微分方程-微分方程应用模型举例

dx+C
)
1 x = e + Ce − x 2
1 x f ( x ) = e + Ce − x 2
由
f (0 ) = 0, 得
1 C =− , 2
因此所求函数为
1 x f ( x) = e − e− x 2
(
)
例2 设函数 f ( x )在 [1， ∞ )上连续，若由 +
曲线 y = f ( x ), 直线 x = 1, x = t ( t > 1)与 x 轴
则由牛顿第二定律得 f 2 = (8 − x ) ρg o 2 d x 18 ρ ⋅ 2 = (10 + x ) ρ g − ( 8 − x ) ρ g , x dt x g g 即 x′′ − x = , x (0) = 0, x′(0) = 0. f1 = (10 + x ) ρg 9 9
g g x′′ − x = , x (0) = 0, x′(0) = 0. 9 9 g 2 特征方程 r − =0 9 g r1, 2 = ± 特征根 3 ∴ 对应的齐次线性方程的 通解为
特征方程为 特征根为
r 2 − 3r + 2 = 0 r1 = 1, r2 = 2
对应齐次线性方程的通 解 x 2x Y = C 1e + C 2 e 由于 λ = 1为特征根 , 故可设 求 y ∗ ′ , y ∗ ′′ 代入原方程得 故原方程的通解为
y = C 1e
x
y ∗ = Axe A = −2
即
它的通解为
x
f ( x)d x = e x − 1 − f ( x) f ( x ) = e − f ′( x ) f ′( x ) + f ( x ) = e x
x
两端求导，得
一阶非齐次 线性方程
f ( x) = e−∫ d x = e− x
(∫ e x ⋅ e x d x + C )
(∫ e
x ∫d x e
A = ∫ f ( x)d x
a b
y
O a
y = f (x)
b
x
(3) 立体的体积 绕x轴旋转一周而成的旋转体体积：
Vx = π ∫ f 2 ( x ) d x
a b
y
O a
y = f (x)
b
x
z
O
z = f ( x, y)
曲顶柱体的体积：
V = ∫∫ f ( x , y ) d x d y
D
x
+ C 2e
2x
− 2 xe
x
原方程通解： y = C 1 e x + C 2 e 2 x − 2 xe x 由于曲线在点 ( 0 ,1 )处与 y = x − x + 1
2
有公共切线 , 故有 由此得 y ( 0 ) = 1, y ′ ( 0 ) = − 1 .
⎧ C1 + C 2 = 1 ⎨ ⎩ C 1 + 2C 2 − 2 = − 1
x( t ) =
1 − gt C1e 3
+ C2
1 gt e3
由观察可知：非齐次线性方程有特解 x = - 1 .
非齐次线性方程的通解为
−1 1 由 x (0) = 0, x′(0) = 0，得 C1 = C 2 = . 2 1 1 − gt gt 1 3 ∴ x( t ) = (e + e 3 ) − 1, 2
两边同乘以
1 x
，得 2
2
y dy ⎛ y⎞ = 3⎜ ⎟ − 2 x dx ⎝ x⎠
为齐次方程
y du 令 u = , 则有 u + x = 3u 2 − 2u dx x
即
du x = 3 u ( u − 1) dx dx du =3 u ( u − 1) x
分离变量
积分得
ln( u − 1) − ln u = 3 ln x + ln C u−1 = Cx 3 u y − x = Cx 3 y C = − 1，
分离变量 积分得
即
v=
1 k t + C1 m
代入初始条件 v 对
= 200 , 得 C 1 = 1 t=0 200 ds 1 (1 ) =v= k 1 dt t+ m 200 ( 2)
m k 1 ) + C2 两边积分得 s = ln( t + k m 200 代入 s t = 0 = 0，得 m C 2 = ln 200 k
O y
M
y = ex −1
•
P2 P1
分别相交与点 P1和 P2；
( 3 ) 曲线 y = f ( x ), 直线 MN 与
•
Nx
x轴所围封闭图形的面积 恒等于 P1 P2的 长度，求函数 y = f ( x )的表达式 .
解 设动直线 MN 的方程为 x = x ,由题设条件 ( 3 ) 封闭图形的面积： M x y S = ∫ f ( x)d x
2 1 t
π
3
[ t 2 f ( t ) − f (1 )]
即
3 ∫ f 2 ( x ) d x = t 2 f ( t ) − f (1 )
1
t
两边对 t求导，得 3 f ( t ) = 2 tf ( t ) + t f ′ ( t )
2 2
将上式改写为
x 2 y ′ = 3 y 2 − 2 xy
第十二章
第九节 微分方程应用模型举例
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容 (一) 利用微分方程解决实际问题 的基本步骤与方法
1. 基本步骤 1º 建模 (常微分方程模型) 2º 求解 (精确解或近似解)或对解 作定性分析(研究解的性态) 3º 解的实际意义(解释与预测) 注 数学模型: 对实际问题的简化而本质 的数学描述.
0
y = ex −1
P1 , P2 点的坐标分别为 P1 ( x , f ( x )), P2 ( x , e x − 1)，
故由题设，有
O
x
•
P2 ( x , e x − 1) P1 ( x , f ( x ))
x
y = f (x)
•
N
∫0
f ( x)d x = e x − 1 − f ( x)
∫0
所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的 旋转体体积为
V (t ) =
y y = f ( x)
[ t 2 f ( t ) − f (1 ) ]
π
3
试求 y = f ( x )所满足的微分方程，
O
1
t x
2 并求该微分方程满足条 件 y x = 2 = 的解 . 9
解 依题意及旋转体的体积 公式有
V (t ) = π ∫ f ( x )d x =
整个链条滑过钉子 ,即 x = 8 ,
x ( t ) = C1e
−
1 gt 3
+ C2
1 gt e3
代入上式得
3 t= ln( 9 + 80 ) (秒 ) g
例6 雪球融化问题 假定一个雪球是半径为r 的球,其融化时体积的变化率与雪球的表 面积成正比,比例常数为 k >0 ( k 与空气 温度等有关), 已知两小时内融化了其 体积的四分之一,问其余部分在多长时内 融化完? 解 由于雪球体积的变化率正比与其表面积 dV = − k 4 πr 2 dt
dV (等号右端加负号是因为 体积是单调减函数 , < 0) dt 4 将 V = π r 2 代入上式，得 3 dr 2 dr 2 4 πr = − 4 kπr , = −k, dt dt
dV = − k 4 πr 2 dt
解得 r = − kt + C
记r |t = 0 = r0
r = r0 − kt
即
y 将 u = 代回有 x
2 将条件 y x = 2 = 代入上式，得 9
从而所求解为
y − x = − x y, x > 1 x 或 y= , x > 1. 3 1+ x
3Hale Waihona Puke Baidu
例3 设函数 y = f ( x )满足微分方程
′′ − 3 y ′ + 2 y = 2 xe x , y
且其图形在点 ( 0 ,1 )处的切线与曲线
得雪球全部融化所需要的时间为
r0 = t= k
2 3 1− 4
3
≈ 22(h)
由于雪球全部融化约需22小时, 故余下部分约20小时才能融化完.
例7 某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含 V 污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的量 6 V V 为 ，流出湖泊的水量为 .已知 1999 年底湖泊 6 3
为了求出子弹穿过木板 所需的时间， 不妨设子弹穿出木板的 时刻为 t 0， 由已知条件，当 t = t 0 时， v = v 1 = 80 m / s , 故由式 (1) 有 80 = 1 k 1 t0 + m 200 ( 3)
另一方面 ,当 t = t时子弹在木板中走过的 路径为 1 10 cm = m, 10
解得
C 1 = 1, C 2 = 0 y = (1 − 2 x ) e .
x
故所求曲线为
例4 子弹一初速度 v 0 = 200 m / s垂直打入厚 10 cm
的木板后 ,以 v1 = 80 m / s的速度穿出 .设木板的 阻力与子弹的速度平方 成正比 , 求子弹穿过木板 所需的时间 .
分析 本题是讨论物体运动规 律的 , 注意 , 在物体
运动方向上子弹只受一 个力, 即木板的阻力
− kv 2 ( 其中 k 为特定的比例系数 )
解
由牛顿第二定律得
m d2 s dt2
= F = − kv 2
其初始条件为 s
t=0
= 0, v
t=0
= 200 .
2
由导数的物理意义知 代入方程得 dv
dv d s = dt dt2
dv m = − kv 2 dt k = − dt 2 m v 1 k − = − t − C1 m v
(三) 其他应用
二、典型例题
例1 假设：
(1) 函数 y = f ( x ) ( 0 ≤ x ≤ +∞ )满足条件 f ( 0 ) = 0 和 0 ≤ f ( x ) ≤ e x − 1;
( 2 ) 平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线 y = f ( x )和 y = ex −1
y = f (x)
中的含量为 5 m 0，超过国家规定指标 .为了治理 污染，从 2000 年初起，限定排入湖泊 中 A 污水 m0 的浓度不超过 。问至多经过多少年， V 湖泊中污染物 A 的含量降至 m 0以内？ （注：设湖水中 A 的浓度是均匀 ） .
x
D z
y
z = f ( x, y)
一般立体的体积：
V = ∫∫∫ d v
Ω
O
x
y
(三) 物理应用
1. 解微分方程物理应用题的方法和步骤： (1) 根据物理定律及实验规律列方程; (2) 确定初始条件; (3) 求通解, 并根据初始条件确定特解. 2. 常用的物理定律 (1) 牛顿运动定律； (3) 万有引力定律； (2) 虎克定律； (4) 基尔霍夫电流及电压定律.
dy (1) 平面曲线上一点的切线斜率： y′ = dx (2) 平面曲线弧段 L的弧长：
s=∫ s=∫
b
a
1 + y′ 2 d x , L : y = f ( x ), x ∈ [a , b] r 2 + r ′ 2 dθ , L : r = r (θ ),θ ∈ [α , β ]
β
α
(3) 平面曲线的曲率： y ′′ K = 3 (1 + y ′ 2 ) 2 (4) 平面图形的面积：
得雪球半径随时间变化 的规律
又 t = 2( h)时, r = r0 − 2k .
由题设:两小时内雪球体积减少了四分之一 于是
4 3 4 3 3 π (r0 − 2k ) = ⋅ π r0 3 4 3 1⎡ 3 k = ⎢1 − 2⎣ 3⎤ ⎥ r0 4⎦ (12.67 )
解得
在 r = r0 − kt 中， 令 r =0, 并利用上式
1 ≈ ( s) 5 1200 10 ln 2
1
例5
一质量均匀的链条挂在 一无摩擦的钉子
上，运动开始时，链条 的一边下垂 8米，另一边 下垂10米，试问整个链条滑过 钉子需多少时间．
解
设链条的线密度为 ρ ,
8 − x (8m m)
10m x ( m ) 10 +
经过时间 t , 链条下滑了 x 米 ,
从而由 ( 2 )式有 1 m ⎛k 1 ⎞ m = ln ⎜ t 0 + ⎟ + ln 200 10 k ⎝ m 200 ⎠ k 1 m m m 200 m 5 = ln + ln 200 = ln = ln k 80 k k 80 k 2 k 5 所以 = 10 ln ， m 2 3 代入式 ( 3 ) 得 t 0 = ⋅ 400
y = x − x + 1在该点的切线重合， 求函数 f ( x ).
2
分析 本题变相给出了初始条 件，由于图形
过点 ( 0 ,1 ) 及在该点与 y = x 2 − x + 1 有公共点 , 可得出初始条件
y ( 0 ) = 1, y ′ ( 0 ) = − 1 r − 3r + 2 = 0
2
解
特征方程为
2. 基本方法 建立常微分方程模型的主要方法: (1) 根据规律列方程; (物理, 力学等) (2) 微元分析法; (3) 模拟近似法. (生物, 经济,医学等)
(二) 几何应用
1. 解微分方程几何应用题的方法和步骤： (1) 根据几何关系列方程; (2) 确定定解条件; (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 2. 常见的几何公式