圆锥曲线大题解题方法

圆锥曲线综合题解题思路
“圆锥曲线难学，难于上青天”，“圆锥曲线如鸡肋”等，不仅是学生对圆锥曲线的抱怨，甚至有不少教师对圆锥曲线也颇有微词.圆锥曲线的确有两大令人“生恨”的地方，一是圆锥曲线问题几何关系错综复杂，各种图形交织在一起，“你中有我，我中有你”，大有不把人弄得“眼花缭乱”不罢休的架势；二是运算烦琐，即使参数设好，式子列对，最后的化解过程也让人望而生畏.抱怨归抱怨，鉴于圆锥曲线在高考中的重要地位，我们还是要思考圆锥曲线的解题策略问题.有没有好的方法或者操作程序，能够让圆锥曲线问题变得有章可循，能够让学生对圆锥曲线多一点信心.笔者经过多年的圆锥曲线教学，总结提炼出了“四化”解题策略.下面笔者就结合一道高考题中的圆锥曲线问题，谈谈“四化”策略的操作规则.
第一类：向量共线式整体代入法。

例题：已知椭圆E:)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为21，21F F ，为椭圆的左右焦点，A
为椭圆的上顶点,且△21F AF 为等边三角形（1）求椭圆的标准方程
（2）过）
（1,1F 的直线交椭圆于N M ,两点，在N M ,直线上任取一点Q ，满足：）
且1||0(,,≠≠=-=λλλλQN MQ FN MF 求证：点Q 在13
4=+y
x 上解析：（1）由题可知;2
1
==a c e 由于△21F AF 为等边三角
形2
3=∴a b 3:2
222=+=b c b a 得由3,2==∴c a 13422=+
∴y x 椭圆方程为：（2）设：M （11,y x ）N ),(22y x F )1,1()
,(y x Q λ-=MF FN ；QN
MQ λ=)
,1();,-1(2211y x FN y x MF -==)1(121--=-x x λ化简得：112-=-λλx x ①)1(-121--=y y λ化简得：112-=-λλy y ②
)
,),(2211y y x x QN y y x x MQ --=--=（；)(21x x x x -=-λ化简得：)
1(12+=+λλx x x ③
)(21y y y y -=-λ化简得：）
1(12+=+λλy y y ④
①⨯③41⨯
得：)1(4141412
21222-=-λλx x x ②⨯④31⨯得：)
1(3
131312
21222-=-λλy y y 两式相加得：22241x λ+2223
1y λ-)3141(2121y x +=)1(412-λx +)
1(312
-λy 因为A,B 点在椭圆上所以原等式化简得：1-2
λ=
)3
1411-2y x +）（（λ1
3
4=+∴y
x Q 的轨迹方程：变试题：（2013年苏州期末考试试题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 是椭圆
22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点，A ，B ，C 分别为椭圆E 的右、下、上顶点，满足
5FC BA = ，椭圆的离心率为12
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P 为线段FC （包括端点）上任意一点，当PA PB
取得最小值时，求点P 的坐标；
（3）设点M 为线段BC （包括端点）上的一个动点，射线MF 交椭圆于点
N ，若NF FM λ=
，求实数λ的取
值范围．
题型特点与方法归纳：整体代入法法主要针对向量共线式NF FM λ=
类型。

无论是求
范围还是求值皆可以适应，针对这类型题型必须满足：动点共线的特点！主要通过向量转移之后，通过等式平方或者利用平方差的特点进行升幂，借助于圆锥曲线方程式整体消元。

O
M
N
A
C x
B
y
第二类：点参整体消去法
(2015年苏锡常镇一模试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(0)
a b >>的离心率为
22，且过点6
(1,)2
，过椭圆的左顶点A 作直线l x ⊥轴，点M 为直线l 上的动点，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于P ．（1）求椭圆C 的方程；
（2）求证：AP OM ⊥；（3）试问OP OM ⋅
是否为定值？若是定值，
请求出该定值；若不是定值，请说明理由．
解：（1）∵椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为2
2
，
∴222a c =，则222a b =，又椭圆C 过点6(1,)2，∴2213
12a b
+=．∴24a =，22b =，
则椭圆C 的方程22
142
x y +
=（2）设00(,)P x y ，(2,0)B ,所以BP 直线方程为0
0(2)2
y y x x =
--于是004(2,
)2y M x ---，(2,0)A -，00(2,),AP x y =+ 0
04(2,)2
y OM x -=-- 200
0000044(2,)(2,)2422
y y APOM x y x x x -=+-=----- 因为P 在椭圆上
所以
2200
142
x y +=0024240APOM x x ∴=--++= 既AP OM ⊥（3）因为P 在椭圆上则22
00
1
42
x y +=OP OM ⋅ =00(,)x y 02
00044(2,)24
2
2
y y x x x ---=--=--（友情提示：可以尝试设M 点参）
变试题：（2016年苏州市高三期末考试）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2
＝1的右焦点为F ，点B ，
C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．
（1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；
（2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值；
②求PB PM ⋅
的取值范围．
方法归纳：圆锥曲线点参数，当椭圆上仅有一个动点引发动态解析几何综合问题（或者有多个动点，且动点与动点之间可以进行简单替换，既动点与动点之间是一种承接关系），
由于动点在椭圆上，则主要体现
2222
2222
00
00
22
b x a y
y b x a
a b
=-=-
或者整体替换的思想
第三类线参整体代入法：特点圆锥曲线上有两个动点，而且动点与动点之间是线性关系和并列关系，具体方法是必须将题设结论坐标化，然后利用伟大定理将坐标参数与主参数K 之一种整体替换，主要难点是题设如何坐标化，伟大定理整体计算。

（此类方法高考中以经弱化）
（2015届苏锡常镇二模考试题）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的
顶点都在椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>上，对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点
1(1,0)
F-和右焦点
2(1,0)
F，且AC BD
⊥，椭圆的一条准线方程为4
x=（1）求椭圆方程；
（2）求四边形ABCD面积的取值范围
题型特点圆锥曲线上有两个动点，而且动点与动点之间是线性关系和并列关系，具体方法是必须将题设结论坐标化，然后利用伟大定理将坐标参数与主参数K之一种整体替换，主要难点是题设如何坐标化，伟大定理整体计算。

（此类方法高考中以经弱化）
第四类线参求根型
例题4：（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）如图，在平面直角坐标
系xoy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率21
=e ，左顶点为)0,4(-A ，过
点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程;
（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的
)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存
在说明理由;
（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求
OM
AE
AD +的最小值.
解：（1）因为左顶点为(40)A -，，所以4a =，又1
2
e =
，所以2c =.…………………2分又因为22212b a c =-=，
所以椭圆C 的标准方程为22
11612
x y +=.
………………………………………4分
（2）直线l 的方程为(4)y k x =+，由22
11612(4),
x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
，消元得，22[(4)]11612x k x ++=.
化简得，22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=，
所以14x =-，2221612
43
k x k -+=+.
(6)
分
当22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=
++，所以222161224,4343
()D k k
k k -+++.因为点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为
2221612,4343
()k k k k -++，则
3
(0)4OP k k k
-
=≠ (8)
分
直线l 的方程为(4)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,4)k ，假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k =-，即3414n k k m
--
⋅=-恒成立，所以(412)30m k n +-=恒成立，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，，即30m n =-⎧⎨
=⎩，
，
因
此
定
点
Q 的坐标为
(3,0)-.…………………………………………10分
（3）因为OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，
由22
11612
x y y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=⎩，得M
点的横坐标为x =12分
由OM l ，得
2D A E A D A
M M
x x x x x x AD AE OM x x -+--+=
=
22216128k -+=+=…………………………………………………
14
分
=
+≥
=
即2
k =±
时取等号，
所以当2k =±时，AD AE OM
+
的最小值为 (16)
分
方法归纳：当椭圆上有一动点一个定点组成的直线时，利用韦达定．理两根之和，两根之
积求出动点坐标！。