组合数学 第一章答案

１.１ 从{

}5021，，，⋅⋅⋅中找两个数{}b a ,，使其满足 （1） 5||=-b a ；

（2）5||≤-b a

解：（1）根据5||=-b a 可得 5

5-=-=-b a b a 或 则有

种

种

4545 共有90种。 （2）根据5||≤-b a 得 )

50,,2,1(,5

5{⋅⋅⋅∈+≤≤-b a b a b

则：当5≤b 时，有 1=b ， 61≤≤a ， 则有 6种 2=b ， 71≤≤a ， 则有7种 3=b ， 81≤≤a ， 则有8种 4=b ， 91≤≤a ， 则有 9种 5=b ， 101≤≤a ， 则有10种 当455≤

. . . . . . . . . 45=b ， 5040≤≤a ， 则有11种 当5045≤

故：共 种520)678910(21140=+++++⨯ 为什么几何方法不行

1.2 （1）先把女生进行排列，方案为5！，然后把女生看成1个人和7个男生进

行排列，总方案数为5！×8！

（2）女生不相邻，则先把男生进行排列，方案为7！再把女生插入男生之间

的8个空位种的任意5个，总方案数为7！×

58P

（3）应该是A 女生x 女生y 女生z B,或是B 女生x 女生y 女生z A 的形

式，从5个女生中选出3人进行排列，方案为35P ，考虑A,B 可以换位，方案为2×35P ，然后把这个看成一个整体，和剩下的2个女生，5个男

生，一共7个人进行排列，总方案数2×35P ×8！

1.3 m 个男生,n 个女生,排成一行,其中m,n 都是正整数,若 （a ）男生不相邻（m ≤n+1）；

（b ）n 个女生形成一个整体； （c ）男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案。 解：

(a)n!p(n+1,m) (b)(m+1)!n! (c)2(m+n-1)!

1．4 26个英文字母进行排列，求X 和Y 之间有五个字母的排列数？ 解:排列数为C(24,5)*5！*2*20！

1.5 求3000到8000之间的奇整数的数目，且没有相同的数字。 解：设四位数为n3n2n1n0.

由已知可知，n3只能取，3，4，5，6，7，8，n0只能取1,3,5,7,9. 分以下两种情况讨论：

1.当n3取3，5，7的时候，由于是不能重复的，所以n0只能有4种选择，而剩下的n2,n1分别有8，7种选择。 所以符合条件的数，根据乘法原理有：

3*4*8*7=672.个

2.当n3取4，6，8时，由于是不能重复的,所以n0有5种选择，而剩下的

n2,,n1分别有8，7种选择，所以符合条件的数，根据乘法原理有： 3*5*8*7=840个

所以综上所述，符合条件的数，根据加法原理共有： 672+840=1512个 1.6

1*1!+2*2!+3*3!…………+(n-1)*(n-1)! 根据公式得

1*1!+2*2!+3*3!…………+(n-1)*(n-1)!=n!-1

1.7 试证 （n+1）(n+2)…(2n)被k 2除尽。 证明：

3

)...32)(12(2...)!2()!32)(12(2)!2)(1()!32)(12)(22(2)!

1()!

12(2)!1()!12(2!)!2()2)...(2)(1(2--==---=-----=--=--==

++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

所以（n+1）(n+2)…(2n)能被k 2除尽。

1.8 求1040和2030的共因数的数目. 解: 10 40=2 40 * 5 40

20 30=260 * 5 30

∴ 1040和2030的公因子有40*30=1200 个

1.9 试证n 的平方的正除数的数目是奇数 答案：因为n 的平方一定是两个数的乘积，一定是两个不同的数的乘积或唯一的一个相同的 数的乘积。例如，16可以是1*16，2*8或4*4，前面的都是成对出现的，只有4是一个 数，所以他们的和一定是奇数。 1.10 证明任一正整数n 可唯一地表示成如下形式： n=1

!i i a i ≥⋅∑, 0i a i ≤≤, 1i ≥

证明：对n 用数学归纳法

① 当n=0,1时，0=0⋅1! , 1=1⋅1!。命题成立。 ② 假设对于小于n 的非负整数，命题成立。

③

对

于

n

，

设

!(1)!

k n k ≤<+，即

0!(1)!!(11)!!n k k k k k k k ≤-<+-=+-⋅=⋅

由②，对!n k -命题成立。设1

!!k

i i n k a i =-=⋅∑，其中0i a i ≤≤，

01k a k ≤≤- (原因是0!!n k k k ≤-<⋅而不能等于!k k ⋅)，那么1

1

1

!!!(1)!k

k i i k i i n a i k a i a k -===⋅+=⋅++⋅∑∑，其中01k a k ≤+≤，命题成立。

再证唯一性：

设1

1

!!k

k

i i i i n a i b i ===⋅=⋅∑∑，不妨设j j a b >，min{|}i i j i a b =≠，即

1231231!2!3!1!2!3!a a a b b b ⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+

，

假设11a b =，22a b =，33a b ≠，则j=3。那么，因为i a 与i b 前j 项相等，上式两边均减去前j 项，即!!i i i j

i j

a i

b i ≥≥=∑∑，即

1212!(1)!(2)!!(1)!(2)!

j j j j j j a j a j a j b j b j b j ++++++++=++++

将上式两边都除以(1)!j +，得