圆内接四边形的性质与判定定理

分析：不共线的三点确定一个圆，经过A、B、
B
C三点可以做一个圆O,如果能由条件得出圆O
过D就证明了.
O C
显然，点D与圆有且只有三种位置关系：
（1）
（1）点D在圆外；
（2）点D在圆内；
（3）点D在圆上；
2.【圆内接四边形的判断定理】
假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180° A
求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.
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备选例题
5、如图，已知四边形是圆内接四边形，是⊙的直 径，且EB⊥AD,AD与BC得延长线相交于F， 求证：AB BC
FD DC
证明： 连结 AC, ∵∠ACB=∠DAB ∴弧AB=弧BD，∴∠ACB=∠DAB. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠FCD=∠DAB, ∠FDC=∠ABC. ∴ ∠ACB=∠FCD. ∴△ABC与△ABC相似. ∴即证.
E
D
证明：(1)如果点D在⊙O外部.
设E是AD与圆周 的交点，连接EC,则有
B
∠AEC+∠B=180° 因∠D+∠B=180°
点D在内部 怎么证明？
O
C
（1）
得∠AEC =∠D
这与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾.
想 一
想
故点D不可能在圆外.
？
？
2.【圆内接四边形的判断定理】
假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
A
B
2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同
一个圆周上。 3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相
交于E,EG平分∠E,且与BC,AD分别相交于F,G.
A
求证： ∠CFG=∠DGF.
B
F
E
G
C D
【本节收获】
性质定理1 圆内接四边形的对角互补.
性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. 圆内接四边形判定定理 ：
如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
推论 ： 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么
它的四个顶点共圆.
[悟一法] (1)圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或 互补提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供 了一种新的途径． (2)在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意 性质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意 两者的综合运用．(3)构造全等或相似三角形，以达到证 明线段相等、角相等或线段成比例等目的．
求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.
(2)如果点D在⊙O内部. 延长AD交圆于点E, 连接CE,则
∠B+∠E=180° ∵∠B+∠ADC=180°
A D
E O
B
C
∴∠E=∠ADC
（2）
这同样与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾.
∴点D不可能在⊙O内.
综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆.
教材习题答案
习题2.2（第30页）
1.∵AD ⊥ BC,BE ⊥ AC,∴△ABD和△ABE均为直角三角形.
设O是AB的中点，连接OE、OD,则
OE = 1 AB,OD = 1 AB,
2
2
∴OE = OD = OA = OB.
∴ A、B、D、E四点共圆.
C
E D
∴∠CED = ∠ABC.
A
O
B
2.如图，设四边形ABCD的对角互相垂直，点E、F、G、H分
90º的圆周角所对的弦是直径.
1.【圆内接四边形的性质】
如果多边形所有顶点都在一个圆上.那么这个多边 形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.
思考:
任意三角形都有外接圆.那么 任意正方形有外接圆吗?为什么? 任意矩形有外接圆吗?为什么?
需要具备 什么样的 条件呢？
等腰梯形呢?为什么?
一般地, 任意四边形都有外接圆吗?为什么?
C
B
C
1.【圆内接四边形的性质】
如图（1）连接OA,OC.则∠B= 1 ,∠D= 1
3600
2
B D 1 3600 1800
2
同理可得 : A C 1800
2
D
C


A
B
性质定理1 圆内接四边形的对角互补.
（1）
将线段AB延长到点E,得到图（2）
Q
∴∠FQA=∠FPC=90º.
A
F
P B
∴Q,F,P,C四点共圆。
而∠A与∠QFA也互余.
∴∠QFC=∠QPC.
又∵CF⊥AB ∴∠QFC与∠QFA互余.
∴∠A=∠QFC. ∴∠A=∠QPC. ∴A,B,P,Q四点共圆
习题2.2 1.AD,BE是△ABC的两条高，
C
E D
求证：∠CED=∠ABC.
2.【圆内接四边形的判断定理】
圆内接四边形判定定理 ： 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种 情形分别论证,最后获证结论的方法---------穷举法
推论 ：
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么
它的四个顶点共圆.
D
C
A
BE
[悟一法]
判定四点共圆的方法常有： (1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点 共圆． (2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边 形的四个顶点共圆． (3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那 么这个四边形的四个顶点共圆． (4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等 且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．
1 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
【温故知新】
圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。
圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2 半 圆(或直径)所对的圆周角是直角;
应该怎样来证明呢？
性质定理1的逆命题： 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
性质定理1的逆命题： 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个
四边形的四个顶点共圆.
2.【圆内接四边形的判断定理】
假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
A
D
求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.
∠DGF = ∠A +∠AEG,
A
B
而∠AEG = ∠CEF. ∴∠CFG = ∠DFG.
GF
E
D
C
欢迎下次再来！
A
DA
D
A
D
A
D
O
B
C
B
B C
C
B
C
1.【圆内接四边形的性质】
直接研究较困难，那么我们可以先从问题的反面思考： 如果一个四边形内接于圆，那么这样的四边形有什么特征？ 我们应该从哪些角度来思考呢？
观察下面这组图中的四边形都内接于圆.你能从 中发现这些四边形的共同特征吗？
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A
DA
D
A
D
A
D
O
B
C
B
B C
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思维拓展
• 圆内接平行四边形一定是_矩__形__形 • 圆内接梯形一定是__等__腰_梯__形___形 • 圆形内接菱形一定是_正__方__形___形
例3 如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC,
FQ⊥AC. 求证：A,B,P,Q四点共圆
C
证明：连接PQ。
在四边形QFPC中，
∵FP⊥BC FQ⊥AC.
别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，则
FG ∥ BD,GH ∥ AC.∵AC ⊥ BD,
A
H
∴FG ⊥ GH.同理可证，HE ⊥ EF.
E
D
∴∠HEF +∠FGH = 180o.
G
∴F、G、H、E四点共圆.
B
F
3.如图，∵A、B、C、D四点共圆.∴∠FCE = ∠A.
C
∵∠CFG = ∠FCE +∠CEF,
D
C
由于ABC EBC 1800.
而ABC D 1800.
EBC D.
A
BE
（2）
性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
1.【圆内接四边形的性质】
性质定理1 圆内接四边形的对角互补
性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
思考3
上述定理的逆定理是什么？它们成立吗？