分数阶控制系统状态空间的两种建模方法

Gc (t )
Go (t )
G f (t )
图 1 分数阶离散控制系统
以上分数阶控制系统在开关始终闭合时为一连续系统，其时域模型可以由下式建立：
a Dα
n
n
y (t ) +
a Dα
n −1
n −1
y (t ) + +
a Dα
0
0
y (t ) =
b Dβ
m
m
u ( t ) + b m −1 D β
2．
分数阶微积分与分数阶控制系统
2.1 分数阶微积分
微积分的阶次在实数范围内变化形成分数阶微积分，其操作数为 a Dtα ，其中 a 和 t 分别 为上下限。连续的分数阶微分操作数定义为：
-1-
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α α d dt = 1 t −α ( dτ ) ∫ a
m −1
u ( t ) + + b 0 D β 0u ( t )
（4） 其中 Dα ≡ 0 Dtα ，且 α
n
> α
n −1
> > α
0
≥ 0, β
m
> β
m −1
> > β
0
≥ 0 , ak , bk
为任意实数。对其进行拉氏变换得到 S 域的描述为： G (s) = Y ( s ) b m s β m + b m − 1 s β m − 1 + + b0 s β 0 = U (s) a n s α n + a n −1 s α n −1 + + a 0 s α 0
（7）
X 1/ r (t ) = AX (t ) + BU (t ) y (t ) = CX (t ) + DU (t )
,
t≥0
0 0 ,B = 1 − a0 D=0
这是一种对并不复杂的分数阶系统较为方便的描述方式。 对于含有多个分数阶参数的系 统以及系统阶次不规则的一般系统， 我们需要一种更为通用的方法来进行空间描述。 在包含 多分数阶次参数的控制系统中， 我们依然用状态变量的一阶导数来建模， 此时矩阵表达式 （8） 不再是规则的矩阵方程组，而成为包含有分数阶性质 x f (t ) 的微分方程组：
摘要：
本文对分数阶控制系统进行分析和数学描述，用两种方法在状态
空间得出其数学模型。例举了带有分数阶控制器的分数阶控制系统进行状态 空间建模。最后对这两种方法进行了讨论并论述了分数阶系统稳定分析的可 能性。 关键词：分数阶微积分 控制系统 状态空间 数学模型
1. 引言
关于分数阶微积分的研究已经有三百多年的历史，它的数学理论已经有了很大的发展。 然而由于其复杂性和不规则性， 直到近些年来随着计算手段的迅速发展， 分数阶微积分的分 析方法和数值解法才被逐渐运用于实际。最近几年，由于非整数阶微积分倍受重视，它也被 逐步应用于控制领域， 用来分析和综合控制系统使之达到更好的控制性能。 实际系统大都是 非整数阶控制系统，虽然有些系统的非整数阶次比较微弱。但是我们在分析系统的时候，往 往将所有系统都默认为整数阶系统， 于是我们在校正与综合系统， 进行控制系统设计的时候， 就常常得不到满意的动态性能和稳态性能。 此时， 控制系统和控制器的分数阶模型能够较好 的解决此类问题。然而，由于其阶次高度的灵活性，分数阶系统的动态模型还缺乏足够的数 学工具，分数阶控制系统的研究还不充分，理论的应用仍然非常有限【1】 【3】 【4】 。 通常我们借助分数阶微积分对分数阶控制系统进行数学描述， 其数学模型为一个分数阶 微分方程，但这常常用于单输入单输出系统中，用来描述系统的外部特征。当有必要对较为 复杂的多输入多输出系统研究其内在过程的时候， 状态空间描述就显得很必要。本文从状态 空间的角度对分数阶系统用两种方法进行建模。
-2-
（5）
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3.
状态空间中的分数阶控制系统
考虑分数阶系统时域表达式（4） ，当其分数阶次满足如下形式：
D
n r
y (t ) +
a D
n −1
n −1 r
y (t ) + +
a D
0
0 r
y (t ) =
D
m r
u (t ) +
b
m −1
D
m −1 r
u ( t ) + + b 0 D r u ( t ) （6）
0
其中 n、m 均为非负整数，n/r 为系统的最高阶次，正整数 r 为 n 和 m 的最小公倍数。选择 该系统的状态变量：
x1 (t ) = y (t ) x (t ) = D1/ r x (t ) = D1/ r y (t ) 2 1 r 1/ ( n −1)/ r y (t ) xn (t ) = D xn −1 (t ) = D
状态方程的一般形式描述为 （8） 初始条件为 X (0) = [ x1 (0) x2 (0) xn (0)]τ 。且有：
X (t ) = [ x1 (t ) x2 (t ) x n (t )]τ , 1 0 0 0 0 1 A= 0 0 0 − an −1 − an − 2 − an − 3 C = [1 0 0 0 ] , U (t ) = [u1 (t ) u 2 (t ) um (t )]τ 0 0 0 b0 0 0 0 b1 0 0 0 bm − 2 bm −1 0 0 0
∑ ( −1)
r
α r f ( t − rh ),
（2）
其中 [ x] 表示 x 的整数部分。由于极限的存在， （ 2）式的极限表达并非是一种直观的形式， 于是在此基础上，Riemann-Liouville 对其进行了改造：
Dα t f (t ) = 1 d Γ ( −α + m + 1) dt
（10）
1 (t ) = y (t ) ，于是 x 2 (t ) = 令状态变量 x1 (t ) = y (t ), x2 (t ) = x y (t ) 。结合上式可得另一种分数
阶系统的状态空间模型：
1 (t ) = x2 (t ) x
2 (t ) = − a1 Dα1 −α 2 + 2 x1 (t ) − Td D µ −α 2 + 2 x1 (t ) − (a0 + Tp ) D −α 2 + 2 x1 (t ) − Ti D −α 2 − λ + 2 y (t ) x + Tp D −α2 + 2 e(t ) + Td D µ −α 2 + 2 e(t ) + Ti D −α 2 − λ + 2 e(t ) y(t ) = x1 (t )
(t ) = f ( x (t ), u (t )) X f , y ( t ) = g ( x f (t ), u (t ))
t≥0
（9）
考 虑 图 1 所 示 分 数 阶 反 馈 系 统 ， 被 控 系 统 Go (t ) 为 有 限 阶 次 ，
参数为
a0 , a1 , a2 = 1, b0 = 1 ， 0 = α 0 < α1 < α 2 < 3, β 0 = 0 ， PI λ D µ 控制 器 Gc (t ) 的 相 关 参 数 为 Tp , Ti , Td , λ , µ ，引入单位负反馈使得系统获得理想的稳态性能和动态性能。于是可以得出
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分数阶控制系统状态空间的两种建模方法
李元凯 1 赵世武 2
1． 重庆邮电学院自动化学院， （400065） 2． 滁州学院物理系， （239012）
E-mail：1. zhaoshiwu2000@tom.com ; 2. liyuankai@nature.cn
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Aerospace and Electronics Conference, New York,1990,pp.563-566. [6] G.D.Kalojanov,Z.M.Dimitrova: Theoretico-experimental determination of the domain of applicability of the system “- fractional-type astatic systems”. in: Izvestia vys. uceb. zavedenij, Elektromechanika,no.2,1992,pp.65-72 [7] Dingyu Xue, YangQuan Chen, “A comparative introduction of four fractional order controllers”, Processing of the 4th World Congress, Intelligent Control and Automation’02, Vol.4, pp.3228-3235, 2002
ห้องสมุดไป่ตู้
（11）
在整数阶系统中，状态变量个数等于系统最高阶次，在分数阶系统中，状态变量个数为不大 于系统最高阶的最大整数， （11）中由于 0 = α 0 < α1 < α 2 < 3 ，故取两个。另外，状态变量 的取法是不唯一的，这和整数阶系统相同。这种建模方法虽然没有直观的矩阵表达形式，但
(t ) = [ x 1 (t ) 状态变量的一阶导数提供了系统状态变化率函数，在 X
a Dt
α
Re(α ) > 0 Re(α ) = 0 Re(α ) < 0
（1）
由分数微分操作数的定义（1）出发， Grünwald-Letnikov 作了如下描述【2】对其进行具体 计算：
a
D
α t
1 dα f f (t ) = α = lim α → 0 h dt h
t−a h r =0
2 (t )] = 0 的情况下， x
τ
带入（11）式可以得到系统的稳态平衡点，这对分析系统的稳定性提供了很大的方便。
4.
结论
本文对分数阶控制系统的状态空间模型进行了论述， 介绍了两种状态空间时域建模的方
法。 一是针对阶次不复杂可化为简单分数的系统进行建模， 利用状态变量的分数阶导数简化 模型得出简洁的矩阵表达式。 一是采取状态空间模型的经典方法， 利用所取变量的一阶导数 进行建模，这种方法的不足之处是表达形式复杂，不能用传统的矩阵形式描述，取而代之的 是不规则分数阶微分多项式。但是，这种模型体现了状态变量变化率，便于系统的稳定性分 析，是研究分数阶系统较好的方法。
参考文献
[1] S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev: Fractional integrals and derivatives and some of their applications. Nauka i technika, Minsk, 1987. [2] [3] I. Podlubny: Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego, 1999. S. Westerlund and L. Ekstam: Capacitor theory, IEEE Transactions on Dielectrics and Electrical Insulation, vol. 1, no. 5, Oct 1994, pp. 826–839. [4] A. Outstaloup : From Fractality to non integer Derivation through Recursivity, a Property Common to these two Concepts: A Fundamental Idea from a new Process Control Strategy. in: Processing of 12th IMACS World Congress, Paris, July 18-22, 1988, vol. 3, pp. 203-208. [5] M.Axtell,E.M.Bise: Fractional Calc. Applications in Control Systems. in:Proc. Of the IEEE 1990 Natual -4-
分数阶系统闭环传递函数：
-3-
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D α 2 + λ y ( t ) + a1 D α 1 + λ y ( t ) + T d D µ + λ y ( t ) + ( a 0 + T p ) D λ y ( t ) + Ti y ( t ) = T p D λ e ( t ) + T d D µ + λ e ( t ) + Ti e (t )
m+1 t
a
∫ (t −τ )
a
m −α
f (τ ) dτ
（ 3）
其中， m ≤ p < m + 1 ， Γ () 为 γ 函数。
2.2
分数阶控制系统
典型的分数阶反馈控制系统如图 1 所示， Gc (t ) 为分数阶控制器， Go (t ) 为分数阶被控
系统的传递函数， G f (t ) 为分数阶系统的反馈回路传递函数。U(t)和 Y(t)分别是系统的输入 和输出。 U(t) E(t) Y(t)