理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动

z
( )
2dt
y x 2dt
1 (u v ) 2 y x
y
1 2
( u z
w ) x
x
1 2
( w y
v ) z
为三个平面 内的角变形
四.转动：
假设d点和c点的速度增量在x方向是负的，则经 过dt时间后，a、b、c、d绕a点转过一个角度
v +∂v dy ∂y
u - ∂u dy
∂y
d
vu
a
v
v +∂v dy ∂y
v
+
∂v ∂y
dy
+
v x
dx
y
u+∂u dy d ∂y c
u
+
∂u ∂x
dx
+
u y
dy
vu
a
v + ∂v dx
b
∂x u+
∂u
dx
∂x
u dydt y
d’
Δα
a’ Δβ
c’
b’
v dxdt x
定义：单位时间内ab、cd转过的平均角度
称角变形速度，用 θ表示。
由定义有：
(u v )dt
为 dA的法线方向，微元面积上的漩涡强
度用 dI 表示 定义：
n n
dA
dI 2 cos( n)dA
2ndA
A
对整个表面积A积分,总的漩涡强度为：
I 2AndA
当n在A上均布,则有： I 2n A
n A ——称为涡通量
漩涡强度 I 等于2倍的涡通量。
三、速度环量
定义：假定某一瞬时，流场中每一点的速
0
0
2
2
6 sin2 d 8 cos2 d
0
0
6(
2
1 4
sin
2 )
2 0
8(
2
1 4
sin
2 )
2 0
14
四、斯托克斯定理
斯托克斯定理：任意面积A上的旋 涡强度 I ，等于该面积的边界L上的速度 环量Γ。
I 2 ndA L udx vdy wdz
Stokes law 将对涡量的研究转化为对速度 环量的研究。因为线积分比面积分要简 单，且速度场比涡量场容易测得。
u y v x
流动是否存在？是否有旋？
例：如图所示，流体各个微团以速度
u ky,v w 0 平行于x轴作直线
流动，试确定流动是否有旋。
解：
x
1 (w 2 y
v ) z
0
y
1 (u 2 z
w ) x
0
z
1 2
( vx
u y
)
K
2
有旋运动。
§2 速度环量和旋涡强度
一.涡线、涡管
1.涡线：与流线概念相似，涡线也是一条曲 线，在给定瞬时 t，这条曲线每一点的切线 与该点流体微团的角速度 的方向重合。
度是已知的，AB曲线上任一点的速度为 ，
在该V 曲线上取一微元段
ds
V 与 ds 之间的夹角为α，则称
d V ds V cos ds
为沿微元线段 ds 上的环量。
A
V
α V cos
B
ds
曲线AB上的环量为：
AB
B V ds
A
B V cos ds
A
若曲线AB是封闭曲线，则环量为：
第六章
理想不可压缩流体的平面 势流和旋涡运动
§1 流体微团运动法分析 §2 速度环量和漩涡强度 §3 速度势和流函数 §5 基本的平面势流 §6 有势流动叠加 §7 理想流体的漩涡运动
理想流体的流动分
有旋运动 无旋运动
位势流动：
无旋运动由于存在速度势和流函数， 故又称位势流。
§6－1 流体微团运动分析
反向时取负。若是封闭周线，逆时针
为正，顺时针为负。
例：不可压缩流体平面流动的 速度分布为 u 6y ,v 8x ，
求绕圆x 2 y 2 1的速度环量。
解： udx vdy 6ydx 8xdy
L
L
积分路径在圆上，有 x cos ,y sin
2
2
6 sin d cos 8 cos d sin
流体微团的运动：平移 转动 变形
平移
转动
变形
线变形
角变形
一.平移
如图：在流场中取一四边形流体a、b、c、 d ，经过dt时间后该四边形移到 a’、b’、c’ d’，形状、大小没有变化，仅是平移了一 段距离。各点的速度大小和方向没有变化， 即没有变形和转动。
yd
c
d’
c’
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dy
a
dx b
dy dx
a’
由涡线定义得涡线方程：
dx dy dz
x y z
2.涡管
在给定瞬时，在涡量场中取一不是涡线 得封闭曲线，通过曲线上每点做涡线，这 些涡线形成一个管状表面，称为涡管，涡 管中充满着做旋转运动的流体。沿涡管长 度方向旋转角速度 是变化的。
二.漩涡强度：
在涡量场中任取一微元面积 dA，dA
上流体质点的旋转角速度向量为 ，n
+
∂v ∂y
dy
+
v x
dx
c
u
-
∂u ∂x
dx
+
u y
dy
v + ∂v dx
∂x
b
u + ∂u dx ∂x
u dydt
y
c’
d’
b’
Δα
a’
Δβ
v dxdt
x
图中
u dydt
y
u dt
dy
y
v x
dxdt
v
dt
dx x
定义：单位时间内转过的平均角度为旋 转角速度，以ω表示。
z
( )
x
d’ ∂v dydt
c’
∂y
a’
∂u
b’ dxdt
∂x
定义：单位长度、单位时间内线变形称
为线变形率，用 ε表示。
由定义有：
x
u dxdt x
dxdt
u x
y
v y
z
w z
三个方向 的线变形
三.角变形
讨后论 ，由b点于的这两vx d个x和速d度点增的量uy，dy 使作原用图，形经发时生间角dt 变形。
2dt
代入 和
z
1 2
( v x
u ) y
有
y
1 2
( u z
w) x
x
1 2
( w y
v ) z
或
x i y j z k
当 0 称无旋流或势流。 0 称有旋流或涡流。
流体运动是否有旋不能只看其运动轨 迹，而要看它是否绕自身轴转动。
例：
例： u x v y 流动是否存在？是否有旋？
V ds V cos ds
L
L
αV
L
将矢量 V 、 ds分别 表示：
V ui v j wk ds dxi dy j dzk 故对封闭周线 L的环量为：
V ds L udx vdy wdz L
环量是一个标量，它的正负取决 于速度方与线积分的方向。
当速度方向与线积分方向同向时取正，
1.微元面积的 stokes law 证明：
取一微元矩形的封闭周线，各点速度大小如图：
vA
vA y
dy
vD
uA
u y
dy
uD
D
dy
vA
b’
x
二.线变形
在t时刻a、b、c、d各点的速度如图，由
于各点的速度不同，经过Δt时刻后由b点
的
u x
dx
和d点
v y
dy
的作用下，会产生线变形。
v +∂v dy ∂y
v
+
∂v ∂y
dy
+
v x
dx
y
u + ∂u dy d ∂y c
u
+
∂u ∂x
dx
+
u y
dy
vu
a
v + ∂v dx ∂x
b u + ∂u dx ∂x