 联系去解决有关问题．