成都市树德中学2019-2020学年高一5月半期考试+数学(含答案)

1 1
1 3
1 3
1 5
1 ( 1 1 ) = n ………………10 分 2 1 2n 1 n2 1
1 1) 2n 3 2n 1
18.解：（1）
x
1，所以
x
1
0
，不等式
x2
6x
9
9
可化为
x2
6x
9
9x
9
，
x 1
x+1 0
x 0或x 3
解之得 x 1
.
综上，原不等式的解集为 1,0 3, ；………………6 分
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
7．已知 ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，其面积为 S .若满足关系式
a2 b2 c2 4S ，则角 C (
A． 4
B． 6
) C． 3
D． 3 4
8．已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a3a11 2a32 ，且 S8 +S24 =mS16 ，则 m （ ）
）
A．9
B．10
C．11
D．12
4．已知
4
,
2
，且
sin
4
3 10 10
，则
tan
（
）
A．2
B． 1 2
C．3
D． 4 3
x 2y 2 0
5．已知实数
x,
y
满足：
x
y
2
0
， z 4x y 的最小值的是（
）
4x y 2 0
A． 2
B．8
C． 1
D． 2
6．在 ABC 中，若 tan Atan B 1，那么 ABC 是（ ）
2
R ，不等式 an sin2 1 an cos2 1 n 2 恒成立，求实数 的最小值（
）
A．1 2
B．2
C．1
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。）
D． 3 2
13． f (x) sin(2x) 3 cos(2x) 的对称轴为
．
14．若不等式 ax2 2ax 1 0 解集为 R，则 a 的范围是
cn
bn ．
当
n
3 时,
n
2
2
d
cn1
bn1
,
两式相减得：
bn
bn1
3 2
d
n
3
．
数列
bn
从第二项起是公差为 3 d 的等差数列．………………………6 分 2
又当 n＝1时,由 S1c1＝a1b1, 得 c1＝b1 ,
当 n＝2 时,由 b2
2 1d 2
c2
1 2
d
c1
d
b1
3 2
d
,得 b2
18．（本题 12 分）已知 f x x2 6x 9 （ x 1），
x 1
（1）解不等式 f x 9 . （2）求 f x 的最小值．
19．（本题 12 分）已知函数 f x sin2 x cos2 x 2 3 sin x cos x x R .
（1）求 f (x) 的单调递增区间. （2）求函数 f (x) 在区间 [ , ] 上的最大值和最小值.
16. 21 3
17.解：（1）数列{an}为等差数列，S2＝0，S6﹣S3＝21．设数列的首项为 a1，公差为 d，
则：
，解得：a1＝﹣1，d＝2，故：an＝2n﹣3………………5 分
由正弦函数的性质得 2k 2x 3 2k ， k Z ，
2
62
解得 k x 2 k ， k Z ，
6
3
所以
f
x
的单调递增区间是
6
k ,
2 3
k
k
Z
.………………7
分
（2）由于 x ，可得 2x 5 ，
6
3
6
66
(2) bn
1 anan1
=
(2n
1 3)(2n 1)
1 2
(1 2n 3
1 ) ………………7 2n 1
分
Tn b1 b2
bn
1 2
( 1 1 1 1
6
AB
B
P
D
C
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三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（本题 10 分）已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn ，S2＝0，S6﹣S3＝21．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足 bn
b1
3 2
d
．
故数列
bn
是公差为 3 d 的等差数列；………………………7 分 2
3 解：由 2 ,当 n 2 时,
Sn﹣1 cn﹣cn﹣1 ancn＝anbn ,即 Sn﹣1d＝an bn﹣cn ,
bn＝cnk , bn＝cn kd , 即 bn﹣cn＝kd ,
Sn﹣1d＝an • kd, 即 Sn﹣1＝kan． Sn＝ S﹣n1 a＝n k1 a,n
1
f
(
)
1
6
3
所以当 x 6
时，
f
xmax
f ( ) 1，当 x
6
6
时，
f
xmin
f ( ) 2 .…12 分 6
20 解： A B C ，
4 cos2 A cos 2(B C) 2(1 cos A) cos 2 A 2 cos2 A 2 cos A 3 3 ，
a3
|
| a99 a100 | （
）
A．150
B．162
C．180
D． 210
11． 2cos 48 2 3 sin 36cos36 （ ） cos 27 sin 27
A． 2 2
B．1
C． 1
D． 2 2
12．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，对任意 n N* 总有 2Sn an2 n ，且 an an1 .若对任意 n N* ，
1 an an 1
，求数列{bn}的前 n 项和Tn .
21．（本题 12 分）在数列 an 中， a1 1 ， an 3an1 3n 4 (n N *, n 2) ．
（1）证明：数列
an 3n
2
为等差数列，并求数列{an
}
的通项公式；
（2）求数列{an}的前 n 项和为 Sn ．
当 n 2 时, n﹣12n﹣3＝b1 b2 bn﹣1 ,两式作差,可得 bn＝4n﹣3 ．
当 n＝1时, b1＝1满足上式, 则 bn＝4n﹣3 ；…………………………3 分
2 证明： a1b1 a2b2 anbn＝cnSn ,
当 n 2 时, a1b1 a2b2 an﹣1bn﹣1＝cn﹣1Sn﹣1 ,
（2） x 1，则 x 1 0 ，
由基本不等式得 f x x2 6x 9 x 32 x 1 22 x 1 4 4
x 1
x 1
x 1
x 1
2 x 1 4 4 8 ………………10 分
x 1 （当且仅当 x 1 4 时，即当 x 1 时取得等号）………………11 分
2
2
（1）求角 A
（2）若△ABC 的面积为 3，周长为 8，求 a.
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树德中学高 2019 级 5 月半期考试数学试题参考答案 1—6：CDCAAC 7—12： ADBBDB
13. x k , k Z 12 2
14. 1 a 0 15. 3 2
当 n 3时, Sn﹣1＝
k 1
an﹣1＝kan , 即 an
k
k
1
an1
．
故从第二项起数列 an 是等比数列,
当
n
2
时,
an
a2
k
1 n2 k
．
bn＝cnk＝cn kd＝c1 n 1k k2 k n 1k k2 k n k ．
另外,由已知条件可得 a1 a2 c2＝a1b1 a2b2 ,
树德中学高 2019 级 5 月半期考试数学试题
命题人：陈秀丽 审题人：程鑫垚 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的)
1．已知 sin cos 1 ,则sin 2 （ ） 5
A． 12 25
B． 12 25
C． 24 25
A． 4
B． 4
C． 8 3
D． 8 3
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭
生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池 1 丈见方（即 CD 10
尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为 1 尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.
（2）若 an n（ 是不为零的常数），求证：数列 bn 是等差数列； （3）若 a1 c1 d k （ k 为常数， k N *）， bn =cnk n n2, N * ．对任意 n 2, n N*, 求出数
列{ bn } 的最大项（用含 k 式子表达）． an
20．（本题 12 分）已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.且满足 4 cos2 A cos 2(B C) 3
x 1
因此，函数 f x x2 6x 9 x 1 的最小值为8 .………………12 分
x 1 19．解：（1）由 cos 2x cos2 x sin2 x 与 sin 2x 2sin x cos x 得
f
x
2 sin
2x
6
在
6
, 6
上单减，
6
, 3
上单增，
且
f
(
)
2
2
2 cos2 A 2 cos A 3 0 ．cos A 1 ，或 cos A 3 （舍）
2
2
2
0 A ， A 2 ．………………6 分
3
1 (2)由题设得2bcsinA＝ 3，从而 bc＝4. ……………8 分
由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA， 得 a2＝(b＋c)2－4. 又 a＋b＋c＝8，所以 a2＝(8－a)2－4，
两式相减得： Sncn﹣Sn﹣1cn﹣1＝anbn , ………………4 分
即 Sn﹣1 an cn﹣Sn﹣1cn﹣1＝anbn , Sn﹣1 cn﹣cn﹣1 ancn＝anbn ．
即 Sn﹣1d
ncn＝nbn ．
又 Sn1
n n 1
,
2
nn 1
2 d ncn nbn
即
n 1d 2
．
15．已知 Sn 是数列
an
的前 n
项和，若 an =sin(
n 3
) ，则 S2020
的值为_________.
16．如图，平面四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 P, 若 3BP BD, AB AD 3BC ，
CAD ACB 5 ，则 CD _________．
A
解得 a 15 …………12 分 4
21．解：（1）因为 an 2 3n
an1 2 3n1
an 3n
2
3an 3n
6
3n 3n
1
所以数列
an 3n
2
是公差为
1，首项为
a1 3
2
1 的等差数列，所以
an 3n
2
n
．
所以数列 an 的通项公式为 an n 3n 2 ………………5 分
2．下列结论不正确的是（ ）
D． 24 25
A．若 a b ， c 0 ，则 ac bc C．若 ac2 bc2 ，则 a b
B．若 a b ，则 a c b c D．若 a b ， c 0 ，则 c c
ab
3．已知等差数列 an 前 n 项和为 Sn ，且 a3 a4 12 ， S7 =49 ，则 a6 （
试问水深、芦苇的长度各是多少？假设 BAC ，现有下述四个结论：
①水深为
12
尺；②芦苇长为
15
尺；③
tan 2
2 3
；④
tan
4
17 7
.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③
B．①③④
C．①④
D．②③④
10．已知数列{an}的通项公式为 an
n 100 n
，则| a1
a2
| | a2
3 1 3n n 3n1
1 3
n
1 2
3n1
3 2
所以 Tn
2n 1 3n1 4
3 4
………………10 分
所以
Sn
Tn
2n
2n 1 3n1 4
3 4
2n
………………12
分
22、 1 解： an＝1, cn＝2n﹣1． Sn＝n
由 cnSn＝a1b1 a2b2 anbn , 得 n2n﹣1＝b1 b2 bn ,
63
22．（本题 12 分）已知an,bn,cn 都是各项不为零的数列，且满足 a1b1 a2b2 anbn cnSn , n N*, 其中 Sn 是数列an的前 n 项和，cn是公差为 d d 0 的等差
数列．
（1）若数列an,cn的通项公式分别为 an =1 ， cn 2n 1，求数列bn的通项公式；
又 c2＝2k,b1＝k,b2＝k 2 k ,a2＝1,
f x cos 2x
3
sin
2x
2
sin
2x
6
，………………4
分
（2）令Tn 131 232
高一数学 2020-05 半期 第 3 页 共 2 页
n 13n1 n3n ①
则 3Tn 132 n 13n n3n1 ②
②-①得 2Tn n 3n1 3 32
3n