2019人教A版数学选修2-3学案：第二章随机变量及其分布复习提升课 (1)

章末复习提升课

,

超几何分布

[问题展示] (选修2-3 P50习题2.1B 组T1)老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．

【解】 (1)他能背诵的课文的数量X 的可能取值为0，1，2，3，

则P (X ＝0)＝C 06C 34

C 310＝130，

P (X ＝1)＝C 16C 24

C 310＝310，

P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝1

2

，

C 106

所以X 的分布列为

(2)他能及格的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝2

3

.

某位同学记住了10个数学公式中的m 个(m ≤10)，从这10个公式中随机抽取3个，若他记住2个的概率为1

2.

(1)求m 的值；

(2)分别求他记住的数学公式的个数X 与没记住的数学公式的个数Y 的数学期望E (X )与E (Y )，比较E (X )与E (Y )的关系，并加以说明．

【解】 (1)P (X ＝2)＝C 2m C 110－m C 3

10＝1

2

， 即m (m －1)(10－m )＝120，且m ≥2.

因为120＝2×5×12＝4×5×6＝3×5×8＝2×4×15＝2×2×30. 而m 与m －1一定是相邻正整数． 所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝4，m ＝5，10－m ＝6或⎩⎪⎨⎪

⎧m －1＝5，

m ＝6，10－m ＝4

解得m ＝6.

(2)由原问题知，E (X )＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝95

，

没记住的数学公式有10－6＝4个，故Y

的可能取值为0，1，2，3.

P (Y ＝0)＝C 04C 3

6

C 310＝16，

P (Y ＝1)＝C 14C 26

C 310＝12，

P (Y ＝2)＝C 24C 16

C 310＝310

，

C 1030

所以Y 的分布列为

E (Y )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝6

5，

由E (X )＝95，E (Y )＝6

5

得出

①E (X )＞E (Y )．说明记住公式个数的期望值大于没记住公式个数的期望值． ②E (X )＋E (Y )＝3.说明记住和没记住的期望值之和等于随机抽取公式的个数3.

二项分布

[问题展示] (选修2-3 P59习题2.2B 组T1)甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？

【解】 每局比赛只有两个结果，甲胜或乙胜，且每局比赛胜负是相互独立的，所以甲胜的局数X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )． ①当采用3局2胜制时，X ～B (3，0.6)， 则P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)

＝C 23×0.62×0.4＋C 330.63

＝0.648.

②当采用5局3胜制时，X ～B (5，0.6)， 则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＋P (X ＝5)

＝C 35×0.63×0.42＋C 45×

0.64×0.4＋C 550.65≈0.683. 显然0.648<0.683，所以采用5局3胜制对甲更有利． 从而说明了“比赛总局数越多，甲获胜的概率越大”． 对比赛局制长短的认识：

①比赛的公平性：局数不能过多或过少，过多对甲有利，过少对乙有利；

②在实际比赛中，应根据计算出的概率结果，对赛制“n 局n ＋1

2

胜”的n 值给予确定．

甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为p ，乙获胜的概率为1－p ，采用了“3局2胜制”(这里指最多比赛3局，先胜2局者为胜，比赛结束)．若仅比赛2局就结束的概率为13

25.

(1)求p 的值；

(2)若采用“5局3胜制”(这里指最多比赛5局，先胜3局者为胜，比赛结束)，求比赛局数X 的分布列和数学期望．

【解】 (1)仅比赛2局就结束，即为甲连胜2局或乙连胜2局， 所以p ·p ＋(1－p )(1－p )＝13

25

，

即25p 2－25p ＋6＝0，解得p ＝35或p ＝2

5

.

(2)当p ＝35时，即甲胜的概率为35，乙胜的概率为1－35＝2

5.

X 的可能取值为3，4，5. P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫353

＋⎝⎛⎭⎫253

＝35

125， P (X ＝4)＝C 23⎝⎛⎭⎫352

·25·35＋C 23⎝⎛⎭⎫252

·35·25＝234625， P (X ＝5)＝C 24

⎝⎛⎭⎫352

·⎝⎛⎭⎫252

·35＋C 24

⎝⎛⎭⎫252

·⎝⎛⎭⎫352

·25＝216625，

所以X 的分布列为

所以E (X )＝3×35125＋4×234625＋5×216625＝2 541

625≈4.

当p ＝2

5时，

结论与p ＝3

5

相同．

相互独立事件及概率

[问题展示] (选修2-3 P55练习T3)天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： (1)甲、乙两地都降雨的概率； (2)甲、乙两地都不降雨的概率； (3)其中至少一个地方降雨的概率．

【解】 设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则P (A )＝0.2，P (B )＝0.3. (1)甲、乙两地都降雨为事件AB ，P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.2×0.3＝0.06.

(2)甲、乙两地都不降雨为事件A －B －，P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝(1－0.2)(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56. (3)至少有一个地方降雨为(AB )∪(A －B )∪(A B －)， 所以P [(AB )∪(A －B )∪(A B －)]＝P (AB )＋P (A －B )＋P (A B －

) ＝P (A )P (B )＋P (A －)P (B )＋P (A )P (B －

)

＝0.2×0.3＋(1－0.2)×0.3＋0.2×(1－0.3)＝0.44.

或P [(AB )∪(A －B )∪(A B －)]＝1－P (A －B －

)＝1－0.56＝0.44.

天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为16，至少有一个地方降雨的概率为2

3，已知

甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响． (1)分别求甲、乙两地降雨的概率；

(2)在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X ，求X 的分布列和数学期望与方差． 【解】 (1)设甲、乙两地降雨的事件分别为A ，B ，且P (A )＝x ，P (B )＝y .

由题意得⎩⎨⎧

xy ＝

16

1－（1－x ）（1－y ）＝23

x ＞y

，

解得⎩⎨⎧x ＝12

，y ＝1

3.