不规则波浪的模拟

不规则波浪的模拟

一、概述

研究海浪及其对工程的作用有三种途径：一是现场观测研究；二是在实验室内进行模拟研究；三是理论分析研究。由于海浪的复杂多变性，加上现场环境恶劣，进行现场观测需花费大量的人力物力；理论研究目前也有较大的局限性，特别是对于不规则波浪，很多问题有赖于室内的模拟研究。

模拟研究的方法可分为两大类。开始是在水槽或水池内利用风或造波机进行物理模拟，亦即进行波浪模型试验。在人们的精心设计下，可以把负责的现象分解为多个简单的模型，然后再把成果综合起来。过去已取得了大量的研究成果，目前仍是主要的研究方法之一。随着电子计算机的发展和普及，海浪的数值模拟得到迅速的发展，它具有经济方便等优点，日益受到人们的重视和广泛的应用。天然海浪是很复杂的，人们对它的认识和研究过程是由简到繁，由浅入深，及即由单向规则波—斜向规则波—单向不规则波—多向不规则波。 二、不规则波浪的数值模拟—模拟频谱

单向不规则波浪的数值模拟方法，大多建立在线性波浪理论的基础上。

2.1 线性波浪叠加法

海浪可看做一平稳随机过程，它可由多个（理论上为无限多个）不同周期和不同随机初位相的余弦波叠加而成：

()()i i i M

i i t x k a t εωη+-=∑=cos 1 （2.1）

式中，()t η为波动水面相对于静水面的瞬时高度； i a 为第i 个组成波的振幅；

i i k ω,为第i 个组成波的波数和圆频率；

i i i i T L k πωπ2,2==

L ，T 分别为波长、周期；

x ，t 分别表示位置和时间，通常固定位置，可取x=0；

i ε为第i 个组成波的初位相，此处取在（0,2π）范围内均布的随

机数。

通过频谱来模拟海浪，设欲模拟的对象谱（靶谱）()ωηηS 的能量绝大部分分布在H L ωω~范围内其余部分可忽略不计。把频率范围划分为M 个区间，其间距为1--=∆i i i ωωω，取

()()i i i i i i S a ωω

ωωω

ηη∆=+=-ˆ22ˆ1 （2.2）

则将代表M 个区间内波能的M 个余弦波动叠加起来，即得海浪的波面：

()()()i

i M

i i i t S t εωωωηηη+∆=∑=~cos ˆ21 （2.3） 式中，i

ω~为第i 个组成波的代表频率。 用波浪叠加法模拟海浪时应注意以下几点：

<1>谱频范围H L ωω~的选取，取决于所要求的精度。设在高低频侧各允许略去总能量的μ部分（002.0=μ），对于可积分的谱，易于确定L ω和H ω。

应该看到，在M 一定的情况下，不恰当地增大谱频范围，反而

会使精度下降。一般取谱峰频率的3~4倍作为H ω已足够。

图2.1 划分波谱的频率区间示意图

<2>划分频率区间的方法，有等分频率和等分能量法。 下面简要介绍下等分频率法。取()M L H ωωω-=∆（一般取

M =50~100）。但若采用式（2.2）中的i ω

ˆ作为i 区间的代表频率，则由式（2.3）模拟所得的波浪将以周期ωπ∆2重复出现，除非ω∆值足够小；否则与实际的海浪情况不符。应在各区间内部随机选取频率作为

该区间的代表频率i ω~。i

ω~的选取方法对模拟结果有相当的影响。由于波能集中在谱峰部，如M 值较小；只有少数位于谱峰处的组成波起主要作用，可能产生较大的误差。

<3>随机初位相i ε应在π2~0区间内均布。如组成波数M 不很大，则由计算机产生的随机数往往不够均布，影响模拟结果。我们采用人造的比较均匀的随机数，模拟结果较好。合田采用M =200，由计算机产生随机数（每次不同）进行多次重复计算，对结果进行统计分析，取其特征值。

2.2 线性过滤法

海浪等随机过程由多种不同频率的成分组成，他们可以通过不同的滤波器分离开来。如图2.2所示，只有高频信号能通过高通滤波器，通过低通滤波器的是低频信号，允许一定频率范围内的信号通过的滤波器称做带通滤波器。

图2.2 滤波原理示意图

具有如图2.3中所示传递函数的滤波器称做成型滤波器。这些滤波器可以是数字式的，也可以由硬件组成。线性系统的输入谱()f S xx

*和

输出谱()f S yy *之间存在下列关系：

()()()f S f T f S xx yy *

2

*= （2.4）

白噪声的谱密度为常数，且可等于1，如将它作为输入，通过按靶谱设计的成型滤波器后，即可得到谱形符合靶谱的随机波浪。因此线性过滤法的关键在于靶谱设计过滤器。

过滤器的选择。输入白噪声的谱()1*=f S xx

，要模拟的波浪靶谱为

()f S *

ηη

（双侧谱），由上式得过滤器的传递函数为 ()()()2*

f S f S f T ηηηη== （2.5）

在时域，线性系统的输入。输出函数间有关系即

()()()τττηd h t x t ⎰∞

∞--= （2.6）

()τh 是脉冲响应函数，也是过滤器的权函数，其傅里叶变换即为传递

函数T(f)，即

()()df e f T h f i τπτ2⎰∞

∞-= （2.7） 写成离散形式：

()()t

N t t t t j t x a L

L

j j

∆∆∆=∆-=

∑-=,...,2,,0τη （2.8）

图2.3 用过滤法模拟波浪示意图

模拟不规则波浪。将上式代入可得到所要的波面。为便于计算，把它改写成

()()j i L j i L L

j j t L x x A x A t -+++=+++=∑10η （2.9）

式中，t L x +相当于()t L t x ∆+，可取L =20~30。

白噪声x(t)可用一系列独立的正态分布的变量,...,21x x 来接近，这些变量的均值为零，方差为1。可按下式得到：