圆锥曲线大题解题方法

圆锥曲线综合题解题思路

“圆锥曲线难学，难于上青天”，“圆锥曲线如鸡肋”等，不仅是学生对圆锥曲线的抱怨，甚至有不少教师对圆锥曲线也颇有微词.圆锥曲线的确有两大令人“生恨”的地方，一是圆锥曲线问题几何关系错综复杂，各种图形交织在一起，“你中有我，我中有你”，大有不把人弄得“眼花缭乱”不罢休的架势；二是运算烦琐，即使参数设好，式子列对，最后的化解过程也让人望而生畏.抱怨归抱怨，鉴于圆锥曲线在高考中的重要地位，我们还是要思考圆锥曲线的解题策略问题.有没有好的方法或者操作程序，能够让圆锥曲线问题变得有章可循，能够让学生对圆锥曲线多一点信心.笔者经过多年的圆锥曲线教学，总结提炼出了“四化”解题策略.下面笔者就结合一道高考题中的圆锥曲线问题，谈谈“四化”策略的操作规则.

第一类：向量共线式整体代入法。

例题：已知椭圆E:)0(122

22>>=+b a b

y a x 的离心率为21，21F F ，为椭圆的左右焦点，A

为椭圆的上顶点,且△21F AF 为等边三角形（1）求椭圆的标准方程

（2）过）

（1,1F 的直线交椭圆于N M ,两点，在N M ,直线上任取一点Q ，满足：）

且1||0(,,≠≠=-=λλλλQN MQ FN MF 求证：点Q 在13

4=+y

x 上解析：（1）由题可知;2

1

==a c e 由于△21F AF 为等边三角

形2

3=∴a b 3:2

222=+=b c b a 得由3,2==∴c a 13422=+

∴y x 椭圆方程为：（2）设：M （11,y x ）N ),(22y x F )1,1()

,(y x Q λ-=MF FN ；QN

MQ λ=)

,1();,-1(2211y x FN y x MF -==)1(121--=-x x λ化简得：112-=-λλx x ①)1(-121--=y y λ化简得：112-=-λλy y ②

)

,),(2211y y x x QN y y x x MQ --=--=（；)(21x x x x -=-λ化简得：)

1(12+=+λλx x x ③

)(21y y y y -=-λ化简得：）

1(12+=+λλy y y ④

①⨯③41⨯

得：)1(4141412

21222-=-λλx x x ②⨯④31⨯得：)

1(3

131312

21222-=-λλy y y 两式相加得：22241x λ+2223

1y λ-)3141(2121y x +=)1(412-λx +)

1(312

-λy 因为A,B 点在椭圆上所以原等式化简得：1-2

λ=

)3

1411-2y x +）（（λ1

3

4=+∴y

x Q 的轨迹方程：变试题：（2013年苏州期末考试试题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 是椭圆

22

22:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点，A ，B ，C 分别为椭圆E 的右、下、上顶点，满足

5FC BA = ，椭圆的离心率为12

．

（1）求椭圆的方程；

（2）若P 为线段FC （包括端点）上任意一点，当PA PB

取得最小值时，求点P 的坐标；

（3）设点M 为线段BC （包括端点）上的一个动点，射线MF 交椭圆于点

N ，若NF FM λ=

，求实数λ的取

值范围．

题型特点与方法归纳：整体代入法法主要针对向量共线式NF FM λ=

类型。无论是求

范围还是求值皆可以适应，针对这类型题型必须满足：动点共线的特点！主要通过向量转移之后，通过等式平方或者利用平方差的特点进行升幂，借助于圆锥曲线方程式整体消元。

O

M

N

A

C x

B

y

第二类：点参整体消去法

(2015年苏锡常镇一模试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(0)

a b >>的离心率为

22，且过点6

(1,)2

，过椭圆的左顶点A 作直线l x ⊥轴，点M 为直线l 上的动点，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于P ．（1）求椭圆C 的方程；

（2）求证：AP OM ⊥；（3）试问OP OM ⋅

是否为定值？若是定值，

请求出该定值；若不是定值，请说明理由．

解：（1）∵椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为2

2

，

∴222a c =，则222a b =，又椭圆C 过点6(1,)2，∴2213

12a b

+=．∴24a =，22b =，

则椭圆C 的方程22

142

x y +

=（2）设00(,)P x y ，(2,0)B ,所以BP 直线方程为0

0(2)2

y y x x =

--于是004(2,

)2y M x ---，(2,0)A -，00(2,),AP x y =+ 0

04(2,)2

y OM x -=-- 200

0000044(2,)(2,)2422

y y APOM x y x x x -=+-=----- 因为P 在椭圆上

所以

2200

142

x y +=0024240APOM x x ∴=--++= 既AP OM ⊥（3）因为P 在椭圆上则22

00

1

42

x y +=OP OM ⋅ =00(,)x y 02

00044(2,)24

2

2

y y x x x ---=--=--（友情提示：可以尝试设M 点参）

变试题：（2016年苏州市高三期末考试）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2

＝1的右焦点为F ，点B ，

C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．

（1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；

（2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值；

②求PB PM ⋅

的取值范围．